基于PME40的國際數學課程與教學研究進展和趨勢

陸吉健

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基于PME40的國際數學課程與教學研究進展和趨勢

陸吉健

（北京師范大學數學科學學院，北京 100875）

探析基于數學教育心理學的國際數學課程與教學研究進展和趨勢．介紹第40屆國際數學教育心理學大會（簡稱PME40）的相關情況．對會議上的4個大會報告以及154份研究報告，利用內容分析法進行主題的編碼和梳理．對其中43篇涉及數學教學和30篇涉及數學課程的研究進行案例剖析．研究結論和啟示：國際數學教科書研究趨向于編碼統計研究，國際數學教育研究側重于數學教學和數學能力研究，可以借鑒并關注教學問題的循環解決方式．

數學課程；數學教學；國際進展；國際趨勢；PME40

國際數學教育心理學大會（The International Group for the Psychology of Mathematics Education，簡稱PME）的國際化程度較高，并且在國際數學教育研究領域具有較高的聲譽和水準．第40屆國際數學教育心理學大會（簡稱PME 40），已于2016年8月3—7日在匈牙利的塞格德（Szegedi）召開，北京師范大學曹一鳴教授成為首位擔任PME國際委員會委員的中國大陸學者．大會主題是“問題解決”（How to solve it?），這一主題也是著名數學家波利亞于1945年撰寫的書名[1]，也譯為“如何解題”、“怎樣解題”等．2020年的第44屆PME大會將會在北京師范大學舉辦，但是PME39和PME40參會的大陸數學教育研究學者較少，而且與大陸數學教育教學相關的研究報告也比較少．

立足PME40，并參考PME39的情況[2]以及相關國際數學教育會議研究[3-5]，先簡介PME40的概況，接著利用內容分析法對會議上的大會報告和研究報告進行主題的編碼和梳理，然后對其中涉及數學課程和教學的研究進行了案例剖析，從而探析國際數學課程與教學研究的進展和趨勢．

1 PME40簡介

PME40的會議形式，分全體會議、個人報告和團體活動等3大類，以及細分的12個小類．其中，全體會議類包括大會報告和全體委員會等兩小類，個人報告類包括研究報告、口頭報告、海報展示等3小類，團體活動類包括研究論壇、討論組、工作會議、討論會、特設會議、國家介紹、工作坊等7個小類．其中，大會報告有4個，研究論壇有3個，討論組有4個，工作坊有2個；研究報告、簡短型報告、海報展示等，都需要通過同行評議進行篩選，具體的初始接收和最終接收情況，如表1所示．

其中的研究報告，相對于PME39最終同行評議接收的132個研究型論文報告（大會收到的研究型報告總計213篇，接收比例約為62.0%），最終接收的報告有增長的趨勢，但接收比例更低，同行評議更加嚴格．所以，國際上相關學者也很重視PME的文獻，也有對PME進行相關的文獻梳理研究[6]．

表1 PME40各類型會議形式內容接收情況

注：簡短型報告中，增加了研究報告中未最終接收的57個報告，所以最后在大會上有171個；海報介紹中，增加了研究報告中未最終接收的23個報告，所以最后在大會上有68個．

同時，相對于國內的研究會議，PME40會議的特點是有著差不多和研究報告數量相當的簡短型報告（接收比例較高），在有限時間里給予了更多學者（尤其是年輕學者）展示研究內容的機會．同時，還有著較多海報展示內容（接收比例較高），給予了研究機構、研究項目等整體展示的機會．

2 研究方法和設計

研究方法上，主要采用內容分析法．內容分析是一種從文本（或者其他意義體）到它們使用環境進行可重復、有效推論的研究方法[7]．它實際上是一種半定量研究方法，一般過程包括建立研究目標、確定研究總體和選擇分析單位、涉及分析維度體系、抽樣和量化分析材料、進行評判記錄和分析推論6部分．其研究目標類型有趨勢分析、現狀分析、比較分析和意向分析，研究主要采用其中的現狀分析目標類型．

研究設計上，主要對PME40上質量較高的4個大會報告以及154份研究報告，分別利用內容分析法進行主題編碼和梳理，從而進一步揭示PME40上的數學教育研究概況．

分析單位和分析維度體系上，主要考察了PME40會議第一輪通知在征集論文時公布的如下24個研究主題．會議通知中，并沒有對如上24個研究主題進行分類，研究出于研究需要，將其分為如下知識、能力、教師、課程與教學、學生等5個維度．其中，數學課程與教學維度的主題數量是最多的，有7個相關主題：課堂評價，教育評價與政策，課堂互動與話語，概念的變化與發展，課程開發與任務設計，技術教學與學習，工具、符號（Semiotics）和手勢（Gestures）等，詳見表2．然后兩位編碼員在編碼表、編碼培訓和試編碼有效后，對整理后的154份研究報告進行了研究主題的編碼統計．對每篇研究報告，進行最多兩種主題維度的編碼．在內容編碼統計上，也借鑒了相關研究[8]中的內容分析法操作．

表2 PME40研究主題的5個維度及其具體對應的主題

3 PME40上的大會和研究報告概況

PME40上的數學教育研究概況，表明國際數學教育會議及數學教育研究相對傾向于數學課程與教學、數學能力等方面．

3.1 大會報告

大會報告上，明顯傾向于數學課程與教學、數學能力等研究．其中，4個大會報告，兩個大會報告涉及數學能力，3個大會報告涉及數學課程與教學．關于數學教學與學習中創造力與專業知識的相互作用的報告既涉及數學能力，又涉及數學課程與教學．4個大會報告分別由美國、以色列、日本和英國等4個國家的數學教育學者來做報告，涉及的主題有問題解決、數學創造力與專業知識、數學課例和數學教學，等等．

4個大會報告具體報告人和報告題目是：（1）美國加利福尼亞大學Alan H. Schoenfeld做的“強指令（Powerful Instruction）問題的解決研究”報告；（2）以色列海法（Haifa）大學Roza Leikin做的“數學教學與學習中創造力與專業知識的相互作用”報告；（3）日本廣島大學Masataka Koyama做的“在學校數學課例研究中兩個互補反思辯證（Complementary Reflections）循環驅動下的動態循環研究”報告；（4）英國拉夫堡（Loughborough）大學Barbara Jaworski做的“如何解決：數學教學中的一個焦點問題”報告．

3.2 研究報告

研究報告，在研究征集的主題和具體接受的研究報告上，都相對傾向于順序數學課程與教學．具體接受的研究報告方面，課程與教學維度和能力維度的研究報告數量也是分別排第一和第二的．具體編碼上，兩位編碼員首輪編碼一致性系數達到0.912．最后，經討論修正完善后統計結果，如表3所示．

表3 PME40研究報告的5個主題維度統計

注：表格中220（110）中的220是“雙主題報告份數”欄數據的匯總，110則是不重復報告的份數；264（154）也是類似情況．

從表3中可以看出，課程與教學維度是研究報告主題涉及最多的主題維度（有73篇報告，覆蓋47.40%的研究報告），排第二的是能力維度（有58篇報告，覆蓋37.66%的研究報告），依次分別是教師、學生和知識等維度．這一數據排名表明，國際數學教育會議及數學教育研究相對傾向于數學課程與教學、數學能力等方面．

4 PME40上的數學課程與教學研究

介于國內學生核心素養理念的確定，以及高中數學課程標準的即將公布，新一輪高中教科書修訂也即將開展，這里將進一步挖掘PME40上的數學課程與教學研究．其中，PME40上的數學課程與教學研究，側重于數學教學研究．如，3篇涉及數學課程與教學研究的大會報告，都是涉及數學教學的研究；73篇涉及數學課程與教學研究的研究報告，有43篇涉及數學教學（約占數學課程與教學研究報告的58.9%），有30篇涉及數學課程．

4.1 涉及數學教學的大會報告

關于數學教學的3篇大會報告，有基于一定的課例或文獻資料，提出了解決對應教學問題的循環解決方式，或進行了指向數學能力培養的研究．其中，解決對應教學問題的循環解決方式研究方面，日本廣島大學Masataka Koyama所做的“在學校數學課例研究中兩個互補反思辯證（Complemen- tary Reflections）循環驅動下的動態循環研究”的報告[9]，以日本的課例研究為背景，通過兩個不同情景下的案例研究比較，探討在課例研究中的兩個互補反思：個人反思和集體反思，提出個人反思和集體反思的辯證循環能夠促進整個團隊和個人的職業發展．

指向數學能力培養的研究方面，有基于文獻綜述的研究，也有聚焦到數學創造力的研究．基于文獻綜述的研究，英國拉夫堡（Loughborough）大學Barbara Jaworski所做的關于數學教學中的焦點問題“如何解決”的報告[10]，基于Polya的“如何解決它（數學問題）”，通過研究1986—2016年的PME文獻，提出了“它（數學問題）”可以轉化為實踐教學中的問題，老師和教育研究者實際上是在進行解決問題的探究循環，教師和研究者的合作能夠很好地引導這個循環進入更深的層次．

聚焦到數學創造力的研究，以色列海法（Haifa）大學Roza Leikin所做的關于數學教學與學習中創造力與專業知識相互作用的報告[11]，利用多結果任務（MSTs）測量數學創造力的模型，以200個學生為樣本，從3個維度測試了學生在數學專業技能（EM因素），以及普遍意義的天賦因素（G因素）中的創造力，并給出這兩個因素與MSTs模型中流利度、靈活性和原創性之間的關系．在此基礎上，也通過案例研究，對職業培訓期的數學教師（PMTs）的解答空間和發現空間進行測量，發現解決問題的專業技能在提高教師的幾何探究技能和創造力中的核心因素．

4.2 涉及數學教學的研究報告

涉及數學教學的研究報告，側重于數學課堂師生互動、生生互動研究．其中，43篇涉及數學教學的研究報告，側重于數學課堂師生互動、生生互動的研究有9篇，可分為學生主位研究和教師主位研究．生生互動方面，相關研究有聚焦到學生協作經驗和教師協作問題解決等．

4.2.1 學生主位的數學教學研究

學生主位的數學教學研究中，有涉及學生數學學習機會測量和學生數學學習表達等研究．在研究方式上，既有問卷調查的量化研究，也有訪談等質性研究．但具體操作上，又不是簡單的問卷調查和訪談研究，其中有發展和評估的整套問卷調查程序，還有在訪談基礎上并配以數學自傳的網絡收集等．

學生數學學習機會測量研究方面，德國慕尼黑大學Katrin Bochnik和Stefan Ufer的關于小學數學課堂中學習機會測量的研究[12]，發展和評估了一種測量OTL（Opportunities to Learn，學習機會）的問卷調查程序．該程序包含接受型OTL（ROTL）和主動型OTL（AOTL）的問題，要求學生對他們的交際和認知進行自我評估，使用MPlus法進行驗證性因子分析（CFA）和測量穩定性測試，使用WLSMV估計法進行數據分類和標準誤差的加大，從而對數據的分層結構進行校正．利用該程序來測量自德語家庭和非德語家庭的共383位三年級學生，在主動和被動語言相關OTL上的異同．結果表明，來自非德語家庭的學生有著較低被動OTL，但有著較高的主動OTL．在兩個群體中，被動OTL和數學技能的獲取和培養都呈正相關；而只在非德語家庭，主動OTL和數學技能獲取和培養都呈正相關．

學生數學學習表達方面，加拿大約克大學Miwa Takeuchi和卡爾加里大學Jo Towers等基于學生協作經驗的數學學習表達研究[13]，對幼兒園至九年級94位學生（其中，41名女生和53名男生）進行了訪談，收集了95位學生及普通民眾的數學自傳（參與者數學學習歷史的記錄）．聚焦其中學生對數學課堂中的小組協作或同伴協作的描述，進行主題和情感交叉分析．研究發現，許多學生認為數學學習主要是個體化和獨立的過程，并沒有將同伴交流或小組探索看做是有意義的；對數學有積極感覺的人傾向于認為，小組協作不太有幫助；教師廣泛使用小組協作教學方式和學生對這種教學方式目標指向的理解和認識，存在較大差距．

4.2.2 教師主位的數學教學研究

教師主位的數學教學研究中，有涉及數學教師專業知識和協作問題解決等研究．在具體研究對象的數量上，不是像學生本位的數學教學研究那樣調研了大量的樣本，而是有聚焦一位數學教師6節課例的研究，也有進行16名職前教師分組協作問題解決的研究．

數學教師專業知識方面，英國牛津大學Jenni Ingram所做的基于話語心理學（Discursive Psychology）方法的數學教師專業知識研究[14]，利用話語心理學（Discursive Psychology）的方法，對一位正在教授12—13歲學生的數學老師，所進行的英國備受歡迎的T-Totals課程任務教學的6節課，進行了杰佛遜（Jefferson）課堂互動轉錄法轉錄后的研究．檢測在師生互動中的教師專業知識，以及教師的這種專業知識如何影響數學課堂教學．研究發現，師生互動中的教師專業知識，是通過知識要求的提出以及師生互動來影響數學課堂教學．

數學教師協作問題解決方面，塞浦路斯尼科西亞大學Constantinos Xenofontos和英國杜倫大學Artemis Kyriakou所做的協作問題解決過程中的職前小學教師話語研究[15]，對正在攻讀能擁有合格教師身份的初級教育學位的16名本科生（11名女性，5名男性）進行隨機分組（平均分為4組），進行了為期一個學期的跟蹤研究（12周，每周3小時），這些參與者都是研究者“小學數學問題解決”大學課程的授課學生．研究過程中，讓參與者們進行小學非場館數學問題的協作解決，對過程中的討論進行錄音和轉錄，并利用Miles和Huberman的編碼分類方法進行編碼分類．最后，初步確定了如下10種協作問題解決的交流模式（并做了對應的說明）：頭腦風暴、解釋說明、錯誤發現、頓悟交流、互補交流、決策交流、雜亂交流、沉默時刻、矛盾分歧、信息查閱．

4.3 涉及數學課程的研究報告

30篇涉及數學課程的研究報告中，涉及教科書的研究報告有6篇（占數學課程研究報告的20%），分別涉及泰國和芬蘭四年級教科書、南非四年級教科書、德國小學教科書、以色列七年級教科書、巴西和美國高中教科書，還有一篇是在教科書視角下進行的教師減負、適應和創新的個案研究．另外，涉及宏觀課程也有一篇報告，是日本千葉大學Nanae Matsuo所報告的“關于日本早期學前數學教育課程的框架研究”．從中，可以看的出來，低學段的數學課程研究，比較受PME40會議的青睞．涉及教科書的6篇研究論文中，有一半（3篇）是研究小學學段的教科書．這在一定程度，可能也與當下PISA等國際測評項目主要測評初中學段學生有關．

介于高中教科書即將進入修訂階段，所以對涉及巴西和美國高中教科書的報告做較為深入的剖析．該報告是巴西阿馬拉爾圣保羅州立大學Rúbia Barcelos和美國北卡羅來納州立大學Karen Hollebrands合作所做的“基于內容相似任務的巴西和美國教科書研究的報告”[16]．該報告選取了巴西的3本高中數學教科書和美國的兩本高中數學教科書，基于Wijaya等（2015）所定義的學習機會理論（Opportunity to Learn，OTL），利用內容分析法進行了二位編碼員的編碼統計（一致性達到92%），進行巴西和美國教科書的內容相似任務研究．研究發現，兩國教科書內容相似任務的數量很多，但更高層次的任務卻不多．

5 結論和啟示

通過研究得到一些可以開拓研究思路和視角的研究結論及啟示：國際數學教科書研究趨向于編碼統計研究，國際數學教育研究側重于數學教學和數學能力的研究，可以借鑒并關注教學問題的循環解決方式．

5.1 國際數學教科書研究趨向于編碼統計研究

國際數學教科書研究趨向于編碼統計研究，主要體現在個案研究報告之中．巴西盧比奧·巴塞盧什等進行的“基于內容相似任務的巴西和美國教科書研究”，就利用內容分析法進行了二位編碼員的編碼統計，進行巴西和美國教科書的內容相似任務研究．但國內大部分的課程標準研究，如對高中數學課程標準的研究，要涉及課標解讀、課標研修、國外課標評介、課標比較研究、課標應用等，其中以涉及課標比較研究和國外課標評介等文獻的價值較高[8]，編碼量化研究、深入挖掘文本背后更深層次信息的研究還不是特別多．國內相關研究[8，17]，相對規范的采用內容分析法進行高中數學課程標準的內容編碼比較研究，也還需要借鑒這些相對優秀的編碼量化研究．

5.2 國際數學教育研究側重于數學教學和數學能力的研究

國際數學教育研究側重于數學教學和數學能力的研究，主要體現在PME40的大會報告和研究報告相關主題研究報告的比例較大．4篇大會報告，就有3篇涉及數學教學，兩篇涉及數學能力．研究報告主題方面，課程與教學維度是涉及最多的主題維度（有73篇報告，覆蓋47.40%的研究報告），排第二的是能力維度（有58篇報告，覆蓋37.66%的研究報告）．而在數學課程與教學研究中，43篇涉及數學教學（約占數學課程與教學研究報告的58.9%）．進行課程標準和教科書研究的報告，明顯比國內少；同時，側重數學能力的研究，體現了國際測評項目影響下的國際大趨勢．

5.3 可以借鑒并關注教學問題的循環解決方式

需要關注教學問題的循環解決方式，主要體現在PME40的兩篇大會報告．其中，日本正高小山所做的“在學校數學課例研究中兩個互補反思辯證循環驅動下的動態循環研究”，提出個人反思和集體反思的辯證循環能夠促進整個團隊和個人的職業發展．英國巴巴拉·賈沃斯基所做的“數學教學中的焦點問題‘如何解決’”報告，提出了老師和教育研究者實際上是在進行解決問題的探究循環，教師和研究者的合作能夠很好地引導這個循環進入更深的層次．這與中國國內目前的“問題串”等研究，是有相關性的．課堂教學中的“問題串”設計，就是對課堂教學中學生思考連貫性不夠這一問題的循環解決方式．

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[3] 曹一鳴．數學教育研究與發展趨勢——第12屆國際數學教育大會的啟示[J]．數學通報，2012，51（11）：25-27，37．

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[17] 陸吉健，曹一鳴．高中數學“方程與不等式”主題廣度和深度的國際比較研究——基于九個國家數學課程標準的研究[J]．教育科學研究，2017（6）：63-67．

Progress and Trend of the Research of International Mathematics Curriculum and Teaching Based on PME 40

LU Ji-jian

(College of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

In order to study the research progress and trend of the research of international mathematics curriculum and teaching based on the mathematics education psychology, we firstly introduced the relevant circumstances of the 40thInternational Mathematics Education Psychology Conference (PME40). Then we analysis 4 conference reports and the 154 studying reports and we used the content analysis method to coding and sorting the theme. Then, we made a case study about 43 studying reports involving mathematics teaching and 30 studying reports involving mathematics curriculum. Finally, the research conclusions and Enlightenments were: the international study of mathematics textbooks was tending to encoding statistical research, International Mathematics Education Research focuses on mathematics teaching and mathematics ability research, we also could focus on the circulating solution to teaching problems.

mathematics curriculum; mathematics teaching; international development; international trend; PME40

[責任編校：周學智]

G633

A

1004–9894（2017）05–0077–05

陸吉健．基于PME 40的國際數學課程與教學研究進展和趨勢[J]．數學教育學報，2017，26（5）：77-81．

2017–05–04

浙江省2011協同創新中心“非洲研究與中非合作協同創新中心”2016年資助項目——非洲國家中學數學課程發展研究（16FZZX04YB）

陸吉健（1990—），男，浙江臺州人，博士生，主要從事數學課程與教學研究．