一道中考數(shù)學壓軸題的解法探究及教學啟示

劉艷萍 (江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)景城學校 215027)

通過 解題，學生可以加深概念的理解，深化認識概念的聯(lián)系性，優(yōu)化數(shù)學認知結構，訓練數(shù)學思維，提高分析和解決問題的能力．筆者對2021年四川省自貢市中考數(shù)學試卷中的一道二次函數(shù)壓軸題進行多角度的詳細解析，并借此提出對教學的一點想法．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，拋物線y=(x+1)(x-a)(其中a>1)與x軸交于A，B兩點，交y軸于點C．

圖1

(1)直接寫出∠OCA的度數(shù)和線段AB的長(用a表示).

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+1)(x-a)上是否存在一點P，使得∠CAP=∠DBA?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

2 試題解讀

好題應具有以下“品質”：與重要的數(shù)學概念和性質相關，體現(xiàn)基礎知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等．[1]本題是以二次函數(shù)為背景并嵌入三角形外心和等腰直角三角形等基本圖形的壓軸題．該題涉及的數(shù)學核心概念主要有：解方程、因式分解、二次函數(shù)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、軸對稱、全等三角形、相似三角形和圓等．本題涉及的數(shù)學思想方法主要有：化歸思想、數(shù)形結合思想、方程思想和分類思想等．三小題難度由淺入深，第(1)小題考查解方程、坐標與圖形的轉換等;第(2)小題考查三角形外心的性質、處理相似三角形周長比的方法等;第(3)小題考查相等角問題的處理方法等,本小題的處理方法多樣，可從構造相似三角形方向求解，也可從構造輔助圓方向求解，還可以從角的轉換方向求解等．綜上分析，該題在考試中具有很好的評價功能，同時也為后續(xù)教學提供了優(yōu)良的素材．

3 解法探究

3.1 第(2)小題解法

由已知條件易得A(a，0)，B(-1，0)，C(0， -a)，AB=a+1，OA=OC=a．△OAC是等腰直角三角形，其中∠OAC=∠OCA=45°．

評析 解法1與解法2的相同之處都是從三角形外心的幾何性質分析證明得到△BDC是等腰直角三角形，結合由第(1)小題得到的△OAC也是等腰三角形，可推得相似三角形△BDC和△AOC的周長比就是對應邊的比，進而建立關于a的方程求解．兩種解法的不同之處在于解法1直接利用邊BC和CA的比，計算量相對少一些，而解法2先從“三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點”的角度求出三角形外心點D的坐標，再用邊BD和AO的比求解．

3.2 第(3)小題解法

圖2

評析 從構造相似三角形和對稱性兩個方向思考問題．首先通過分析并構造出兩個相似的等腰直角三角形，將三角函數(shù)值轉化為相似比，求出點E的坐標，進而聯(lián)立直線AE和拋物線解析式求得一解．再由點的對稱得到角的對稱，進而得到相等的角，利用對稱性可求出直線AM的解析式，并聯(lián)立拋物線解析式求得第二解．

圖3

評析 從圓中角的轉換和構造全等三角形方向思考問題．首先在由外心畫出外接圓，將圓心角、圓周角等轉換求得第一個點P的坐標．再利用對稱性構造全等三角形求得直線AN的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求得第二個點P的坐標．

圖4

圖5

評析 從“角的轉化”方向思考，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想．第①種情況利用“角的轉化”證得直線AE⊥BC，進而求出直線AE的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出點P坐標．第②種情況利用“角的轉化”證得∠CBO與∠PAE相等，根據其三角函數(shù)值也相等建立方程求出點P的坐標．

圖6

圖7

4 教學啟示

4.1 教學中要重視數(shù)學概念的理解

綜上所述，教學中要讓學生從多角度厘清數(shù)學概念的要素，明確數(shù)學概念的本質和概念之間的關系，以此強化對數(shù)學概念的深度理解．

4.2 教學中要重視主題教學

數(shù)學主題教學是在整體思維指導下，從提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以突出數(shù)學內容的主線以及知識間的關聯(lián)性為方向對教材內容重組和優(yōu)化而形成的一個相對獨立的數(shù)學教學設計．數(shù)學主題根據具體的教學需求決定，可以分為以下三類：以重要的數(shù)學概念或核心數(shù)學知識為主題、以數(shù)學思想方法為主題和以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為主題等．[2]例如根據第(3)小題可以設計以“相等角的處理策略”為主題的復習課．第一節(jié)課帶學生梳理初中階段不同章節(jié)中出現(xiàn)的相等角并完成基礎練習．如在基本圖形中有對頂角相等、角平分線分得的兩個角相等；在兩條平行線中同位角或內錯角相等；在三角形中有等邊對等角、等邊三角形三個角都相等；在四邊形中有平行四邊形對角相等、菱形的對角線平分一組對角、矩形和正方形四個角都相等；在圓中有等弧或同弧所對的圓周角相等；在全等三角形或相似三角形中對應角相等；在銳角三角形函數(shù)中銳角三角函數(shù)值相同的兩個角也相等；在一次函數(shù)中若直線的斜率k相同則直線與x軸的夾角相等……第二節(jié)課講解相關的中考題目，在解題中加深鞏固“相等的角”的處理方法．第三節(jié)課根據本主題內容安排相關測試并進行評價．通過主題教學與評價，學生對相等角的處理策略有了更深的理解，在解題中就能游刃有余，解題能力和思維能力都得到了發(fā)展．

數(shù)學主題教學正是從整體思維出發(fā)，在更高的觀點下對數(shù)學教學中的各要素進行系統(tǒng)的綜合考量，使其產生整體效益．教學中要重視主題教學，教師要把教學內容放到整體、主題中去全盤思考，才能有利于提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．