利用幾何直觀，助力學生理解數學

郭寶珠

“課標（2011版）”提出了“幾何直觀”這一核心概念，那么什么是“幾何直觀”？它的本意是什么？“幾何直觀”是一個組合詞組，它的內涵有兩點：一是幾何，這里是指圖形。二是直觀，直觀的本意是指用感官直接接受的、直接觀察的。這里的直觀是指根據現在看到以及以前看到的東西進行思考、想象。因此，我們可以把“幾何直觀”理解為依托、利用圖形對數學的研究對象進行直接感知和整體把握的能力。在教學過程中，什么情況下需要幾何直觀？如何借助幾何直觀進行教學？如何利用幾何直觀幫助學生理解數學知識的本質？下面我將結合具體例子談談個人的看法。

一、利用幾何直觀，理解運算算理

在數的運算教學中，很多時候我們只注重算法的教學，強調熟練技能，忽略了算理。其實學生計算能力的提高，不僅僅是提高學生計算的熟練程度，更重要的是引導學生據“理”而“算”。算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的。

如：五年級下冊《異分母分數的加減法》的教學。

1.出示學習單，請學生根據學習單的要求在小組內自主學習。

（1）想一想、算一算1/2+1/8的結果是多少？

（2）請借助圓片折一折、畫一畫，檢驗計算結果是否正確？

（3）完成后在小組內說一說你是怎樣想的？

2.全班交流算法。在交流過程中引導學生質疑：為什么要把1/2變成4/8？當學生回答把它們化成分母相同的分數，這樣就好算了！教師追問把二分之一變成八分之四僅僅只是好算嗎？想一想，誰還有更合理的解釋？你能用圖給大家解釋解釋嗎？學生通過直觀的圖形清楚、明白地解釋了異分母分數相加的計算方法與道理。利用直觀圖教師引導學生體會，分數的加法和整數、小數的加法一樣，都是相同的計數單位才能相加。

在教學中，教師抓住“為什么要先通分再相加？通分的目的是什么？”這一核心問題引導學生利用圖進行解釋，將數與形結合起來，讓學生體會只有平均分的份數相同，也就是分數單位相同，分子才能相加減的道理，在直觀感知中不僅理解了異分母分數加減法的算理，而且進一步理解了分數、整數、小數加減法的計算在本質上是一致的，即相同的計數單位才能相加減。

在人教版教材中，像這樣借助幾何直觀來幫助學生理解抽象的算理的例子還有很多，如：利用點子圖來理解兩位數乘兩位數的算理，利用長方形模型來理解分數乘法的算理，利用線段圖來幫助理解分數除法的算理，利用面積模型來理解乘法分配率等。因此在教學過程中，教師應抓住數學本質設計相關的核心問題，借助幾何直觀讓學生充分的探究、質疑，充分挖掘算理背后的道理，將推理與算理建立聯系，做到明“理”而“算”，提高學生的數學素養。

二、利用幾何直觀，理解數學概念

概念是數學的基本細胞，概念之間形成“網絡”就構成了數學的基本內容。因此概念的學習無疑被看成是數學學習十分重要的一環。但由于數學概念的高度抽象性與小學生思維的具體形象性之間的矛盾，造成了學生學習概念存在記憶或背誦概念的形式化定義的現象，因此在概念教學中我們應當借助幾何直觀和學生已有的經驗，創設合適的教學情境，在探究活動中，把直觀形象和感覺經驗進行合理的抽象，幫助學生理解、建立相應的數學概念。

如《平均數》的教學。在學生初步感知、理解平均數的意義后，教師利用直觀圖設計以下教學過程，讓學生進一步理解平均數的意義。

（1）（依次出示下圖）平均數會不會在這兒？為什么？利用直觀圖幫助學生建立平均數的取值范圍，它既不是一組數中最小的數，也不是最大的數，平均數一定在這組數中最大的數與最小的數之間。

（2）（依次出示下圖）猜猜C的位置？說說你是怎樣想的？

教師沒有給學生提供具體的數據，而是提供平均數的位置以及長短不一的直條，猜C的位置。學生習慣用計算的方法解決問題，但是沒有數據怎么計算？學生的思維受阻之后，必然會另辟蹊徑，利用直觀通過“移多補少”進行合情推理，得到C的位置。借助幾何直觀把抽象問題還原于直觀問題，幫助學生理解平均數是一個什么樣的數，有什么意義和作用，使原本看不見摸不著的平均數，清晰地站在學生面前。

小學數學教材中的許多概念，如：“分數的認識”、“小數的認識”可以借助“面積模型”、“數線模型”等來幫助學生理解、建立概念；“周長的認識”可以利用多媒體直觀演示讓學生首先“看一周”，接著“摸一周”，“描一周”，最后先估再量“一周的長”，這些直觀的感知、操作活動，使抽象的概念對于學生而言變得豐富和生動起來，而不再是一種空洞的“詞匯游戲”。

三、利用幾何直觀，分析解決問題

解決實際問題是數學教學的重要目標，也是當下培養學生核心素養的目標之一。在數學教學中，我們常常發現學生對解決實際問題，特別是具有一定難度或步驟較多的實際問題容易產生緊張、畏難等心理，長此以往必將影響學生的學習興趣，阻礙學生的發展。而“幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”

如，“媽媽買了2千克蘋果和5千克梨，共用去10.8元，已知買2千克梨的錢可以買1千克蘋果，每千克蘋果、梨各多少錢？”

題目中文字比較拗口，數學關系復雜，學生不容易理清數量之間的關系，但是如果將文字上的數量關系轉化為如下的線段圖表示時，數量關系就一目了然了。

人教版教材中的一些例題，如：三年級上冊“倍的認識”以及“歸一和歸總的問題”；五年級上冊的用方程解決“相遇問題”；六年級的分數、百分數應用題等，教材在編排上都借助了直觀的線段圖幫助學生理解題意，提煉題中的數量關系。

其實借助圖形解決問題，通常要把研究的對象轉化成圖形，這樣就把對象之間的聯系轉化為圖形之間的關系，再借助圖形直觀進行思考、分析并解決問題。這樣為學生分析問題、解決問題能力的發展提供了“拐杖”，發展了學生的思維能力，提升學生數學素養，為學生持續發展奠定扎實基礎。endprint

四、利用幾何直觀，發展思維能力

幾何直觀與邏輯、推理是不可分的。它需要依靠邏輯的支撐。幾何直觀不僅僅只是看到了什么？更重要的是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數學非常重要而有價值的思維方式。它會把現在看到的與以前學到的結合起來，通過思考、想象、猜想出一些可能的結論和論證思路，這就是合情推理，它為嚴格證明結論奠定了基礎。

如《三角形的內角和》一課，我根據“觀察——猜想——驗證”環節設計了以下教學過程。

1.課件動態演示引導學生觀察

（1）課件出示一個銳角，接著連接銳角邊上的兩點形成一個銳角三角形。

（2）課件第二次出示這個銳角，旋轉它的一條邊把它變成一個直角，連接直角邊上的兩點形成一個直角三角形。

（3）課件第三次出示這個銳角，旋轉它的一條邊把它變成鈍角，連接鈍角邊上的兩點形成一個鈍角三角形。（最后如下圖）

2.觀察、猜想

（1）仔細觀察這三個三角形，你認為哪個三角形的內角和最大？說說你的想法。有的學生認為鈍角三角形的內角和最大，因為鈍角最大。有的學生認為是一樣大的，雖然鈍角三角形中鈍角最大，但是它的其他兩個角都比較小。

（2）繼續觀察，現在繼續旋轉鈍角三角形的一條邊，使這個鈍角不斷的變大、變大、再變大……你看到了什么？學生發現：鈍角三角形中鈍角越變越大，而另外兩個銳角越來越小。

（3）想象一下，如果這個鈍角繼續變大，它就越來越接近…（平角、180度），而另外兩個角的大小會怎樣？

（4）由此想來，三角形的內角和可能是多少度？

學生猜想：三角形的內角和可能是180度。

師：這是我們的猜想，那么三角形的內角和到底是不是180°呢？你有什么辦法來驗證？

我們知道猜想要有一定依據，不能憑空猜想。本環節教師創設了動態的直觀圖，讓學生觀察、體會三角形三個內角的變化有此消彼長的現象，但變化有一定的極限：就是不大于180度。這一教學環節，讓學生經歷了觀察、猜想的過程，一方面有利于培養學生的觀察能力和空間想象能力，形成良好的空間知覺；另一方面為形成猜想，探索三角形的內角和奠定基礎。

“觀察——猜想——驗證”這本身就是一個幾何直觀的過程。在小學數學教材中一些公式、運算定律、探究規律等知識，均可以遵循這樣的教學過程，創設合理情境讓學生從觀察和猜想開始，通過自主探索、體驗和感受數學知識的發現過程，發展思維能力，提升數學素養。endprint