等價轉化思想在高中數學解題中的應用

楊新運

（廈門市新店中學，福建 廈門 361102）

等價轉化思想在高中數學解題中的應用

楊新運

（廈門市新店中學，福建 廈門 361102）

在高中數學解題過程中，等價轉化能為許多問題的求解指明方向：將陌生問題熟悉化，將復雜問題簡單化，將抽象問題具體化，將直接問題間接化等。

高中數學；等價轉化思想；問題解決

等價轉化思想指的是在研究和解決有關數學問題時，通過某種手段或技巧，把問題轉變到一類已經解決、或者比較容易解決的問題，進而解決問題的一種思路和方法。《普通高中數學課程標準（2003實驗版）》指出“高中數學課程應重視提高學生的數學思維能力”，而等價轉化的思想其實就是一種重要的數學思維能力。在等價轉化過程中，一般是化繁為簡，化難為易，即對原來問題中的條件進行整理、變形、轉換，最后將原問題化歸為簡單的和熟悉的問題。教師在數學解題教學過程中，應注重引導學生運用等價轉化思想解決問題。

一、將陌生問題熟悉化

在高中數學解題過程中，常常把陌生的問題轉化成熟悉的問題，再用既定的方法解決問題，數列遞推求通項問題的求解就是這種等價轉化思想的體現。

分析：本題如果賦值求解，困難較大，但是若把數列{an}的遞推公式進行整理變形便能轉化成學生熟悉的等差數列，就容易求出通項公式。

本題主要把求數列{an}的通項公式通過變形轉化為求數列的通項公式，即變成求學生熟悉的等差數列的通項公式。因此，有些數列雖然不是等差或等比數列，但學生可以通過變形、化簡，轉化為熟悉的特殊的數列來解決。這種把陌生的問題轉化成熟悉的問題的轉化方法在數學解題中應用非常廣泛。

例2.設函數 f(x)在 R上的導函數是 f′(x)，對 ?x∈R ，f′(x)＜x ，若 f(1-a)-f(a)≤-a，求實數a的取值范圍。

分析：這道題的題干很簡單，但是不易找到解題思路，經過認真的分析后，可將已知條件進行等價轉化：

進而

這道題把本來看似陌生、不易解決的問題，通過等價轉化變成熟悉的函數的單調性問題來解決，轉化之后的構造函數是解題的重點，而最初的等價轉化才是解決問題的關鍵。

二、將復雜問題簡單化

對于一些數學問題，從正面直接解答或用特定方法解答比較復雜，若能轉換解答思路或變換考慮問題的角度，往往可以把復雜的問題變得簡單，解決起來也比較快捷。

例 3.已 知 a+b+c=1,a＞0,b＞0,c＞0 ，求 證 ：

證明不等式時，常利用已知條件通過適當變換，將未知的條件等價轉化為常見的已有的條件，用既定的方法去解決實際問題。要注意找到問題中的已知條件和結論之間的聯系，挖掘出隱含條件，把復雜的問題轉化成相對簡單、容易突破的問題。

分析：通常的解法是將cos2x=1－sin2x代入已知的式子，然后令t=sin2x，換元進行整理變化，然后求最值。如果改變一下思路，進行一下等價轉化，問題就會變得更簡單：

本題不用三角換元，去分母，進行繁瑣的化簡，而是對原函數進行等價轉化，從而運用基本不等式求最值，把復雜的解題思路變得簡單，這里等價變形起到了關鍵的作用。由此可見，對一些復雜的數學問題，經過一定的等價轉化，可以達到簡化計算的目的。解題時，應該讓學生明白，碰到復雜問題時，先進行等價轉化，把復雜問題變得相對簡單后，再進行求解計算。

三、將抽象問題具體化

在數學解題過程中，經常還會碰到一些抽象的數學問題，這些問題往往給出的條件非常少，不易直接求解或推導，需要進行一系列的等價轉化，才能變成具體的、容易求解的數學問題。

例5.設定義在 R上的函數 f(x)滿足f(x)·f(x+2)=13，若 f(1)=2 ，求 f(99)的值。

分析：這是一個抽象函數問題，沒有給出函數的一些性質，直接求解幾乎是不可能的事情。所以要對已知條件進行等價轉化：

把抽象問題具體化是在數學解題中常用的轉化手段，在抽象問題與具體函數間建立聯系，從而把抽象問題具體化。

例6.在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為________(強度與 bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)。

分析：本題是一個小的應用題，條件少，抽象性強，不易找到解題突破口。認真思考后，可畫出截面圖如下，把抽象的問題轉化成具體圖形問題，再進行化簡求值。

如圖為圓木的橫截面，∵b2+h2=d2∴bh2=b(d2-b2)

以上兩個問題主要是把抽象問題或應用問題等價轉化為具體的數學問題，然后利用函數的周期性，或借助幾何圖形，再結合學過的函數知識加以解決。題目難度雖然不是很大，但是如果不進行等價轉化，便不好找解題思路，甚至無從下手。因此，等價轉化的步驟是解決問題的重要前提，應引導學生在解題中認真領悟、用心總結，掌握常用的等價轉化技巧，從而提高解決數學問題能力。

四、將直接問題間接化

有一些數學問題，直接求解時，分類情況較多，解答起來相對復雜，且易遺漏或重復。當正面分類情況較多時，反面的情況相對就較少，因此用間接方法解答，問題就會更簡單。

例7.一條長椅上有7個座位，4個人坐，還有3個空位子，求：(1)至少有兩人坐在一起，有多少種不同的坐法？(2)三個空位不都相鄰，有多少種不同的坐法？

例8.某班甲、乙、丙三名同學參加省數學競賽選拔考試，成績合格可獲得參加競賽的資格。其中甲同學表示成績合格就去參加，但乙、丙同學約定：兩人成績都合格才一同參加，否則都不參加。設每人成績合格的概率為ffffdd，求三人至少有一人成績合格的概率。

分析：這個問題中又是含有“至少”的字眼，總共有三人，正面求解分類較多，比較復雜，所以考慮用間接方法處理問題。

略解：用事件A、B、C分別表示為“甲、乙、丙三人成績合格”，由題意知A、B、C三個事件相互獨立，且那么成績合格的概率為

因此，對于一些數學問題，如果從條件出發，正面分析問題時，分類情況較多，解答過程比較繁瑣，可以考慮分析問題的條件或結論的反面情況。也就是把直接問題間接化，可以減少分類討論，簡化解題過程，使問題得以較快地解決。

五、結語

等價轉化的思想方法在高中數學解題過程中起著舉足輕重的作用,教師應引導學生重視等價轉化的思想方法在解題中的運用。但由于等價轉化思想具有一定的靈活性，解題時要先設計好等價轉化的方法和思路，避免生搬硬套，造成解題失誤。要引導學生把數學問題，從高次往低次轉化，變成比較簡單的問題；或者由抽象往具體轉化，變成比較直觀的問題；或者從非標準型往標準型轉化，變成我們的熟悉的公式或結論；或者將非線性的問題往線性問題轉化，變成常規的代數運算等等。按照這些原則進行解題操作，可暢通無阻地攻克許多高中數學難題。教師在解題教學時，應經常滲透等價轉化的思想方法，這樣即可以提升學生的數學解題能力又可以培養學生良好的數學思維品質。

［1］教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］方亞斌.怎樣認識新課標中的基本不等式［J］.數學通報，2013（2）．

［3］張中發.例談等價轉化思想在解高考題中的應用［J］.中學數學研究，2011（3）.

［4］齊如意.函數問題中的等價轉化思想［J］.中學數學研究，2004（6）.

［5］吳桂芬.如何提高“解題教學”課的教學效率［J］.新課程研究（基礎教育），2010（1）.

（責任編輯：王欽敏）