ICME-13之HPM專題研究綜述

沈中宇，鄒佳晨，汪曉勤

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ICME-13之HPM專題研究綜述

沈中宇1，鄒佳晨2，汪曉勤2

（1．華東師范大學數學系，上海 200241；2．華東師范大學教師教育學院，上海 200062）

第13屆國際數學教育大會的TSG 25是HPM研究組．此研究組一共有38個報告，報告的主題可以分為7類．從中可總結出國際HPM研究的特點有：重視理論基礎；研究方法規范；多元文化交融．對中國HPM研究的啟示有：構建理論框架，重視本土特色；規范研究方法，注重實證研究；關注多元文化，加強國際交流；豐富教學方式，開拓第二課堂．

ICME-13；HPM；特點；啟示

國際數學教育大會（簡稱ICME）是國際數學教育委員會（簡稱ICMI）最重要的活動之一，每4年召開一次，第13屆國際數學教育大會（簡稱ICME-13）于2016年7月24—31日在德國漢堡的漢堡大學和漢堡會議中心舉行．會議共有54個專題研究組（Topic Study Group，簡稱TSG），其中TSG 25的主題是“數學史在數學教育中的作用”，即通常所說的HPM（History and Pedagogy of Mathematics）．

HPM專題研究組在ICME中有著較長的歷史，在1976年德國卡爾斯魯厄舉行的ICME-3中，根據提議，ICMI執行委員會在它隨后的會議中開設了這一研究小組[1]．而在中國，自從2005年第一屆全國數學史與數學教育研討會召開以后，數學史在數學教育中的作用日益受到關注．據統計，《數學教育學報》2010年后載文下載頻次前20的論文中，就有6篇與數學史、數學文化對數學教育的作用有關[2]．雖然國內的HPM研究文獻日益增多，但研究水平仍有待提高；研究者需要有國際視野，及時了解國際HPM研究動態，從中汲取經驗與啟示[3]．

有鑒于此，這里對TSG 25的所有報告內容進行綜述和分析，試圖回答以下問題：TSG 25的報告涉及哪些研究內容？有何特點？對HPM研究與HPM視角下的數學教學實踐有何啟示？

1 TSG 25基本情況概述

1.1 TSG 25的目標和理念

TSG 25的目標在于建立一個學術論壇，讓來自世界各地的研究者分享他們的研究興趣、研究結果和國際化的思想，包括數學史融入數學教學的理論探討、實踐經驗和實證研究，并讓他們從交流和研討中獲得豐厚的回報；同時，也激發年輕學者對HPM領域的研究興趣．TSG 25的討論包括所有層次的教育，從小學到大學，包括在職教師的培訓．

TSG 25的理念是：數學是人類智慧的寶庫，有著漫長的歷史與充滿活力的今天，因此，數學知識不僅由其演繹結構所決定，也受到原始動機的引導，這對數學知識的理解是不可或缺的．學習數學并不僅僅意味著學習現成的數學知識，還需要了解知識背后潛在的動機、數學家的活動與反思過程．因此，在數學教學中，教師需要給予學生“做數學”的機會．獲取數學知識的邏輯結構和了解知識的產生過程都應該是數學教學的核心．

因此，在數學教育中，認識到數學具有以下的特征是非常重要的：不同的文化都對數學的發展做出過貢獻；數學與其他科學、哲學、藝術和技術都有著密切的聯系；隨著時間的推移，關于“數學是什么”，已經產生過很多不同的觀點；數學是刺激和支持科學技術、藝術和社會發展的永恒力量．

數學史融入數學教育有助于在學生中建立科學與人文的聯系，這對今日數學教育尤為重要．通過數學學習，學生既要獲得技術知識，也要接受博雅教育．

1.2 TSG 25的主題

TSG 25圍繞以下6個主題展開：（1）數學史融入數學教育的理論或概念框架；（2）歷史與認識論在數學教育中的應用：課堂實驗和教學材料；（3）數學課程或教科書中的數學史調查；（4）課堂上的原始素材及其教學效果；（5）在數學教學中將歷史和認識論作為一個跨學科的方法來揭示數學和科學的密切聯系；（6）文化和數學的交融．

2 TSG 25的內容簡述與分析

在TSG 25中，來自17個國家的學者共作了34個報告，其中16個為常規報告、18個為口頭交流報告，另外還有4份海報．常規報告的時間為15分鐘，外加5分鐘討論；口頭報告的時間為10分鐘，外加5分鐘討論．海報則在所有TSG的海報環節展示．

這些報告均符合TSG 25的6個主題中一個或多個主題，為了更清晰地展示各報告的內容，將其重新分成以下7類[4-6]，這7類涵蓋了會議的6個主題且每個報告均屬于這7類中的1類．

第1類：HPM理論探討；

第2類：教育取向的數學史研究；

第3類：歷史相似性實證研究；

第4類：教學實踐與課例開發；

第5類：HPM與教師專業發展；

第6類：數學史融入數學教材研究；

第7類：技術與HPM．

圖1給出了各類主題的分布．

圖1 38個報告中各類主題的頻數分布

從圖1可見，有關教學實踐與課例開發、HPM與教師專業發展和教育取向的數學史研究的報告占了73.7%．

2.1 HPM理論探討

在HPM的理論層面，需要解決“為何”與“如何”問題，即數學史的教育價值、數學史與數學教育方方面面的關聯以及數學史在數學教學中的運用方式．有3個常規報告和兩個口頭報告聚焦理論探討．

來自德國的Weiss-Pydstrygach在報告中指出，數學史有助于再現代數概念的幾何背景，彌補代數教學中的背景缺失．報告呈現了霍納法的豐富幾何背景，說明這些幾何背景可以促進和完善學生對數學的理解[7]．

來自墨西哥的Fonseca在報告中追溯了1980年代在墨西哥數學教育界興起的社會認識論．該理論強調，數學知識是由社會建構而不是由學校創造的，學校系統中的數學知識改變了數學的結構和表現形式；數學知識的社會建構是一個從個體對數學對象的直接行動開始到人類的社會活動、到社會中的反復實踐、再到作為材料和思想形態的呈現、最后到社會實踐的管理這一嵌套的過程．社會認識論關注知識的4個維度——社會與文化、認識論、認知和教學，將知識視為一個動態發展的過程[8]．該理論為HPM理論與實踐研究提供了參考．

來自丹麥的Kjeldsen和Johansen在報告中以卡丹（Cardano，1501—1576）的數學問題以及冪的現代理論說明，代數符號作為一種認知工具，對于學生的數學學習具有重要作用．作者建議，可以通過列出清晰的學習目標、設計學習單進行相關主題的教學[9]．

來自丹麥的S?rensen在報告中鑒于教師選擇和運用數學史料的困難，提出了一個史料選擇和開發的框架——從篇幅、語言和層次3個角度選擇歷史素材，根據教學目標將數學史作為背景或內容的支持[10]．作者又提出基于課程的數學史開發流程——從原始材料到丹麥語翻譯、再到情境化、潤飾和評論，最后給出教學建議．

洪燕君以三角形內角和定理的教學為例，呈現了數學史融入數學教學的實踐模式——高校HPM研究團隊與中學一線教師開展合作，以及具體流程——按準備、設計、實施和評價4個步驟實施教學[11]．

5個報告分別討論數學史的教育價值、社會認識論與HPM之間聯系、教育取向的數學史料的開發流程以及數學史融入數學教學的實施方法．

2.2 教育取向的數學史研究

教育取向的數學史研究是以服務教育為目的，針對數學課程中涉及的概念、公式、定理、問題的歷史所進行的文獻研究．該主題有一個常規報告、3個口頭報告和兩份海報，內容涵蓋小學、中學、大學3個學段．

來自墨西哥的Vásquez鑒于學生學習加減法存在的困難，強調教學活動背后的現實與文化背景的重要性，因此對歷史上的加減算法進行了考察[12]．馬來西亞的Aisah在海報中鑒于學生認識負數存在困難，對負數在東西方被人們接受的歷史過程作了探討，并揭示了文化對數學發展的影響[13]．

來自德國的Sternemann在報告中對e的歷史進行了研究，發現雅各·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）并沒有像人們通常認為的那樣發現了e，50年后的歐拉（L. Euler，1707—1783）才發現了該常數，教師可以從歷史素材中獲得教學啟示[14]．突尼斯的Mrabet在報告中討論了泰勒斯定理的歷史，并提出若干教學建議[15]．印度的Arora在海報中考察了印度《繩法經》中的有關材料及其教育價值[16]．

來自美國的Lodder的報告考察了“網絡圖和生成樹”的歷史，并從作為工具的數學史、認知迷惑、目標層次與元層次4個方面對史料的運用進行了分析[17]．

2.3 歷史相似性研究

歷史相似性研究，是指根據歷史發生原理，將學生對數學概念的理解過程與數學概念的歷史發展過程相對照．只有一個常規報告聚焦歷史相似性的實證研究．西班牙的Sanz首先考察了歷史上有關分數的文字題以及不同時空數學家（如斐波那契（Fibonacci，1175—1250）、Aurel、歐拉等）的解法．讓學生解同樣的問題，作者發現：學生偏愛代數解法而非算術解法，因而并未顯示出歷史相似性．不過，作者指出，歷史上數學家的解法對于從算術到代數過渡階段的教學仍然具有重要啟示[18]．

從上述報告可見，雖然前人對學生從算術到代數過渡的歷史相似性已做過不少研究，但仍然存在進一步研究的空間．

2.4 教學實踐與課例開發

教學實踐與課例開發是指將數學史融入數學教學的實踐探究，此主題是TSG 25的熱點之一，共有6個常規報告、6個口頭報告和一份海報涉及該主題，涵蓋了小學、中學、大學不同學段．

來自希臘的Tsiapou選取中國數學典籍《九章算術》中的問題以及劉徽的事跡，對希臘的小學生開展相關的教學活動，教學實踐表明，這些活動有助于學生數學觀的改變[19]．

來自西班牙的Guevara在報告中指出，可以利用幾何直觀來學習代數．作者分析了劉徽《九章算術》注和花拉子米（Al-Khwarizmi，約780—850）《代數學》中的一元二次方程解法的潛在價值，并按Giardino的步驟，讓學生完成有關任務．研究表明，幾何直觀對于學生從算術到代數的過渡具有促進作用[20]．法國的De Varent將古巴比倫數學泥版中的面積計算方法應用于10年級的課堂中，試圖引發學生對現代方法進行反思，結果發現，泥版上的方法并未起到理想的教學效果，究其原因，可能與學生在泥版的閱讀理解上存在困難有關[21]．希臘的Kotarinou讓學生參與項目“希臘化時期的亞歷山大：知識的燈塔”的研究，通過文獻研讀、話劇演出的方法讓學生學習相關的數學知識[22]．希臘的Syriopoulos將歷史敘事應用于教學，激發了學生的學習興趣[23]．德國的Krohn將歷史上的天文學問題用于11~12年級的教學，讓學生經歷歷史上數學問題的解決過程，同時也迎合了現代教育的需要[24]．虞佳瑋利用中國的《九章算術》和《海島算經》中與數學課程內容相對應的問題，對法國某國際學校七~九年級學生進行了教學實驗[25]．此外，方倩報告了數學史融入二項式定理的實踐研究[26]，楊懿荔報告了HPM視角下的斜率概念的教學研究[27]，沈中宇報告了HPM視角下“全等三角形應用”的同課異構教學研究[28]．

也有學者對大學階段的HPM教學實踐展開研究．美國的Clark針對學生從中學數學向大學數學的過渡中所存在的困難而開設了一個討論班，講授從歐幾里得（Euclid，約330BC—275BC）到希爾伯特（Hilbert，1862—1943）的數學發展歷史．實踐表明，數學史的教學有助于解決學生的過渡困難[29]．美國的Baggett在教學實踐中以讀書報告、研討會的方式指導學生（來自不同國家）進行歷史研究．經過6輪教學之后，作者針對所產生的一些問題，對歷史研究活動作了一定的調整[30]．德國的Sch?neburg實施了一項跨學科的課題研究，將有關縮放尺的歷史材料用于教學，揭示了發明于四百多年以前的縮放尺的教育價值[31]．

從以上看到，有關小學數學教學的報告關注學生的信念以及原始素材的使用；有關中學數學教學的報告關注數學史在改善教學方面的有效性，并呈現了豐富多彩的實踐方式．

2.5 HPM與教師專業發展

HPM與教師專業發展是關于數學史對數學教師專業發展影響的研究，在該主題上有4個常規報告與5個口頭報告，涉及職前與在職兩類教師．

來自加拿大的Guillemette利用歷史現象學的方法對6位修讀數學史課程的職前教師進行研究，通過教學錄像和訪談等手段，對職前教師在閱讀歷史素材時產生的認識論迷失現象進行了進一步的描述，從而揭示數學史對職前教師教育的作用[32]．巴西的Bernardes將數學家西爾維斯特（Sylvester，1814—1897）和凱萊（Cayley，1821—1895）的有關工作運用于矩陣和特征值的教學，以此考察數學史對職前教師的矩陣和特征值概念轉變的影響[33]．德國的Spies基于Grigutsch的信念分類和Schoenfeld等人的信念系統，對職前教師的微積分信念進行了調查；通過向職前教師講授雅各·伯努利求拋物線切線的方法，發現他們的信念發生了改變[34]．

黃友初從MKT理論出發，就勾股定理的歷史，對10名職前教師進行培訓，發現數學史有助于豐富和完善他們的MKT[35]．齊春燕通過對8位職前教師的調查，發現基于數學史的問題提出活動促進了教師專門內容知識（SCK）的發展[36]．德國的Thieme利用講座的方式對職前教師進行數學史知識（包含原始材料）的培訓，發現學生對數學史知識的學習存在一定的困難[37]．

來自英國的Lawrence從拉斐爾（Raphael，1483—1520）名畫“雅典學院”中的數學知識出發，設計了一門在職教師培訓課程，課程提升了教師學習數學的熱情，并讓他們獲得了職業認同感[38]．新加坡的Dindyal針對學生死記微積分公式的現象，開展了將微積分的歷史融入教學的兩輪課例研究，共6節課．結果表明，教師獲得了專業發展[39]．王科、鄒佳晨利用教師專業發展的詮釋學循環模型，劃分了HPM驅動下的教師專業發展的4階段，即數學史詮釋學循環和數學教學詮釋學循環的分離階段、接觸階段、交叉階段和包含階段[40]．

從該主題的報告可見，針對職前教師的研究關注原始素材對教師情感的影響，而針對在職教師的研究關注教師的在職培訓、課例研究以及教師專業發展的模型．

2.6 數學史融入教材研究

有一個常規報告、一個口頭報告和一份海報涉及數學教材中的歷史分析．

來自德國的Schorcht采用4個維度對德國教科書中的數學史任務（先給出一段數學史材料，然后提出數學問題）進行了分析，并對其中涉及的數學史材料進行了分類[41]．土耳其的Kirez利用有關分析框架，對土耳其第二次課程改革之后五~八年級的數學教科書進行了考察，發現其中涉及的數學史內容較為膚淺[42]．美國的Koirala考察了2010年出版的美國“州共同核心數學標準”中涉及的數學史內容，特別分析了婆什迦羅（Bhaskara，1114—1185）《莉拉沃蒂》中的有關內容[43]．

幾位報告人都是基于某個特定的框架來分析教科書中的數學史內容．

2.7 技術與HPM

圖2 解法1

圖3 解法2

技術為HPM插上一雙翅膀，技術與HPM的融合必將成為未來HPM研究的重要方向之一．

3 TSG 25的特點

根據TSG 25的所有報告，可以總結出當前國際HPM研究的若干特點．

3.1 重視理論基礎

由38個報告可見，單純的理論思辨、數學史研究或課堂實踐較少，更多的是將數學史研究、課堂實踐、教師專業發展等研究與相應的理論結合起來，重視理論的指導，這標志著HPM研究領域正在逐漸走向成熟．

報告人引用了一些常用的理論或觀點．關于數學史的教育價值，有Jankvist的工具說和目標說[17]，劉柏宏對數學史教育價值的描述[39]，Heeffer和Fried等提出的數學史對數學教學的作用[23]．關于數學史的應用方式，有Sfard的認知交流理論[33]，Barnett等關于原始素材使用方式的框架[17]．關于數學史與教師專業發展的關系，有Jahnke的“再定位”（reorientation）理論[38]，Barbin的認知迷惑理論[32]，Radford的客觀化（objectification）理論[32]．

還有一些報告提出了新觀點或新框架．關于教育取向的數學史研究，S?rensen[7]從教師的需要出發，提出了面向課程的數學史開發流程以及供教師閱讀的數學史素材的模板，有一定的借鑒意義．關于教學實踐與課例開發，Kjeldsen和Johansen[19]將認知科學中的“認知工具”概念應用于數學學習中，提出“數學認知工具”概念，并指出：數史提供了數學的認知工具．關于HPM與教師專業發展，Spies[34]對已有的教師信念系統理論，如Grigutsch的工具—系統—過程—實用信念系統、Schoenfeld的經驗主義信念系統以及Burscheid和Struve的形式信念系統進行了梳理和整合，從學習動機和數學本質兩個新的維度來看待教師的信念．

3.2 研究方法規范

各報告運用了各種不同的研究方法，包括現象學方法、質性分析法、人種志研究、問卷調查、訪談、測試等．如，Sanz利用數學史上的問題對學生進行測試[17]；Guillemette采用現象學方法對教師閱讀數學史材料之后的生活體驗進行研究[32]．

Schorcht在報告中[41]首先從教科書數學史任務中提取古今聯系、數學發展、數學人物、知識目標4個維度；為了對每個數學史任務進行分類，采用Mayring提出的質性內容分析法，這是一個系統的方法，一共分為10個步驟，首先將需要分析的材料提取出來，第2步確定以上所說的4個維度，第3~4步提取出材料中的屬性并進行編碼，屬性由4個維度刻畫而來，第5~7步對例子進行描述，從而必要時對屬性進行修正，第8步根據極值、理論興趣和經驗頻率確定屬性，第9步確定原型，第10步對原型進行詳細描述，再結合Kelle和Kluge的類型構建以及數學家Ganter，Wille和Stumme的形式概念分析，最后確定德國教科書中的5類數學史任務，然后利用兩個例子對其中的兩類任務進行了說明，最后說明利用這些屬性不僅可以分析，也可以用于編制數學史相關的任務．

3.3 多元文化交融

從小學的劉徽、加減法、分數運算、面積算法、負數，到中學的一元二次方程解法、冪的表示、微積分初步、e的歷史、泰勒斯定理，再到大學的網絡圖和生成樹、矩陣等，各報告涉及豐富多彩的數學史素材，其中有古代中國、印度、希臘、阿拉伯以及歐洲的數學史素材，充分展現了數學文化的多元性．

西方學者表現出對東方歷史文化的濃厚興趣，如Guevara在其報告中發掘劉徽和花拉子米解一元二次方程方法的潛在價值[20]．Tsiapou將中國《九章算術》中的問題以及劉徽的事跡用于教學，在“哲學卡片”活動中讓學生了解漢朝的歷史文化對劉徽的影響，并探究劉徽在數學上發現的背景，而在“數學樹”活動中讓學生將劉徽的數學成就進行整理和分類[18]．這說明，國外學者對中國數學史有較深入的研究，并樂于將其應用于課堂教學．

值得注意的是，國外數學教學中運用數學史的方式十分豐富，有學習單、數學史課程、講座、討論班、名畫中的數學史展示、原始材料的直接使用、數學拓展課、數學建?；顒印騽”硌?、數學史課程包等．國內則主要集中于將數學史融入某個具體知識點的常規課堂教學中，這在某種意義上反映了東西方數學教育制度和數學課堂文化的差異．

在2012年ICME-12的HPM小組中有16%的報告由東方學者所作[45]，而到ICME-13中，這一比例上升到了26%．因此，HPM的國際化程度日益增加，東西方的學術思想必將在交融中共同發展．

4 結論與啟示

由上可見，TSG 25的報告涉及7類主題；總的說來，各報告展現了重視理論基礎、研究方法規范、多元文化交融的特點．據此，得到如下啟示．

（1）構建理論框架，重視本土特色．理論與實踐相結合為國外學者所重視，也是今后HPM研究的趨勢．HPM領域的大多數理論都是建立在作者所在國家的教育現實之上的，很多學者將數學史原始文獻運用于教學實踐．因此，如何將有關理論以及實踐經驗本土化，與中國的數學教育現實相結合，建立中國HPM理論框架，值得繼續探討．

（2）規范研究方法，注重實證研究．在HPM的初創階段，人們主要以思辨或者純歷史研究為主，而在國內，HPM領域的思辨或經驗總結類的文獻至今仍然占有相當大的比重．從TSG 25的眾多報告中可以看出，HPM領域今天已經發展到了實證研究階段，因此，需要建立并采用科學合理的研究方法，提升HPM的研究水平．

（3）關注多元文化，加強國際交流．在信息化和全球化時代，多元文化在世界學術界已深入人心，傳統的“西方中心論”早已成為明日黃花．而在課堂上，只講“中國最早”、“中國第一”的數學史話題也是遠遠不夠的．HPM本身就是一個跨學科的研究領域，要求研究者具有開闊的視野和博大的胸懷．加強中外交流、借鑒他山之石、關注多元文化、博采東西方數學史素材，是未來HPM理論和實踐研究的必然需求．

（4）豐富教學方式，開拓第二課堂．國外HPM教學實踐形式較為開放，主題也比較豐富．而在國內，由于升學壓力和教學進度的限制，HPM在課堂上的空間很?。梢越梃b國外相關經驗，通過更多樣的形式（如拓展課程、數學話劇等）來運用數學史，更好地發揮數學史的育人價值，讓數學史真正成為數學學科落實“立德樹人”根本任務的有效教學工具．

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[39] ?DINDYAL J. A historical perspective for teaching calculus: the development of a lesson package [C]. Hamburg: 13th International Congress on Mathematical Education, 2016.

[40] ?WANG K, ZOU J. The model of teachers’ professional development on integrating the history of mathematics into teaching in Shanghai [C]. Hamburg: 13th International Congress on Mathematical Education, 2016.

[41] ?SCHORCHT S. History of mathematics in textbooks from first to seventh grades----types of tasks [C]. Hamburg: 13th International Congress on Mathematical Education, 2016.

[42] ?KIREZ B. History of mathematics in the Turkish middle school mathematics curriculum and textbooks [C]. Hamburg: 13th International Congress on Mathematical Education, 2016.

[43] ?KOIRALA. Using history of mathematics to address the Common Core Standards [C]. Hamburg: 13th International Congress on Mathematical Education, 2016.

[44] ?SUZUKI T. The method of geometrical solution of equations using Geogebra: focus on the root of quadratic equations in Ars magna [C]. Hamburg: 13th International Congress on Mathematical Education, 2016.

[45] 黃友初，朱雁．HPM研究現狀與趨勢分析[J]．全球教育展望，2013，42（2）：116-123．

Research Summary of HPM in ICME-13

SHEN Zhong-yu1, ZOU Jia-chen2, WANG Xiao-qin2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

The TSG 25 of ICME-13, held in Hamburg in July 2016, focused on the role of history in mathematics education. There were a total of 38 reports in this study group which dealed with seven types of topics. It was revealed from all reports of TSG 25 that importance was attached to theoretical basis, research methodology and multicultural communication.

ICME-13; HPM; features; enlightenment

[責任編校：周學智]

G40–03

A

1004–9894（2017）05–0071–06

沈中宇，鄒佳晨，汪曉勤．ICME-13之HPM專題研究綜述[J]．數學教育學報，2017，26（5）：71-76．

2017–05–14

上海市教育科學研究重大項目——中小學數學教科書的有效設計子課題——中小學數學教科書中數學文化素材的案例設計（D1508）

沈中宇（1991—），男，江蘇蘇州人，博士生，主要從事數學史與數學教育研究．