一類積分邊值條件的分數階微分方程解的存在性

(燕山大學理學院 河北 秦皇島 066000)

一類積分邊值條件的分數階微分方程解的存在性

劉偉

(燕山大學理學院河北秦皇島066000)

本文利用Schauder不動點定理和壓縮映射定理，研究了一類積分邊值條件的非線性分數階微分方程解的存在性,最后可以得到方程解的存在性的兩個結論。

分數階微分方程;分數格林函數;Schauder不動點定理;壓縮映射定理

一、引言

(一)緒論

分數階微分方程有很長的歷史。它開始發展相當緩慢.這種局面持續了很久。直到近幾十年,數學研究領域由于粘彈性,生物電磁波等在內的數學領域的研究,有了新的生命力,使它與其它學科領域的研究建立了深刻并且自然的聯系,提供了便利。隨著科學的進步,人們發現若微分方程的階數可以取分數,就可以使得數學模型更好的來描述實際問題。基于此，分數階微分方程在近幾年來受到了越來越多的關注，逐漸成為人們研究的中心的課題.

現在,分數階微分方程研究還沒有形成普遍的方法,我們對一些方程求解時就會有很大局限性.把這些困難考慮到研究中，分數階微分方程的研究還不盡人意。

(二)問題的提出

1.作者研究如下方程

(1)

解存在性.其中2<α≤3,0<λ,λ≠α.Dα是Riemann-型標準分數階微分，f是一個連續函數.

2.本文研究如下方程

(1)

二、主要結果

1.考慮如下分數階微分方程

(1)

2.考慮Banach空間

E={u|u(t)∈C[0，1]∩C’[0，1]}

3.范數

在此||u||0=max0≤t≤1|u’(t)|,||u’||0=max0≤t≤1|u’(t)|.

定義一個算子：T:E→E

其中G(t,s)在引理2定義。

定理1

(H1)存在一個非負函數a(t)∈L[0,1]，并且bi≥0,0

|f(t,x0,x1)|≤a(t)+b0|x0|a0+b1|x1|a1;

(H2)存在ci>0,βi>1(i=0,1)使得|f(t,x0,x1)|≤c0|x0|β0+c1|x1|β1.

那么邊值問題(1)(2)在[0，1]上至少有一個解.

證明.

首先，由條件(H1)，定義

U={u(t)∈E||u||≤R,t∈[0,1]},

首先，為保證地理空間數據可批量、分幅提取，相關人員可依據數據基本信息命名規則，對現有數據進行定義，如數據范圍、數據坐標系統、數據圖幅、分幅比例尺等。同時依據現有分幅標準，相關人員可對現有分幅比例尺中圖幅數量進行計算，并設定對應橫、縱坐標名稱。

并且

則U是Banach空間E中的一個球.

類似上面證明，我們得到

故我們得到T:U→U.

根據G和f的連續性，易證明算子T是連續的.

下一步我們來證明T是一個連續算子，令

令t1,t2∈[0,1]且t1

函數tα,tα+1在[0，1]上是一致連續函數，我們得出Tu是等度連續的.又Tu∈U，T是一致有界的.因此T是全敘算子。由定理S，則邊值問題(1)至少存在一個解。證畢。

定理2假設f滿足下面的兩個條件.

(H3)存在一個非負函數u(t)∈L[0,1]，使得

|f(t,x0,x1)-f(t,y0,y1)|≤μ(t)|x0-y0|+|x1-y1|

其中t∈[0，1]，xi,yi∈R,(i=o,1)

得定理1.

證明.我們來證明當m足夠大的時候，Tm是一個壓縮算子，實際上每當u,v∈E時，我們可得出

|(Tu)(t)-(Tv)(t)|

|(Tu)’(t)-(Tv)’(t)|

又

|(T2u)(t)-(T2v)(t)|

|(T2u)’(t)-(T2v)’(t)|

|(Tmu)(k)(t)-(Tmv)-(k)|

因此

由定理C，問題(1)至少一個解。證明完畢.

三、結束語

本文研究了非線性分數階微分方程在邊值條件下解的存在性。我們仍然還有很多工作要做.我們需要作進一步的努力和研究。我們一定要本著嚴謹的態度不停探索，進行更深入的研究。

[1]R.P.Agarwal,M.Benchohra,S.Hamani,A survey on existence results for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations,Acta Appl.Math.109(2009)973-1033.

[2]Zhanbing Bai,On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem,Nonlinear Analysis,72(2010)916-924.

[3]劉海忠，周文學，一類分數階微分方程邊值問題解得存在性，(31,6)2012，150-1593.

[4]Eberhard Zeidler,Nonlinear Functional Analysis and its Applications I:fixed-Point Theorems,Springer,1985.

劉偉(1992.10-)，女，漢族，河北省衡水市武強縣，碩士在讀，就讀于燕山大學理學院，研究方向應用統計。