一個“碰撞”問題的3種解法

汪潔民 王曦雨

(1. 浙江省奉化中學,浙江 奉化 315500； 2. 寧波市四明中學，浙江 寧波 315040)

·問題討論·

一個“碰撞”問題的3種解法

汪潔民 王曦雨

(1. 浙江省奉化中學,浙江 奉化 315500； 2. 寧波市四明中學，浙江 寧波 315040)

本文通過對一道競賽試題的3種解法的分析,不僅能深刻認識物理知識之間的相互聯系,掌握競賽題的解題技巧,還能通過對比分析選擇相對簡便的方法解決這類問題．

競賽； 碰撞； 矢量三角形； 動量定理

在物理競賽中,理想剛性繩繃直的問題屬于非常典型的“碰撞”問題．而平面上的此類問題往往具有較大的難度,涉及到動量守恒、速度關聯、動量定理等知識點,現以一道試題為例進行探析．

圖1

解法1:速度矢量三角形

圖2

當輕繩剛拉直時,由幾何關系可以得到θ=30°(下同),滑塊A速度由v0變為vA,速度增量沿繩方向,滑塊B速度為vB,各速度矢量間關系如圖2,其中vn表示A對B的轉動速度(垂直于AB連線方向)．

沿槽方向系統動量守恒

mv0=mvB+mvAcosα.

(1)

又由兩個三角形分別利用正弦定理有

(2)

(3)

解后思考:這是一個平面上的有繩子約束的“碰撞”問題,這種解法先利用水平方向的動量守恒得出(1)式,再利用相對運動和速度改變情況畫出兩個矢量三角形,通過解三角形解出速度．這種方法的物理思路相對比較簡單,但對數學計算以及三角函數應用的要求比較高,不推薦將這樣一道物理問題以數學化的方式解決．在實戰中,很少有學生想到應用這種方法,而是會采取另外一種策略．

圖3

解法2:平面碰撞巧分解

輕繩剛拉直時,滑塊A速度由v0變為水平方向的vA1和豎直方向的vA2．

沿槽方向系統動量守恒

mv0=mvB+mvA1.

(1)

沿繩方向兩滑塊分速度相等

vBcosθ=vA1cosθ-vA2sinθ.

(2)

對于滑塊A,繃直瞬間受到繩子的拉力是沿繩子方向的,所以在垂直于繩子方向上的分速度不變,則有

v0sinθ=vA1sinθ+vA2cosθ.

(3)

由(1)～(3)式得

解后思考:這是解決這個問題的最為普遍的一種方法．學生在解題過程中,(1)、(2)這兩個方程很容易列出,但是(3)式往往很難想到,自然也成為這道題目解決過程中最大的一個難點．而造成這個困難的根本原因在于,此次“碰撞”是發生在二維空間的,(1)式運用了水平方向動量守恒,垂直于槽方向動量并不守恒,所以這次“碰撞”的條件沒有被充分利用起來,就需要(3)式進行補充才能解決．那么有沒有更加通用的方法解決該類問題呢?

圖4

解法3:動量定理解決平面碰撞問題

輕繩剛拉直時,滑塊A受到一個沿繩子方向的沖量I,動量變為mvA,沿繩方向分速度為v繩．滑塊B同時受到一個等大反向的沖量I′,以及垂直于槽支持力的沖量IFN．

對滑塊B使用水平方向的動量定理

Icosθ=mvB.

(1)

對滑塊A使用沿繩方向的動量定理

-I=mv繩-mv0cosθ.

(2)

沿繩方向兩滑塊分速度相等

v繩=vBcosθ.

(3)

解后思考:在教學中,利用動量守恒定律解決碰撞問題已經成為最為普遍的思想方法．而合理的使用動量定理,能夠更加完整地保留“碰撞”過程中的有效信息,減少不必要的未知量和方程數量,使解題過程事半功倍．

總之,以上的3種解法從不同的切入點對問題進行解析．而利用動量定理解決平面上的碰撞問題具有解決此類問題的普遍性．這種方法在自主招生和競賽中非常實用,值得推薦與學習．

1 沈晨.更高更妙的物理:沖刺全國高中物理競賽[M]. 杭州:浙江大學出版社,2012.

2017-06-11)