地震作用下粘彈性邊界邊坡模型處理方法★

郄祿文 許璐璐 陶佳驥

(河北大學建筑工程學院，河北 保定 071002)

地震作用下粘彈性邊界邊坡模型處理方法★

郄祿文 許璐璐 陶佳驥

(河北大學建筑工程學院，河北 保定 071002)

針對兩側高度存在差異的巖土邊坡問題，采取Plane82標準單元體來模擬巖體邊坡，并在所截取矩形區域外圍施加粘彈性邊界，隨后在對稱模型的計算條件下，截取地震記錄包含峰值在內的前10 s歷程，將應力時程作為荷載輸入，分析地震波在巖石邊坡中的傳播。結果顯示，針對擁有粘彈性邊界的邊坡穩定性提出的模型處理方法簡單易行且計算結果合理可靠。

地震作用，邊坡，對稱性，粘彈性邊界

在固定邊界條件下，當地震波于邊坡兩側傳入、傳出時，在介質邊界上將出現反射波，在地震波輸入界面上會阻礙地震波的傳播作用，在地震波輸出界面上地震反射波將在邊坡內部出現慣性力，將對穩定分析的最終結果產生持續的影響。而在粘彈性界面條件下，由于巖石邊坡模型穩定性的低頻特性，會對巖石邊坡的穩定性分析結果產生明顯影響。LYSMER等[1]在粘彈性界面配置了粘滯阻尼器，考慮了介質的蓄能作用卻忽視了其外力取消后的恢復作用。DEEKS等[2]建議利用粘彈性邊界針對所有頻率的巖土邊坡都具有較好的穩定性，模型計算分析將會得到較為精確的結果。

在工程的應用中，粘彈性邊界對于形狀規則如矩形、弧形的地基有著較準確的計算結果，而對于擁有不對稱邊界的邊坡模型卻將得到錯誤的結果。因此，本文針對邊坡模型提出一種簡單易行且計算結果可靠的計算方式。

1 粘彈性邊界單元參數選取

當垂直人工邊界底邊界入射地震波后，經過一段時間傳播后到達地表，會以反射波的形式在地球表面或巖體底界面處再次返射回巖土地基，并引起地表結構的振動，該振動也會反射回地基中進行傳播。在這種情況下，地基中3種形式的波同時存在，即自由場入射波、反射波以及次生場散射波[3]。

為模擬地震波在實際巖石邊坡中的波動傳播規律，要保證波在傳入、傳出人工邊界時與原連續介質擁有一致的傳播特性，不存在反射效應，而被人工邊界全部吸收，地震波在巖石邊坡中發生完全透射。為消除地震波的反射，將彈簧與阻尼器設置在人工邊界上。在該邊界完全吸收散射波的前提下，這種構造的粘彈性人工邊界的彈簧剛度與阻尼系數，可基于柱面或球面的散射波場來確定[4]。

在無限介質中模擬地震波的傳播，為了消除邊界上散射波的反射，并保證波的傳播方式在人工邊界處和不存在人為截取邊界的真實情況非常接近。基于粘彈性法向、切向人工邊界應力，假設在某半徑處截斷介質，在粘彈性邊界切向和法向分別設置線性彈簧和粘性阻尼器。

2 地震荷載的輸入方式

對于地震等來自無窮遠處的外源波動，采取波場分離法。該方法假設地震產生的自由波場與連續介質產生的散射波場共同疊加形成邊坡模型兩側邊界的振動波場，而邊坡模型底邊界的波場則是由入射波場與散射波場疊加而成，并將地震波輸入問題轉化為波源問題。這里作用在人工邊界上的地震荷載將采用等效荷載法計算[5]。

假設，對于來自任意方向的入射波u0(x,y,t)，人工施加在邊界上的位移與應力分別為u(xB,yB,t),σ(xB,yB,t)，其在模型人工邊界上產生的位移為u0(xB,yB,t)，應滿足：

u(xB,yB,t)=u0(xB,yB,t)

(1)

σ(xB,yB,t)=σ0(xB,yB,t)

(2)

現將應力fB(t)作為地震荷載于人工邊界輸入，分離彈簧—阻尼器與邊界的聯系，可得到人工邊界上點的應力關系：

fB(t)=σ(xB,yB,t)+fB′(t)

(3)

代入彈簧和粘性阻尼的物理關系可得：

fB(t)=σ0(xB,yB,t)+CBu0′(xB,yB,t)+KBu0(xB,yB,t)

(4)

上式表明，作業在粘彈性邊界上的荷載分解成兩部分：在邊界處自由場引發的振動力和邊界克服彈簧變形與阻尼力。因此，設置了粘彈性邊界條件下的位移時程更符合實際情況。

3 算例

如圖1所示的計算模型，由于兩側面積不相等，模型兩側所受的合力不等，在0.29 s以后高低兩側面的合力出現偏差，這種差異隨著地震波向上傳播并在頂面發生反射后逐漸增加，最終模型的計算結果偏向一側[5]。如圖2中A為低側面所受的合力變化，B為高側面所受的合力變化。

因此，在計算中采用形式上對稱的計算模型，在相同的地震荷載作用下得到兩側立面的合力變化。對于如圖1所示邊坡模型，選擇Plane82標準單元來模擬巖石邊坡，其單元長度尺寸為5 m，阻尼比系數為0.05。通過模態計算分析，巖石邊坡第一階和第二階振動頻率分別是0.112 2和0.091。將粘彈性人工邊界設置在所截取的矩形區域邊緣，人工邊界參數列于表1。對于DP型的巖石邊坡模型，其主體材料為材料1，邊坡上部覆蓋巖塊為材料2，兩種材料的參數值見表2。

表1 人工邊界參數表

表2 巖體材料參數值

地震過程的全程加速度時程曲線如圖3所示。地震記錄為包含峰值在內的前10 s歷程，以0.01 s為時間間隔，共采集1 001個加速度記錄。邊坡模型設置的粘彈性人工邊界屬于應力邊界條件，在荷載輸入之前，對加速度記錄中各點進行拉格朗日二次插值，并對插值公式進行2次積分，將地震過程中的加速度記錄需要轉變為相應速度與位移時程，如圖4所示。

于地基底邊界與兩側邊界輸入應力時程模擬地震波作用在巖石邊坡中的傳播，并選取危巖體與地表上兩點，在前文截取的10 s地震波作用下分析兩測點的位移時程，最后兩點位移時程與邊坡兩側面合力時程分析結果如圖5，圖6所示。

可見，危巖體頂點的最大位移約為11.0 cm，坡體對地震波具有明顯的放大作用。值得注意的是，最大地表位移絕對值將比底部地震入射波幅值大一倍以上(見圖5)，其主要是入射波與反射波在自由邊界處共同疊加的影響。由于這種入射波在地表的放大作用，因此在對巖石邊坡模型進行時程分析時，應將作為響應輸入的地震波減小至原來的1/2，獲得的模型地表震動波形和地震產生的波形大致相同。結果表明，在粘彈性人工邊界前提下，采取地震作用以應力時程形式輸入模型，模擬結果與真實的地表運動基本一致。并且由合力時程曲線可知，兩側立面在運動過程中受力大致相等。

4 結語

本文針對兩側立面高度存在差異的巖石邊坡模型，采取Plane82標準單元來模擬巖體邊坡，并在所截取矩形區域外圍施加粘彈性邊界，隨后在對稱模型的計算條件下，截取地震記錄包含峰值在內的前10 s歷程，將應力時程作為荷載于兩側邊界與地基底邊界輸入，數值模擬地震波在巖體中的傳播。最后結合力的時程曲線可知，在對稱模型的計算條件下，兩側立面合力時程趨于一致，在運動過程中模型整體受力平衡，只發生很小的偏移。因此，對于立面高度不等的邊坡模型，采用對稱的計算方式是合理的。

[1] LYSMER J,KULEMYER R L.Finite dynamic model for infinite media[J].Journal of the Engineering Mechanics Division,1969,95(4):859-878.

[2] DEEKS,ANDREW J,RANDOLPH,et al.Axisymmetric time-domain transmitting boundaries[J].Journal of the Engineering Mechanics Division,1994,1(25):733-739.

[3] 杜修力.工程波動理論與方法[M].北京：科學出版社,2009.

[4] 黃連娣.高混凝土拱壩的數值模擬及可靠度研究[D].大連:大連理工大學,2011.

[5] 谷 音.結構—地基動力相互作用問題高效數值方法研究及工程應用[D].北京:清華大學,2005.

[6] 蔣新新.復雜地基條件下粘彈性人工邊界模型及其應用[D].大連:大連理工大學,2014.

Approachforslopemodelwithviscoelasticboundaryunderearthquakeaction★

QieLuwenXuLuluTaoJiaji

(CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,HebeiUniversity,Baoding071002,China)

For a model with different heights on both sides, applying a viscoelastic boundary to the boundary， rock mass with Plane82 unit was simulated. Under the condition of the symmetric model, seismic records in the bottom boundary and both sides were inputted to simulate the earthquake effect. By analyzing the force-time curve, it was showed that the model is mechanically balanced during motion. Therefore, for the asymmetric slope model, the symmetrical calculation method is more reasonable.

earthquake action, slope, asymmetry, viscoelastic boundary

1009-6825(2017)29-0069-02

2017-08-04 ★:國家自然科學基金項目(61374184)資助

郄祿文(1966- )，男，博士，教授

TU457

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