中英現行小學數學課程標準中幾何內容比較

江蘇阜寧實驗小學 束 君

江蘇揚州大學教育科學學院 劉久成

劉久成揚州大學教授，江蘇省特級教師。出版著作《小學數學課程60年》《中外小學數學課程標準比較研究》等3部，主編或參編小學教育專業教材多部；曾獲得 “江蘇省優秀教學成果二等獎”“江蘇省高校哲學社會科學優秀成果二等獎” “江蘇省樹勛教師教育科研獎一等獎”；主持全國教育科學規劃課題2項、江蘇省教育科學規劃課題3項。

長期從事小學數學課程與教學研究，認為任何教學改革都必須以傳統教學為基礎，在繼承上求得創新和發展，簡單地否定過去，勢必造成損失或誤入歧途。傳統教學中的演示、講解、練習、有序、考試等仍然是如今小學數學課堂教學中不可或缺的要素。

中英現行小學數學課程標準中幾何內容比較

江蘇阜寧實驗小學 束 君

江蘇揚州大學教育科學學院 劉久成

幾何是幫助小學生建立最初的空間觀念和培養邏輯思維能力的重要學習內容。對中英兩國小學數學課程標準中的幾何內容進行比較研究后得到，兩國幾何內容的共性是：重視學生在幾何方面基礎能力的培養；重視幾何學習的探究過程；重視幾何學習結合實際生活。差異表現在：學段要求存在差異，內容要求側重點不同；設置理念上英國更注重結果，中國更注重過程。

小學數學 課程標準 幾何 比較研究

數學課程中幾何內容的教學有助于培養學生的邏輯思維能力和空間觀念。小學階段是數學學習打基礎的階段，即使它的課程中所安排的幾何知識比較淺顯，但它對學生進一步學習和參加社會實踐來說都十分重要。為了借鑒它國經驗，促進本國小學數學課程改革不斷發展，這里選擇英國現行小學數學課程標準（以下簡稱“英國數學課標”）與我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“中國數學課標”）進行比較。以期概括特點、總結規律，為我國課程改革提供借鑒。

一、幾何內容設計的共同價值取向

1.兩國都重視學生幾何基礎能力的培養

兩國課標中都設置了幾何領域的學習內容，中國數學課標中稱作“圖形與幾何”，英國數學課標中稱作“圖形、空間與度量”。其主要課程內容如下：

表1 中英幾何領域課程內容

從表中可以看出兩國對此部分內容的劃分比較一致，主要涉及圖形的認識、位置和運動、測量三大部分內容。幾何知識的學習除了要幫助學生構建一定的幾何意識，更重要的是讓學生在幾何學習的過程中形成相應的操作能力以及思考能力。因此，中英兩國都很重視學生幾何方面諸如操作、推理、實踐等基礎能力的培養。比如中國數學課標中指出，通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征；能對簡單的幾何體和圖形進行分類；能正確使用圓規畫圓。英國數學課標中指出，觀察、處理和描述一般的二維和三維圖形；能逐漸準確地制作出二維和三維圖形或模型。從以上要求可以看出，小學階段的幾何學習大多集中在對簡單二維和三維圖形特征的認識，在觀察、認識圖形的過程中發展學生的空間想象能力，能夠在頭腦中初步建立圖形模式。同時，幾何知識學習的一個重要優勢在于，它給學生提供了更多的動手和實踐機會。這一機會不僅僅是為了更好地幫助學生理解圖形的特征，也包含著一些隱性功能，諸如培養學生獨立動手操作的能力、培養解決問題的能力、發展邏輯思維等。因此，中英兩國對觀察、操作等要求的一致性既考慮到小學生學好幾何的需要，也體現出幾何學習對學生的思維、推理等方面能力的培養具有不可取代的作用。

2.兩國都重視幾何學習的探究過程

中英兩國都很重視學生在學習幾何過程中的探究，也就是都考慮到讓學生去感知、體驗學習的過程。比如中國數學課標中指出：結合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法。英國數學課標中指出：想象運動情境并且用恰當的語言描述運動；能識別或繪制網格上不同方向的二維圖形，在第一象限找出圖形的坐標或利用坐標作圖，然后在所有象限做同樣的工作。由于小學生的思維還處于以形象思維為主的階段，幾何又是一門以視覺思維為主導的依靠思維、想象的學科，無法通過哪怕一丁點機械式的死記硬背來達到教學效果。而且它對學生的空間想象能力提出了要求，學生如果在能夠想象的情境之下進行學習，那么思想會變得豁然開朗。相反，如果所學內容完全超出學生的思維和想象范圍之外，那么填鴨式的教學只會讓學生連一知半解都達不到。因此，如何將所教學的幾何知識控制在學生能夠想象的范圍之內，一個重要的環節，即：直觀地展現在學生面前能起到很好的消化吸收作用。學生有了足夠的探索空間，他們可以在自己感興趣的動手操作過程中去更加直觀地感受知識，就可以很好地避免填鴨式的幾何學習。只有真正讓學生去體驗學習過程，才能有助于學生更好地發揮想象力。在這一認同上，兩國在幾何方面都達成了共識，在課程內容中也都較好地體現了出來。

3.兩國都重視幾何學習結合實際生活

中英兩國都很重視將抽象的數學知識與生活實際相結合，讓學生真正體驗到在生活中學習數學。比如中國數學課標中指出，體驗某些實物（如土豆等）體積的測量方法；能從平移、旋轉和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設計簡單的圖案。英國數學課標中指出，認識長度、質量、體積的標準度量單位，在問題中選擇合適的度量單位，并用它們估計日常生活中物體的尺寸。數學教育的現實價值在當今世界已經越顯突出，過去很多家長、學生甚至教師都認為，數學不過是升學考試的一門功課，對未來的生活和工作幾乎毫無作用。正如李忠教授在探討數學的意義與數學的教育價值中說道：社會公眾對于數學與數學教育的意義缺乏足夠了解，甚至存在許多誤解。一般地，人們容易看到各種技術的進步及其對社會發展與人類生活帶來的好處，而看不到背后的重要支撐——基礎科學，尤其是數學。要改變這一現狀，必須著力于讓學生從小學習數學起就強調將數學與生活實際相聯系。數學知識本身是枯燥乏味的，如果沒有正確地引導和設計，很容易讓學生產生一種錯覺：數學是毫無意義和作用的。相反，如果在日常教學中讓學生結合實際去理解數學知識，讓學生始終感覺到是在生活中學習數學，數學與生活是息息相關的，那么這樣的培養對于數學教育的價值才是深入人心的。這一要求能夠在教師的實際教學中真正得到落實，就必須在數學課程標準中明確地提出要求，以引起教師們的重視。

二、幾何內容設計存在的差異

1.學段要求存在差異，內容要求側重點不同

中英兩國小學階段的數學課程標準在其劃分的兩個學段中，對幾何知識掌握的要求存在以下主要差異：

英國數學課標第一學段中關于圖形的模式和性質中指出，要求學生能夠創造二維和三維圖形；第二學段中則要求能夠逐漸精確地做出二維和三維圖形或模型。而中國數學課標中的兩個學段中都沒有類似的要求，只是第一學段要求會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖，在第二學段提出運用平移、對稱和旋轉在方格紙上設計簡單的圖案，但對于二維、三維圖形的創造并沒有涉及。

中國數學課標第一學段中已經要求學生認識直角、銳角和鈍角，并且從中國教材安排的情況來看，這部分知識被安排在小學二年級。而英國數學課標在第一學段中只要求學生認識直角，到第二學段才要求學生認識銳角和鈍角。

中國數學課標第一學段中的測量部分要求學生認識的長度單位包括千米、米、分米和厘米，并能進行它們之間的單位換算。英國數學課標中的第一學段并不要求能進行單位間的換算，但是要求能夠用這些長度單位去度量物體。

中國數學課標中第一學段要求學生掌握長方形、正方形的周長和面積公式，對利用公式求簡單圖形的周長和面積提出要求。英國數學課標中第一學段對圖形面積沒有提出要求，第二學段才涉及要求學生會算簡單圖形的面積和周長。總體分析如下表2：

表2 中英小學數學課程標準幾何領域內容條目比較

由表2可以推斷，總體來說，我國對于小學數學幾何知識的要求要高于英國。如果不考慮學段的劃分，在整個小學階段，我國對于幾何知識的要求顯然還是高于英國。從以上分析的差異來看，兩國在幾何知識方面的側重點有所不同，我國對于幾何圖形的創造、繪制的要求較少，更加重視幾何圖形的辨認、特征觀察等，因此對于這方面的要求提及比較多。英國則更強調讓學生自己繪制、自己操作，這是英國數學教育注重應用能力、實踐能力培養在課程上的體現。自1982年英國Cockcroft報告公布以來，國家課程委員會對學校數學教育提出的培養要求指出：教師在制定計劃時，不但要保證學生有充分時間從事數學實踐活動，即使在基礎知識和基本技能的教學中，也要貫徹數學應用的思想。課程中的這些要求符合英國數學教育的一貫理念，也是如今英國學生給世界保留較好的實踐動手能力印象的原因之一。

2.設置理念上英國更注重結果，中國更注重過程

《義務教育數學課程標準2011年版》是在2001年版的基礎上修訂完成的，與2001年版相比，在圖形與幾何內容方面整體提高了要求，特別是突出強調培養學生的空間觀念。發展空間觀念就要重視從實物到圖形的抽象，因此課標中特別重視結合實物去學習幾何知識，比如：通過實物和模型辨認幾何體，結合實例感受圖形的運動。英國數學課標則相反，它希望通過知識的學習先培養出學生的邏輯思維，然后再回歸實際，去解決問題。英國數學課標則通過培養邏輯思維，用圖表和表格程序解決圖形問題，使用動態幾何來操縱幾何構造，通過培養邏輯思維，提高注意力，增強分析及解決問題的能力，保證在圖形、空間和測量之間能夠建立起適當的聯系。所以兩國相比，中國更加重視知識結構的學習，重視學習的過程，通過結合實物可以幫助學生更好地學好幾何知識，而英國更重視學習后的“結果”，即能夠運用知識去解決問題。

造成這種差異，主要是由于英國在學習上歷來更為重視學生的操作能力，所以特別強調學生的解決問題能力，但是據歐洲、太平洋地區和美國等26個國家近50萬名9歲學生參加的第三次國際數學和科學的測試，報告表明，英國9歲學生的數學排名進一步下降，成績遠遠落后于太平洋地區和東歐國家的同齡兒童。英國中小學生在分數運算、心算和幾何方面表現得尤為差。也許英國教育部門也認識到這一問題，所以也采取了一定的措施。比如：適當加深數學內容的難度，提高教學要求。據BBC2008年發布的消息顯示，與四年前相比，無論是10歲年齡組還是14歲年齡組的學生的數學成績排名都有不同程度的提升。與英國的問題正好相反，我們一直在抱怨中國應試教育的弊端，學生的成績好，但動手實踐能力差。因此，近幾年的數學課程改革一直強調學生的綜合實踐能力，還在課程內容中增加了“綜合與實踐”部分。作為問題本身來說，只重視成績而忽視實際操作能力，顯然不符合學科對于人才培養的要求，所以采取適當的措施進行平衡是有必要的。可是從另一個角度來看，作為學習本身來說，如果也只是因為實踐能力強，卻得不出比較理想的成績，學習本身也無從考量，并且毫不重視成績的數學學習是否真正具有可持續發展的能力，也是很有疑問的。中英兩國都感覺到這樣的不妥，所以英國開始加強基礎知識的學習，重視學生成績的提高，而我國也開始越發重視學生實踐能力的培養。只有將掌握基礎知識與注重實踐平衡發展，才是真正有意義的數學學習。

三、反思與建議

1.注重知識教學與實踐能力培養的平衡

通過以上比較，我們應當客觀認識到中英兩國的小學數學課程標準在幾何部分的設置上各有千秋，在各自異同點的基礎上能進行中西方教育方式的吸收與互補。特別是針對我國過于重視知識教學，英國又過于重視實踐能力培養，而導致兩國的數學教學在長期發展過程中暴露出一些問題，因此各取其利、各避其弊才是明智的選擇。正如黃躍雄認為：“國情的不同決定了教育模式和教育內容的不同，不能簡單比較，更不能下孰優孰劣的結論。中國的應試教育模式有其明顯的弊端，這樣的教育導致學生的綜合素質、人文素質匱乏，學生也得不到幸福的童年。所以，我國這幾年尤為重視基礎教育課程改革，力求為中國的學生補上素質教育這一課。一些大學的招生方式也更加靈活新穎，目的就是引導學生及家長去重視素質教育。但不可否認的是，中國的教育模式也有其合理性和優勢，如我國培養出的學生明顯具有扎實的基礎知識，較強的思辨能力，這些是在歐洲國家輕松的教育模式下所看不到的。因此，結合以上兩點我們可以發現中國目前的教育如果能充分吸收英國及西方教育的精髓，注重培養興趣與價值觀，尊重個性發展，注重實際運用，同時能結合中國教育方式的優勢，保持對學生一定的壓力，相信能更有利于孩子的成長與發展。”

2.拓展幾何學習領域，加強創造性能力的培養

中國的學科教學大多以知識的掌握為重點，傳統的小學數學幾何學習以圖形認識和測量為主，實際操作和創造性設計的內容則相對較少。現行的課程標準，在繼承傳統、精典的算術學習內容的同時，拓展了學習領域，有中學數學內容的“下放”，也增加了一些生活類知識。與之相比，英國小學數學課標中所要求的幾何知識點雖然難度上低于中國，但他在動手測量和創造性繪圖方面占有較大比重。一方面從內容學習本身來說，幾何知識是比較抽象的內容，學生在實踐過程中才能更加直觀地去理解，在理解的基礎之上才能做出更加獨特的創造。另一方面從學習目標來看，幾何的學習對于小學生而言，最重要的是在學習過程中對小學生產生的長遠效益，例如空間觀念的形成，思維能力的培養。這些能力無法在一般的知識掌握中獲得發展，它需要讓小學生有足夠的機會去做，去嘗試。教師要打破以講授書本知識為唯一學習方式的局限，要讓學生在問題解決和任務實施等活動教學中求知，拓寬有效學習的渠道，從而激發起學生自主學習的積極性和潛力。學生只有在這樣的狀態下，才能實現創造性的施展。?

[1]曹一鳴.十三國數學課程標準評介（小學初中卷）[M].北京:北京師范大學出版社，2012.

[2]李忠.數學的意義與數學教育的價值[J].課程·教材·教法，2012（1）.

[3]王林全.數學應用能力的系統化培養[J].中學數學,1993（2）.

[4]郭民.中英兩國義務教育數學課程空間與圖形的比較研究及啟示[J].外國中小學教育，2012（2）.

[5]張藝華.英國中小學生數學成績低[J].世界教育信息,1997（11）.

[6]唐珩.英國大學取消數學課程[N].羊城晚報,2012-2-20.

[7]劉久成.五國小學數學課程內容的比較及啟示[J].外國中小學教育,2016（10）.

[8]朱龍,胡典順,汪鈺雯.中美數學基礎教育的比較及啟示[J].數學教育學報，2013（12）.