高等數學中多元積分的總結

賽琳偉

摘 要 高等數學中的多元積分既是重點又是難點。學生容易將這些積分搞混。這些積分之間有很強的聯系，本文總結了這些積分的幾何和物理意義以及它們之間的聯系和區別。、詳細介紹了每種積分的所有計算方法，并配有代表性的例題。有助于學生復習和加強理解這一部分的內容。

關鍵詞 多元積分 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式

中圖分類號：0172 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.09.025

The Summary of Multivariate Integrals in Advanced Mathematics

SAI Linwei

（Hohai University， Changzhou， Jiangsu 213022 ）

Abstract Multivariate integrals are important and hard to learn in advanced mathematics. Students are liable to confuse them. Here we summarize these integrals， include the geometry and physics meaning， the relation and different between them. We also give all the calculation methods of each integral couple with several representational examples. It is helpful for students to learn and review the content of multivariate integrals.

Keywords multivariate integrals， Green's theorem， Gauss's theorem， Stockes' theorem

高等數學上冊學了一元積分，下冊又學了6種積分，分別是二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分。連續學了6種積分，學生可能會搞混它們之間的關系。而它們既是本課程的重點，也是難點。這些積分之間有很強的關聯，搞清楚它們之間的聯系和區別，才能更好地掌握這部分知識。這里做一下總結，有助于學生深刻理解它們之間的關系。

首先要明白積分的意義，包括幾何意義和物理意義。從幾何意義上講，一元積分就是函數到x坐標軸的面積；二重積分就是函數到xy坐標面的體積；三重積分表示四維測度；第一類曲線積分可以認為是準線為積分曲線，母線平行于z軸的柱面的面積；第一類曲面積分表示體積，但底面已經彎曲到了三維，高實際上在第四維。如果被積函數為1，則各種積分均表示被積區域的大小。具體來講，一元積分表示線段長度；二重積分表示積分區域的面積；三重積分表示積分區域的體積；第一類曲線積分表示積分曲線的長度；第一類曲面積分表示積分曲面的面積。從物理意義上講，第二類曲線積分表示變力做功；第二類曲面積分表示通量。如果被積函數為密度，則一元積分表示桿的質量；二重積分表示薄片的質量；三重積分表示物體的質量；第一類曲線積分表示彎曲桿的質量；第一類曲面積分表示彎曲薄片的質量。另外，第一類曲線積分可以認為是坐標軸彎曲的一元積分；第一類曲面積分可以認為是坐標面彎曲的二重積分。

圖1為各種積分之間的關系圖。

4種曲線和曲面積分或直接能變為一元積分，或能轉變為二重和三重積分，而二重和三重積分又能變為一元積分，最終都與一元積分建立了聯系。4種曲線和曲面積分之間的關聯：兩種曲面積分之間通過方向余弦建立了聯系，兩種曲線積分之間也有類似聯系。二元的第二類曲線積分通過Green公式跟二重積分之間有聯系，三元的第二類曲線積分則通過Stockes公式跟第二類曲面積分建立了聯系。Stockes公式是Green公式的直接推廣。第二類曲面積分又跟三重積分之間有聯系。最終，這7種積分之間建立了如圖所示的復雜關系。學生通過這張圖，并結合這些積分的定義和計算方式，就能清晰地理解它們之間的關系和區別。

從計算上來說，這些積分最終都是化為一元積分進行計算。計算的關鍵是看積分區域，與被積函數關系不大。二重積分通過累次積分化為一元積分，根據積分區域是X型或Y型決定先對x積分或先對y積分，當積分區域和被積函數容易用極坐標表示的時候考慮使用極坐標，例如包含x2+y2通常是使用極坐標的標志。使用極坐標基本都是先對r積分再對q積分。無論直角坐標還是極坐標。三重積分計算法方法比二重積分多。首先可以通過化為二重積分來計算，它分為兩種辦法：化為先一重再二重或先二重再一重。如果將積分區域比喻為土豆，前者可以理解為將土豆切成薯條，后者可以理解為將土豆切為薯片。先二后一的積分方法僅適用于被積函數只包含一個變量的情況，且截面面積容易計算（見例1的法1）。通常被積函數不包含誰就先對誰進行積分，因為此時積分表示被積區域的大小，容易計算。三重積分也可以通過柱坐標或球極坐標直接化為累次積分來計算。利用柱坐標計算的時候，先對z積分，然后對r積分，最后對 積分（見例1的法2）。該方法等效于先一后二的積分法，在計算外面二重積分的時候利用極坐標。球極坐標適用范圍較小，關鍵是確定的范圍（見例1的法3）。無論二重積分還是三重積分，化為累次積分的時候都是先寫外面的積分上下限，再寫里面的積分上下限。

例1：求三重積分

其中積分區域 為x2+y2+z2≤4z與x2+y2≤z2圍成的封閉區域。

解：積分區域為球心在（0，0，2）的球面與圓錐圍成的區域。

法1：被積函數不含x和y，先對x和y積分。endprint

x2+y2+z2=4z與x2+y2=z2聯立解得z=2。積分區域上半部分為半球面，記為 1；下半部分為圓錐，記為 2。

法2：用柱坐標。r最大為2；在下面z=r，在上面Z=2+

法3：用球坐標。又因為很容易知道從0積到圓錐母線上，即=/4。r從0積到球面上。

第一類曲線積分和第一類曲面積分只需記住它們的微分就好了。第一類曲線積分的計算只需記住ds分別在顯式函數、參數方程和極坐標下的表達式即可，然后第一類曲線積分就可以變為一元積分。如果積分曲線很容易寫成y是x的顯式函數（或x是y的顯式函數），則ds=；如果積分曲線表示為x和y是參數t的參數方程的形式更方便，則ds=；如果積分曲線是極坐標的形式，則ds=。第一類曲面積分的計算類似，若積分曲面方程z是x和y的函數，則ds=，之后是將積分區域投影到xy面，再將被積函數中的z利用積分曲面方程變為x和y，就能將第二類曲面積分轉為二重積分。

第二類曲線積分的計算方法很多，可以直接計算，也可以通過切向量的方向余弦轉化為第一類曲線積分。對于二元的第二類曲線積分，如果積分曲線是封閉的，或者很容易補成封閉的，則應該考慮使用Green公式，如果是三元的第二類曲線積分，就考慮使用Stockes公式。利用Stockes公式計算時，以積分曲線為邊界的曲面是任意的，通常就取積分曲線所在的平面。第二類曲面積分的計算方法也有好幾種，最基本的是轉化為二重積分（例2法1），可以通過3步做到：得到投影區域（以xy平面為例），將被積函數中的z用曲面方程代入，根據曲面法向與z軸正向的夾角決定積分符號。dydz、dzdx和dxdy這3個坐標面的積分可以相互轉化。以dxdy為例，dydz=-zxdxdy、dzdx=-zxdxdy（例2法2）。如果積分曲面的法向容易計算，例如是常向量，則應優先考慮將其轉化為第一類曲面積分（例2法3）。如果積分曲面是封閉的，或者很容易補成封閉曲面，則優先考慮使用Gauss公式（例2法4），將其轉化成三重積分計算。這往往也是最簡單的方法。

例2：計算第二類曲面積分

其中 為A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）構成的三角形的下側。

法1：直接計算。積分區域關于x，y，z對稱

法2：曲面x+y+z=1的單位法向量

為常向量。

法3：dydz=-zxdxdy=dzdx，dzdx=-zxdxdy=dxdy

（投影三角形的面積）

法4：利用Gauss公式。補充 1面為OAB面，方向朝z軸正方向； 2面為OAC面，方向朝y軸正方向； 3面為OBC面，方向朝x軸正方向。則 + 1+ 2+ 3為封閉曲面，方向朝內，記其圍成的封閉區域為 。

同理

利用對稱性來計算這些積分能起到事半功倍的效果。對于一元積分來說，積分區域首先要關于原點對稱，其次被積函數是奇函數則積分為0，被積函數是偶函數則積分大小為右半邊積分的2倍。多元積分也是如此，對誰積分，就考慮積分區域對于積分變量有沒有對稱性，暫不參與的積分變量視為常數。

例3：設 是球面x2+y2+z2=a2，求第一類曲面積分

解：積分區域 關于xy平面對稱，而被積函數z是奇函數

所以積分為0。

利用積分對稱性可以直接得出積分為0或將積分區域減小。另一種情況是利用對稱性將積分補全反而更簡單。

例4：設 是球面x2+y2+z2=a2，求第一類曲面積分

解：積分區域 關于x，y和z均對稱

注意第二類曲面積分中曲面的方向也包含符號，如果將例4改成第二類曲面積分，則大不一樣。

例5：設 是球面x2+y2+z2=a2的外側，求第二類曲面積分

解：積分區域關于x y對稱，且被積函數非負。但上半球面的曲面法向朝上，故上半球面積分為正；下半球面的曲面法向朝下，故下半球面積分為負。所以上下兩個半球面上的積分絕對值相同，符號相反，積分為0。

同理，例3改成第二類曲面積分也不一樣。此時上半球面，被積函數為正，曲面法向朝上，所以積分為正；下半球面被積函數為負，曲面法向朝下，最終積分也為正！原積分為上半球面積分的2倍。

總之，記住每種積分的意義是最重要的。根據上面總結的計算方法，每種方法結合一道例題鞏固，那么它們的計算也不是難事。

參考文獻

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