基于核心素養的數學測評研究——以河北省2017年中考數學試題為例

張惠英，王瑞霖

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基于核心素養的數學測評研究——以河北省2017年中考數學試題為例

張惠英1，王瑞霖2

（1．石家莊市教育科學研究所，河北石家莊 050011；2．首都師范大學，北京 100048）

數學核心素養的培養是基礎教育課程改革進程中的一個重要目標，對此問題的研究應不僅僅體現在課程層面和教學層面，也應該思考其在測評領域的相關問題．首先分析課程領域、教學領域和評價領域對核心素養的認識，再以數學中考試題為例，從數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等角度出發，討論數學核心素養在試題中的體現，提出要實現育人為本、提升教師的隱性幫助、樹立科學的教育質量觀等建議．

核心素養；素養測評；中考

1 問題提出

教育的目的不僅限于傳授知識和培養能力，使學生具備適應未來發展的素養更是教育肩負的重任．核心素養是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力[1]．2014年3月，中國教育部印發了《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》，明確提出了落實立德樹人工程的十大領域，研究制訂學生發展核心素養體系和學業質量標準是首要環節．要根據核心素養體系，明確學生完成不同學段、不同年級、不同學科學習內容后應該達到的程度要求[2]．2016年9月北京師范大學林崇德教授領銜的研究團隊發布了“中國學生發展核心素養”的研究成果，提出中國學生發展核心素養的3個方面、6個維度、18個要素[3]．

在此背景下，研究者們對核心素養的思考需系統深入，一種可能的思考途徑是從數學課程領域出發，到數學教學領域，再落實到數學學習評價領域，這一途徑有助于各個領域的數學教育工作者從縱向確立對核心素養的全面理解．

1.1 數學課程視角下的數學核心素養

在數學課程領域，“數學素養”是數學課程標準中提出的一個專用術語．《義務教育數學課程標準（2011版）》提出的10個核心概念，反映了數學素養的一個方面．數學素養的提出可以啟發人們以課程論的眼光重新審視數學課程的價值和功能，調整我們的數學教學策略．從長遠看，它應該是數學課程改革的理論支撐之一[4]．正在修訂的普通高中數學課程標準也給出了數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，并劃分出了每一個數學核心素養的3個不同水平，這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體．

1.2 數學教學視角下的數學核心素養

在數學教學領域，有學者提出要關注數學閱讀、重視數學與現實的聯系、鑒別不同的思維方法[5]．也有許多一線教師從具體的課例中研究核心素養的培養，所涉及范圍包括教學方式轉變與培養核心素養的關系、數學學習習慣與培養核心素養的關系、數學史學習與培養核心素養的關系、數學思想方法與培養核心素養的關系等等．

1.3 數學評價視角下的數學核心素養

在數學評價領域，PISA關于素養的評價影響較廣，然而PISA關注的素養與中國現在所談核心素養并不完全一致，其視角一直聚焦于學生在未來社會中是否具備足夠的競爭力，而中國熱議的數學核心素養更多關注學科本質，故而要擴展視野研究適合中國的素養評價．在評價改革層面，各地紛紛出臺以核心素養為綱的中考評價改革方案，河北省教育廳中考中心在2017年1月頒發了《2017年初中畢業生文化課考試說明·數學》（以下簡稱《說明》）中就明確中考命題的指導思想：堅持圍繞《義務教育數學課程標準（2011版）》注重基本數學能力、數學素養和對學生學習潛能的評價[3]：考查學生基本知識、基本技能的理解和掌握程度；設計有層次的問題考查學生的不同水平，考查學生數學思考、問題解決、數學態度等方面的表現等．這些中高考的指導文件帶動了考試的變革，也直接影響了一線教學．比較公認的教學狀況是，教師的教學基本上看齊于中考、高考[6]，在中國的教育背景下，善用“考試指揮棒”也可以促進教育面貌的轉型．

2 對試卷結構與數學核心素養的考查

2.1 試卷整體結構

從整體來看，2017年的河北省中考試題結構，形式和答題要求方面與2016年的試題保持了一定的聯系性和穩定性，力圖考查數學核心素養的命題思路清晰，試題結構合理，新背景、新問法多處出現，重視對“四基”、“四能”的考查．以數學的10個核心概念：“數感”、“符號意識”、“空間觀念”、“幾何直觀”、“數據分析觀念”、“運算能力”、“推理能力”、“模型思想”、“應用意識”、“創新意識”[7]及相應的重點知識構建試題的主體，對今后初中數學教學具有較好的導向作用，在考查學生數學核心素養方面做了一些有益的探索．

2017年河北省中考試題滿分120分，考試時間120分鐘，共設置26題，包含40個設問．其中客觀題共16個，共42分作為卷一，主觀題共10個，共78分作為卷二．數與代數、圖形與幾何、統計與概率所占分數的百分比大約為5:4:1，與其在教學中所占課時的百分比大致相同．沒有獨立考查綜合實踐活動的題目，而是滲透在其他題目中．

試卷的整體難度比去年略難，試題按其難度分為容易題、中等題和較難題[3]難度在0.7以上的題為容易題，難度在0.4~07之間的為中等題，難度在0.2~0.4的題為較難題．《說明》要求這3種類型試題的比例在3:5:2，整套試題的難度在0.64左右．整套試題閱讀量較大，圖文并茂．其中有18個題目配有圖或表格（合計36個圖或表格），試題對讀圖的閱讀理解能力要求較高．

2.2 數學核心素養的考查

該套試題充分發揮了數學學科的作用，將“四基”、“四能”融為一體，全面檢測考生的數學素養．《義務教育數學課程標準（2011版）》要求在初中階段應學習約有298個知識點，該套試題涵蓋了大約160個知識點，覆蓋率在54%．說明試題并未刻意追求知識點的覆蓋，而是多處設問開放，多題把關考查數學素養．主觀題在數學核心素養和數學能力方面的考查表現突出．主觀試題的內容領域、“四基”指向和考查的核心素養參見表1．

表1 主觀題內容分布與命題指向

總之，整套試題在數學思想的滲透、數學思維能力與數學核心素養等方面的要求形式多樣、設問靈活，布局全面，體現命題者以核心素養為導向的追求．

3 典型試題分析

河北省中考一直是全省統一命題，以下以石家莊市的考試情況對主觀題加以分析．2017年石家莊市共87?075名九年級學生參加了河北省的中考，平均分77.18分，得分率0.64，接近《說明》要求的0.65的難度，及格率55.6%，優秀率6.8%，及格率偏低，優秀率更是低于往年的中考成績．事實上，學生在“雙基”題目的考查上得分率還是比較高的，而在觸及數學核心素養考查的問題得分不理想．下面將以部分主觀題為例對數學核心素養的考查進行解讀．

值得說明的是，一個題目很難獨立考查某個數學核心素養，數學核心素養一定是綜合地體現在每一個問題中，為了使得分析思路更加清晰，這里對數學核心素養逐一進行討論，關注試題中較為側重的數學核心素養．

3.1 數學抽象素養的考查

題目20．在一條不完整的數軸上從左到右有點、、，其中=2，=1，如圖所示．設點、、所對應數的和是．

（1）若以為原點，寫出點、所對應的數，并計算的值；若以為原點，又是多少？

（2）若原點在圖中數軸上點的右邊，且=28，求．

數學素養考查方式分析：數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養[9]．題目以數軸為問題背景，考查數軸的概念、幾何意義、有理數運算、實數的性質等知識，考查運用數形結合與分類討論的數學思想解決問題的能力．以考查數學抽象為主，同時考查直觀想象、數學運算的數學素養．

學生作答分析：

學生的數學抽象素養較弱則很難將線段結合數軸順利的轉化為數，易出現的問題有：直接認為=2則對應的數是2，甚至出現更錯誤的表達=-2；將、、都用坐標表示，的值也用點的坐標表示，這樣難以應用題目中的條件．此外的常見錯誤是運算素養不強的表現．數軸是重要的數學概念，是今后學生進一步學習二維、三維坐標系等知識的基礎，數學抽象素養貫穿數學學習的始終．因此，在教學中，需要加強對數軸概念及數形結合數學抽象素養的培育．

3.2 邏輯推理素養的考查

題目22．發現任意5個連續整數的平方和是5的倍數．

驗證：

（2）設5個連續整數的中間一個為，寫出它們的平方和，并說明是5的倍數．

延伸：任意3個連續整數的平方和被3除的余數是幾呢？請寫出理由．

數學素養考查方式分析：邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其它命題的素養[8]．該題主要考查有理數的運算、列代數式、整式化簡、完全平方公式等的知識的理解和運用，反映演繹推理與合情推理的關系，考查數學運算與邏輯推理的關系，考查類比遷移的數學能力．試題將邏輯推理和數學運算的數學素養有機地結合起來進行考查，學生需要對條件中提供的信息進行充分解讀，運用了代數推理．

學生作答分析：

在這一問題中，邏輯推理素養薄弱的學生在說明道理時不用字母表示數，很多考生采用了特殊值的方法，選用這種做法從表面看是代數意識不強，實際應歸因為數學演繹推理素養有待提高．

運算素養薄弱的學生會出現如下錯誤：有理數運算中平方不會計算、整式運算或分解因式出錯，如有考生出現：

3.3 數學建模素養的考查

月份n（月）12 成本y（萬元/件）1112 需求量x（件/月）120100

（1）求與滿足的關系式，請說明一件產品的利潤能否是12萬元；

（2）求，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；

（3）在這一年12個月中，若第個月和第(+1)個月的利潤相差最大，求．

數學素養考查方式分析：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[8]．該題是反比例函數模型與二次函數模型相結合的應用題，綜合性較強，雖然有一定難度，但起點較低，入口較寬，學生上手容易．使學生經歷了探究函數應用問題的全過程，能讓不同發展層次的學生展示自己對模型思想的理解．具體考核內容為：待定系數法求函數的解析式；利用方程解決實際問題；作差法比較大小，體現函數性質在實際問題中的應用，體現分類討論的數學思想．

學生作答分析：

數學建模素養較為薄弱的學生會出現理解錯誤，如：未能確立該實際問題應選用的函數模型，“第一問就設成+”，沒有理解題意；將題目中的“既無盈利，也不虧損”，誤認為成本等于0，導致錯誤；在最后一問中對于題目要求“利潤相差”所滲透的分類意識欠缺，導致求解不全面而出現少解或漏解的錯誤．

3.4 直觀想象素養的考查

題目23．如圖，=16，為中點，點在線段上（不與點、重合），將繞點逆時針旋轉270°后得到扇形、、分別切優弧于點、，且點、在異側，連接．

（1）求證：=；

（3）若△的外心在扇形的內部，求的取值范圍．

學生作答分析：

直觀想象素養較強的學生可以對、、三點共線問題進行審辨，而此方面素養較薄弱的學生在證明三角形全等時會因為默認、、三點共線出現錯誤．根據隨機調查的400份試卷的數據統計，有51%的學生默認、、三點共線，導致錯誤．在第3問中，問題情境需要考慮的因素比較多，多數學生沒有給出解答，解答的學生也因為考慮不全面只得到了單邊不等式＞4，或者添加了等號4≤＜8而得不到滿分．該題有41.1%的學生得分在2分或以下，說明學生綜合運用數學知識的能力欠缺，直觀想象、邏輯推理的素養現狀堪憂．

3.5 數學運算素養的考查

（1）求點、的坐標及直線的解析式；

數學素養考查方式分析：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養．本題是一道有關一次函數和幾何圖形的綜合題，難度中等，考查了待定系數法、利用函數解析式確定點的坐標、判斷三點是否共線、求幾何圖形（三角形、梯形）的面積以及軸對稱的性質等主干知識，除此之外，還考查了數形結合思想、直觀思維和邏輯思維之間的辯證關系．體現了對數學運算素養、數學抽象素養和邏輯推理素養的考查．

學生作答分析：

該題主要考查了運算素養，學生易出現的典型錯誤也與此有關：

（4）求時，確定兩點間的距離，涉及到坐標為負數的，出現=13+5=18的錯誤．

還有一些數學抽象素養薄弱導致的錯誤類型：

（1）對點的坐標的理解不到位，出現了橫、縱坐標弄反或者正負號弄錯，如得到點的坐標為(0,-13)或者(13, 0),以及求點的坐標時，用橫坐標-5去替換函數值去求解；

（2）在平面直角坐標系中，對關于坐標軸對稱的兩點坐標的特征認識模糊，以至于錯誤地把點B的坐標寫成(5, 3)；

（3）不知道如何用數學的方法驗證三點是否在同一條直線上；

（4）求的解析式時，誤認為點也在直線上，錯誤地利用、點的坐標求的解析式；

3.6 數據分析素養的考查

題目21．編號為1~5號的5名學生進行定點投籃，規定每人投5次，每命中1次記1分，沒有命中記0分．如圖是根據他們各自的累積得分繪制的條形統計圖，之后來了第6號學生也按同樣記分規定投了5次，其命中率為40%．

（1）求第6號學生的積分，并將圖增補為這6名學生積分的條形統計圖；

（2）在這6名學生中，隨機選一名學生，求選上命中率高于50%的學生的概率；

（3）最后，又來了第7號學生，也按同樣記分規定投了5次．這時7名學生積分的眾數仍是前6名學生積分的眾數，求這個眾數，以及第7號學生的積分．

數學素養考查方式分析：數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用統計方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養．該題考查了統計的相關知識及簡單隨機事件概率的計算；具體的考查條形統計圖讀圖補圖能力；計算一組數據的眾數，知道眾數求出一組數據中缺少的數據．突出了對概念的考查，體現了對不同層次的學生基礎性層次性和發展性的要求．

學生作答分析：

在該題中，學生的數據分析素養表現為對實際問題的理解和對數據處理素養兩方面．在實際問題的理解上，有超過30%的學生出現了同一類錯誤，即，認為第7號學生投5次籃，不可能一次都不中，0分的情況．其原因是學生難以為隨機事件給出準確的定位，隨機意識薄弱，實踐體會不足．許多閱卷教師也承認自己做這道題時也忽略了0分的情況，說明數據分析素養恰恰是師生的“軟肋”．

在數據處理素養上，6%的學生未能正確求得概率，沒能理解題意，按兩次抽取事件畫樹狀圖或表格來求概率，將簡單的事件復雜化；個別學生眾數、中位數、平均數的意義混淆,把求眾數求成中位數或平均數．

4 結論與建議

數學教育評價對數學核心素養的關注逐步全面深入，中考作為教育評價的一部分，也肩負著優化試卷結構、調整命題方向的重任[9-11]．數學核心素養在測評中的考查要突出其基礎性、綜合性、應用性與創新性[12]．分析中考試題可以為數學核心素養的測評和培養提供一些建議，同時也不能忽視對核心素養的形成性評價，以便更好地凸顯核心素養的綜合性、內隱性和適應性等特點[13]．結合上述分析，為改變數學核心素養教學與評價滯后于理論研究的現狀提出如下建議．

第一，數學課程既要面向知識也要面向素養，實現知識為本向育人為本的轉變．

數學素養的提出是數學課程改革必然的產物．在時代發展之中，學生在學校能否掌握適應社會和進一步學習的數學基礎素養是教育的關注點，數學課程不僅指向學生必備的基礎知識，還要面向學生在數學方面所具備的綜合品質．近年來，數學核心素養成為數學課程目標的集中體現，這是可喜的，但同時也要思考知識本位與素養本位的共同追求和主要差異所在．從工具價值理解數學會發現，數學中的基本概念、術語、事實、運算程序等都是這一學科的根基性知識，脫離這些概念無法理解和解決問題．從人文價值理解數學則會發現，學習者是否具備良好的數學意識和數學思維是更為重要的目標．兩者的統一性體現在對數學價值的認同上，在此基礎上現行的課程更富有數學的理性精神與創新精神，更注重數學與學習者未來發展的關系．

第二，數學素養的形成需要教師的隱性幫助，實現知識為中心向學生為主體的轉變．相比起數學知識與能力，素養的內隱特征決定了教師的引導類型也偏重于隱性，在激發學生學習動機、養成良好學習習慣、形成正確的數學探究方式的．同時，教師還應關注樹立學生合理的數學觀，培養學生運用正確的數學思維路徑，相信學生的數學素養的培育是需要思維鍛煉場域的，在這種場域中，教師隱性的指導超越了以知識為中心的追求而力圖真正實現以學生為主體．在數學視野上，學生對數學價值的認識是出于自身經驗的不斷生長；在數學交流上，學生在與數學的對話中實現對數學的理解；在數學創造上，學生能自覺地借助自身素養進行新的數學活動．

第三，數學教育評價的重中之重是樹立科學的教育質量觀，實現甄別性評價向發展性評價的轉變．

伴隨著課程領域和教學領域的變革，數學教育評價的取向和方式也要有所調整．評價對教學的影響非常顯著，并且，若能有效利用評價促進教學，就能用好這把雙刃劍．在變革之中，首先需要調整的就是教育者的觀念，要甘于暫時的落后，樹立長遠的質量觀，才能突破困境．在日常的教學評價中，教師要植入對核心素養二級水平的考查，在適度的新情境中培育數學素養，減少重復性練習，長短作業兼顧，避免對單一評價方式的依賴．在紙筆測試的試題命制中，要關注學生的應知應會內容，并適當給學生以空間展現他們對數學的想象與思考，研制能夠考查學生核心素養的試題．

渴望在未來的義務教育課程標準中，建立七~九年級數學核心素養評價體系，厘清這一學段數學核心素養的內涵及給出不同水平的劃分，為七~九年級的數學教學與測評指明方向．

[1] 林崇德．21世紀學生發展核心素養研究[M]．北京：北京師范大學出版社，2016：29．

[2] 中華人民共和國教育部．關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見[EB/OL]．基教二[2014]4號．（2015-04-01）[2017-07-10]．http://www.jswxedu.com/html/jyfw/zgzj/190.html.

[3] 2017年初中畢業生文化課考試說明數學[M]．石家莊：地質出版社，2017：3-4．

[4] 鄭強，論數學課程標準中的數學素養觀[J]．山東教育學院學報，2005（5）：1-2．

[5] 黃華．從PISA數學素養測試對國內數學教學的啟示——PISA數學素養測試與上海市初中畢業統一學業考試數學測試之比較[J]．上海教育科研，2010（5）：8-11．

[6] 張瑞炳，倪明．中國和俄羅斯高考數學考查內容比較研究[J]．數學教育學報，2016，25（2）：32-35．

[7] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：5．

[8] 史寧中．學科核心素養的培養與教學：以數學學科核心素養的培養為例[J]．中小學管理，2017（4）：35-37．

[9] 董林偉，喻平．基于學業水平質量監測的初中生數學核心素養發展狀況調查[J]．數學教育學報，2017，26（1）：7-13．

[10] 殷容儀，趙維坤．基于質量監測的初中學生數學抽象發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：14-15．

[11] 周雪兵．基于質量監測的初中學生邏輯推理發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：16-18．

[12] 陳昂，任子朝．數學高考中實踐應用能力考查研究[J]．數學教育學報，2017，26（3）：15-18．

[13] 張傳燧，鄒群霞．學生核心素養及其培養的國際比較研究[J]．課程·教材·教法，2017，37（3）：37-44，36．

Study of Mathematical Assessment Based on Key Competences: Hebei Province’s High School Entrance Examination 2017 as an Example

ZHANG Hui-ying1, WANG Rui-lin2

(1. Shijiazhuang Research Institute of Education Science, Hebei Shijiazhuang 050011 China;2. Capital Normal University, Beijing 100048, China)

The course of basic education curriculum reform posed the key competences. It was not only reflected in the curriculum level, but also needed to be permeated in the teaching level, and be affected by the evaluation level. This study analyzed the related understanding on curriculum, teaching and evaluation in the field of key competences, and discusses the embodiment of key mathematics competences in the test based on high school entrance examination. Discusses the problems in assessment from the view of Mathematical abstraction, Logical reasoning, Mathematical modeling, Visual imagination, Mathematical operations and Data analysis. Puts forward some suggestions for mathematics educators.

key competences; competence assessment; high school entrance examination

[責任編校：周學智]

G632.0

A

1004–9894（2017）05–0031–05

張惠英，王瑞霖．基于核心素養的數學測評研究——以河北省2017年中考數學試題為例[J]．數學教育學報，2017，26（5）：31-35．

2017–07–14

北京市社會科學基金——數學理解性教學的理論建構與實踐策略研究（15JYC032）

張惠英（1961—），女，河北安國人，教授，主要從事數學課程與教學論研究．