初中數學微拓展問題的設計策略

朱建明

摘 要：數學微拓展問題是特殊的教學問題，它是常規教學內容的適度延伸.設計不同的微拓展問題，或著眼遷移應用，或突出轉化化歸，或強調數學建模，能改善教與學的方式，為學生發展服務.

關鍵詞：微拓展；遷移應用；轉化化歸；數學建模

初中數學微拓展問題是教師在教學中設計的一種特殊的教學問題，它與學生學習內容緊密結合，同時又延伸拓展了常規學習內容，具有較高的數學思維價值，有利于豐富教學素材，拓展學生視野，培養學生數學探究能力.

設計有效的數學微拓展問題要以落實新課程理念為基礎，力爭做到延伸拓展有度，問題大小適宜，適合學生的學習基礎和學習內容.使用數學微拓展問題，要積極引導學生主動參與和深度探究，以求改善課堂中教師的教學方式和學生的學習方式.下面就以江蘇科技出版社出版的初中數學教材為例，從三個方面談談微拓展問題的設計策略.

一、知識型微拓展 要著眼遷移應用

有些知識內容，雖然在“數學課程標準”及相應的教材中不涉及，但在相關知識的教學中，它們是設計數學微拓展問題的絕佳素材，利用這些素材，可以幫助學生加深對相關知識的理解和掌握.設計這類知識型微拓展問題，要注重現行教學內容的遷移應用，以便學生通過探索研究，做到固本清源.

案例1 等腰梯形的性質和判定

在八年級下冊有關平行四邊形這一章的《小結與思考》一課中，可以設計如下微拓展問題：

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，這樣的梯形稱為等腰梯形.

（1）在等腰梯形ABCD中，你能得到哪些結論？

（2）如何判定一個梯形是等腰梯形？

等腰梯形雖然已經不再作為教學內容，但將它設計為微拓展問題，可以引導學生自主探究它的性質和判定.本例中，可以將等腰梯形分為平行四邊形和等腰三角形（如圖2），也可以將等腰梯形分為矩形和直角三角形（如圖3），這里主要是仿照平行四邊形、矩形、菱形、正方形研究的相關路徑，也是這些知識的遷移應用，可以促使學生深化理解本章知識.

案例2 圓內相交弦的關系

在九年級下冊“6.4探索三角形相似的條件（五）”一課的例6后，設置如下問題：

如圖4，在⊙O中，弦AB與CD相交于E點，AE=3，AB=7，CE=2，求CD的長.

這個微拓展問題實際上是將本節知識在圓中進行了遷移.相交弦定理已經不再在教材中出現，但這一知識在圓中有著廣泛的應用，而相交弦問題可以用相似三角形知識解決，也是相似三角形知識的直接應用.這里，遷移應用知識的過程也是提高學生解決問題的能力和水平的過程.

二、方法型微拓展 要突出轉化化歸

方法型微拓展問題的顯著特征就是其中蘊含了重要的數學方法，這里的方法不僅有解決特定數學問題的具體方法，如因式分解的方法、解方程（組）的方法、三角形全等的判定方法、圖形變換的方法等，也有研究問題的一般方法，例如從特殊到一般、從合情推理到邏輯推理的方法等.設計方法型微拓展問題就是要在方法上做足文章，突出轉化化歸，幫助學生能熟練運用這些方法研究問題，以求達到舉一反三的效果.

案例3 探索四元一次方程組的解法

在七年級下冊第10章“三元一次方程組”一課的“思維拓展”中，設置如下問題：

（1）議一議：如何解四元一次方程組[2x-y-z=0，x+z+w=4，3x+y-2z=1，x+y-3z-w=-5？]

（2）做一做：學生自主探索解此四元一次方程組的方法.

這個微拓展問題主要是用消元的方法解四元一次方程組.在前面的教學內容中，已經有了用消元法將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，這里再一次使用這個方法，有助于學生進一步領會消元法的實質.實際上，類似的素材還有很多，例如探索方程[x+2]-x=0的解法；探索方程組[2x+y=0，xy+y2=-18]的解法等，利用這些素材可以突出轉化和化歸的解題方法.

案例4 二次函數圖象變換與表達式

在九年級下冊“用待定系數法確定二次函數表達式”一課的例2后，設計微拓展問題：

（1）將二次函數y=x2-1的圖象繞其頂點逆時針旋轉180°，寫出所得圖象的函數表達式.

（2）將二次函數y=（x-1）2的圖象以x軸為對稱軸進行翻折，寫出所得圖象的函數表達式.

這個微拓展問題實際上是將本節所學的待定系數法進行了深化.本例中將二次函數的圖象進行圖形變換，然后要求所得圖象的二次函數表達式，這里涉及如何將原二次函數圖象變換轉化為其圖象上的一些特殊點的變換，然后轉化為利用這些變換后的特殊點和待定系數法求出新的二次函數表達式.

案例5 探索分解因式的方法

在七年級下冊第9章“多項式的因式分解（四）”一課的例8后，設置如下問題：

把下列各式分解因式：

（1）x2-y2-2x-2y；

（2）x2-2xy+y2-1.

分組分解法分解因式在本例中只是作為背景出現，上述兩個問題可以利用公式法、提公因式法，直接通過轉化進行因式分解.這是對已學過因式分解方法的鞏固和靈活運用.

三、實踐型微拓展 要強調數學建模

對于某些教學內容，設置實踐型微拓展問題，可以通過學生的操作實踐，形象地揭示蘊含在相關知識中的實質內涵，當然學生在這個探究過程中也可以增加直觀感受，加深對一些抽象數學知識的理解，同時積累數學活動經驗.設計實踐型微拓展問題，要強調數學建模，以增加此類問題的教學價值.

案例6 折出一個等腰三角形

在八年級上冊“等腰三角形的軸對稱性（一）”一課的開始，教師給每個學生發一張三角形紙，如圖5，出示如下問題：

（1）討論：要在一張三角形紙片上折出一個等腰三角形，你準備怎么折？有幾種方法？

（2）操作：只用剪刀剪一刀，在三角形紙片上剪出你折的等腰三角形.

由于課本中等腰三角形的有關性質是放置于《軸對稱性》這一章中，是在幾何變換的框架下來研究的，而本課的難點是讓學生從等腰三角形的軸對稱性出發來研究問題.上述教學設計要求學生先想后剪：怎樣剪才能剪出一個等腰三角形？逐步從軸對稱性來尋找解決問題的思路與方法.如圖6所示，只要將點A折疊到點E，那么，沿著線段CE剪一刀就能剪出等腰三角形AEC.本題實際上所使用的數學模型是等腰三角形的“三線合一”.此外，本題還可以采用角平分線與高合一的方法折等腰三角形.

案例7 畫平行線

在八年級下冊“9.3平行四邊形（三）”一課的例3后，設置如下微拓展問題：

如圖7，只用一把有刻度的直尺，過點C畫出AB邊的平行線.

此操作具有一定的挑戰性.首先要解決的問題是“只用一把有刻度的直尺，能畫哪些圖形？”學生在嘗試、猜測的過程中可以得出：可畫等腰三角形、平行四邊形等，而本例就是通過平行四邊形這個數學模型，如圖8，先在BC上找出中點E，然后聯結AE并延長至D，使得ED=AE，聯結CD，便可得AB的平行線.類似的微拓展問題還可以編制許多，例如：

如圖9，只用一把有刻度的直尺，判斷∠A是否是直角.

本例可以采用等腰三角形（如圖10）、三邊長符合勾股定理的三角形（如圖11）等知識來解決問題.

總之，數學微拓展問題由于與學生學習內容高度相關，又新穎別致，富有挑戰性，因此深受師生喜愛，設計好數學微拓展問題，對改善教與學的過程，突出學生主體地位，提高學生的數學綜合素養具有特別重要的意義.endprint