數學證明方法“大聚會”

眭亞燕

蘇科版《數學》八年級上冊“軸對稱圖形”內容呈現的最大特點是——在探索中不斷地進行表達形式多樣化的證明.課本安排了折紙、畫圖、猜想等多種活動，為同學們提供自主探索的空間，引導大家在“做”中感悟軸對稱圖形的數學本質，然后又通過圖形運動法、綜合法、分析法、反證法、類比法等探索得到一些結論.現結合課本中的具體例子一一闡述.

一、圖形運動法

圖形運動（平移、翻折、旋轉）既是探索發現圖形旋轉的有效手段，也是證明圖形性質的一種方法.在本章中，運用“圖形運動”的方法，證明了以下性質定理：（1）線段垂直平分線性質定理——線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；（2）角平分線性質定理——角平分線上的點到角兩邊的距離相等；（3）等腰三角形性質定理——等腰三角形的兩底角相等以及等腰三角形底邊上的高、中線、頂角平分線重合.下面僅以“角平分線性質定理”的證明加以說明.

例1 （課本第54頁）在∠AOB的平分線上任意取一點P，分別畫點P到OA和OB的垂線段PC和PD（如圖1）.PC與PD相等嗎？

證明略，這里雖然可以運用直角三角形全等加以證明，但課本中先運用圖形運動——翻折，再利用角的軸對稱性證明PC=PD（如圖2），目的是引導同學們不斷感受證明過程中不同的表達形式，這樣有利于不斷培養同學們的幾何直觀能力.

練習1 如圖3，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，P是AD上任意一點，連接BP、CP并延長，分別交AC、AB于點E、F.你能得出哪些結論？試用圖形運動的方法選一個結論證明.

二、綜合法

綜合法是指從已知條件出發，借助一些性質和有關定理，經過逐步邏輯推理，最后得到待證結論或需求問題，其特點和思路是“由因導果”，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

例2 （課本第55頁）已知：如圖4，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P.求證：點P在∠C的平分線上.

證明略，輔助線的作法如圖5.綜合法形式簡捷，條理清晰，邏輯結構嚴謹，但往往枝節叢生，難以一下子達到目的.在本例的解答中，同學們仍然會找全等三角形，而不是直接運用角平分線的性質定理和逆定理.所以在解決此題時同學們可以充分討論、交流、分析，自己完善、簡化證明的思路，打破思維定式的束縛，發展思維的靈活性，使證明方法最優化.

練習2 （課本第57頁習題5）已知：如圖6，AB=AC，DB=DC，點E在AD上，求證：EB=EC.

三、分析法

從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法.它的基本思路是“執果索因”，即從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.

例3 （課本第56頁）已知：如圖7，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：AD垂直平分EF.

證明略.分析法是從“未知”看“需知”，漸漸靠攏“已知”.它敘述冗長，但常常根底漸近，有希望成功.考慮到逆向的分析思考比順向的綜合思考要求更高，課本在本章第四節后，安排了關于生活中“倒過來想”——司馬光砸缸的閱讀材料，有利于同學們學會逆向分析的思考方法.我們在實際解題時，應把綜合法和分析法結合起來運用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表達解題過程，這就達到了揚長避短、相互協調、相得益彰的良好目的.

練習3 （課本第58頁習題10）已知：如圖8，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：BE=CF.

四、反證法

由于原命題與逆否命題等價，所以當證明原命題有困難或者無法證明時，可以考慮證明它的逆否命題，通過正確推理，如果逆否命題正確或者假設原命題不成立，推出與原命題題設、公理、定理等不相容的結論，也就證明了原命題的結論是正確的.這種證明方法叫反證法.

例4 （課本第52頁）線段的垂直平分線外的點到這條線段兩端點的距離相等嗎？為什么？

不相等，證明略.牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一.”一般來講，反證法常用來證明從正面證明有困難、情況多或復雜，而命題的否定則比較淺顯的題目，這樣，問題可能解決得十分干脆.

練習4 已知，如圖9，點P在∠AOB內，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D，且PC≠PD.求證：點P不在∠AOB的平分線上.

五、類比法

類比法也叫“比較類推法”， 類比推理是根據兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，或者由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的推理方法，簡稱類推、類比.其結論必須由實驗來檢驗，類比對象間共有的屬性越多，則類比結論的可靠性越大.課本在本章后面安排了關于“等腰梯形”的閱讀材料，作為本章內容的延伸和拓展——運用與等腰三角形“類比”的方法探索等腰梯形的性質.

例5 （課本第68頁“閱讀”，有刪改）如圖10，在等腰三角形紙片ABC上，畫底邊BC的平行線DE，可得到一個梯形DBCE.由∠B=∠C，DE∥BC，可知∠ADE=∠AED，于是AD=AE.又AB=AC，從而DB=EC.像梯形DBCE，兩腰相等的梯形稱為等腰梯形.如果把圖10的等腰三角形紙片ABC沿頂角平分線AM折疊，那么AB與AC重合.由于AD=AE，可知點D與點E重合（如圖11），于是MB=MC，ND=NE.由此，你能得出哪些結論？選一個結論證明.

解答略.類比法的特點是“先比后推”.“比”是類比的基礎，既要“比”共同點也要“比”不同點.對比對象之間的共同點是類比法能夠施行的前提條件.

練習5 （課本第69頁“閱讀”）如圖12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.求證：梯形ABCD是等腰梯形.

總之，從本章開始，證明的方法將越來越多樣化.其中性質定理的證明多次采用圖形運動的方法，目的是不斷發展同學們對圖形直觀把握的能力，逐步形成一種審視、處理問題的方式；而例題的解答則較多地采用分析和綜合的方法，目的是讓同學們明白，在解題中，應把分析和綜合兩者有機地結合起來，既要注重分析，又要學會綜合，還要會聯合運用這兩種方法進行思考和論證，同時還讓同學們適時了解了反證法和類比法，堪稱數學證明方法的 “大聚會”.

（作者單位：江蘇省常州市新北區浦河實驗學校）endprint