行星機構的可靠性分析與計算

李銘， 謝里陽,*， 丁麗君

1.東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819 2.中國航發黎明運行保障中心， 沈陽 110000

行星機構的可靠性分析與計算

李銘1， 謝里陽1,*， 丁麗君2

1.東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819 2.中國航發黎明運行保障中心， 沈陽 110000

行星機構的結構設計缺陷、制造與安裝誤差、支撐構件剛度不足等原因可能會使系統發生一定程度的偏載，從而會影響整個機構的使用壽命與可靠性。利用最小次序統計量的概念建立了行星齒輪系的可靠度計算模型，模型反映了偏載對齒輪系可靠性的影響。首先，對行星機構進行了詳細的運動學和力學分析，計算得到了各個齒輪的隨機載荷歷程。根據Miner線性疲勞累積損傷法則，將隨機載荷歷程轉化為等效恒幅載荷譜，并將其作為可靠性模型的載荷輸入變量。然后，將特定齒輪的疲勞壽命數據進行統計處理，將統計結果作為可靠性模型的強度輸入變量。最后，根據模型的計算結果定量地說明了偏載對行星齒輪系可靠性的影響程度，同時利用隨機截尾數據處理方法對可靠性模型的有效性進行了驗證。

行星機構； 偏載分析； 可靠度計算； 疲勞壽命； 彎曲應力計算

行星機構被廣泛應用于各種大功率傳動系統中，尤其在航空領域，由于其具有體積小、質量輕、承載能力大的優點，因此得到了充分的重視。行星機構可以達到很高的功率傳輸水平，是由于行星輪的功率分流作用減小了輪齒的受力，在傳輸功率相當的條件下，行星齒輪系較其他齒輪系具有更高的可靠性。同時，由于大多數行星機構采取行星輪中心對稱布置，這將使作用在中心輪上的徑向力相互抵消，從而減小了軸承的支撐要求。但是，在行星機構中只有當傳輸功率平均分配到各個行星輪上，它的這些優點才能得到充分的發揮。

在實際應用中，由于制造與安裝誤差、支撐構件的變形等因素的影響，行星機構的偏載問題是無法避免的[1]，因此對它的偏載分析具有重要的實際意義。Hidaka等[1-3]通過理論分析與試驗證明了只有當至少一個中心輪處于浮動狀態，行星機構才能達到較好的載荷分擔效果，Muller[4]也得出了相同的結論。Hidaka和Terauchi[1]指出，行星架等支撐構件的小變形可以改善行星機構的偏載狀況。其他一些研究[5-8]同樣討論了支撐條件對行星機構載荷分擔的影響。Hayashi等[9]通過試驗證明了隨著輸入功率的增加，行星機構的偏載系數呈現降低的趨勢。Kahraman[10-11]通過一個簡化的離散模型說明了行星銷軸在動態載荷下的運動規律，進而說明了銷軸對行星機構載荷分配的影響。

針對高速、重載的齒輪機構的可靠性分析是必要的，尤其對于航空領域的行星齒輪機構來說更是不可或缺的設計過程。Yang[12]改進了線性疲勞累積損傷法則，使其更好地應用于齒輪機構的疲勞計算。張義民等[13]利用隨機攝動法對齒輪機構進行了可靠性分析，在一定程度上完善了齒輪傳動的設計過程。張冠宇等[14]采用Kriging模型對大型球磨機齒輪機構的體積和可靠性進行了全局優化。Nejad等[15]提出了一種用于風力發電機的齒輪彎曲疲勞長壽命損傷計算方法。李延福等[16]使用邏輯圖評估了風力渦輪機系統中通用齒輪機構的可靠性。Guerine等[17]分析了參數具有不確定性的齒輪機構的動態統計響應。

偏載會惡化行星機構的載荷環境，限制其優勢的發揮，同時會降低行星齒輪系的可靠性。目前尚未見有文獻涉及偏載對行星齒輪系可靠性影響的研究，本文將偏載系數與可靠度計算結果進行對比，定量地分析了偏載程度與行星齒輪系可靠度之間的關系。一般的，齒輪系統的力學仿真計算需要大量的運算時間，學者們為了減小計算代價，一般將齒輪系統簡化為幾個齒輪甚至是幾個輪齒[18-20]。對于行星機構的偏載研究，這種建模方法不能很好地反映機構的偏載狀態。本文建立了行星機構的整體仿真模型，考慮了軸、軸承以及行星架等支撐構件的彈性變形對輪齒應力的影響。對于計算代價的考慮，沒有以一條連續曲線的形式表示輪齒的載荷歷程，而只是計算它在嚙合過程中的應力峰值，以一系列離散點的形式給出載荷信息，這樣不僅節省了計算時間，還考慮到了影響系統可靠性的主要的載荷因素。

將特定的試驗齒輪(與行星齒輪系齒輪的主要參數相同)的壽命信息作為齒輪系統可靠性計算的已知條件，并沒有像一般的，以材料的疲勞特性推測零件或系統的可靠性[21-23]，因此在研究中回避了對零件的表面狀態、尺寸、應力集中和殘余應力等因素的考慮，提高了計算精度的同時又簡化了計算過程。

對行星機構的偏載狀態進行了詳細的分析與計算，得到了偏載狀態下輪齒的載荷譜，并將其作為可靠性模型的載荷輸入變量；同時，根據特定齒輪的壽命數據，利用最小次序統計量概念將齒輪的概率壽命轉化為輪齒的概率壽命，并將其作為可靠性模型的強度輸入變量。最終，根據行星齒輪系的載荷特點建立了其可靠性計算模型，模型可以簡單而有效地計算行星齒輪系在偏載狀態下的可靠度。

1 行星機構

1.1 機構簡介

某發動機三級減速器的行星機構如圖1所示，其主要構件包括行星齒輪系、軸承、行星架、輸入軸、輸出軸以及行星軸。

其中，行星齒輪系由太陽輪、行星輪和內齒輪組成，其詳細參數如表1所示。

圖1 行星機構Fig.1 Planetary mechanism

表1 行星齒輪系的參數Table 1 Parameters of planetary gear train

ParameterSungearPlanetgearRinggearModule/mm444Numberofteeth301663Pressureangle/(°)202020Helixangle/(°)000Facewidth/mm262626Tooththickness/mm6.666.666.60Basepitch/mm11.80911.80911.809Profileshiftcoefficient0.12990.12990.1096Rootfilletradius/mm2.2432.4361.370Rootroughness/μmRz=10Rz=10Rz=10ISOqualitygrade666PrecisionmachiningGrindingGrindingGrindingMaterial20CrMnTi20CrMnTi20CrMnTiCasedepth/mm0.8±0.130.8±0.130.8±0.13SurfacehardnessHRC59-63HRC59-63HRC59-63CorehardnessHRC35-48HRC35-48HRC35-48

太陽輪與輸入軸相聯，行星架與輸出軸相聯，內齒輪與箱體固定，機構中的功率流向為：輸入軸→太陽輪→行星輪→行星架→輸出軸。機構的額定工況為：輸入轉速450 r/min，輸入功率100 kW，內部工作溫度70 ℃。

1.2 運動學分析

根據行星機構的運動學方程，獲得各個齒輪的相對嚙合頻率，可用于計算輪齒的載荷歷程，還用于將輪齒的載荷作用次數轉化為機構的運行時間，統一可靠性模型的自變量。首先，假設太陽輪a、行星輪c、內齒輪b及行星架x的絕對角速度分別為ωa、ωc、ωb及ωx，那么它們的角速度關系式為

(1)

由式(1)可以得到行星機構的運動學方程式

(2)

根據式(2)可以得到太陽輪、行星輪和內齒輪分別與行星架的相對轉速。其運動學參量如表2所示，其中，負號表示旋轉方向相反，nc為機構中行星輪的個數，t為任意的時間段。

1.3 齒根彎曲應力計算方法

考慮到齒輪彎曲疲勞失效是齒輪最常見的失效形式之一，且對于航空領域的行星機構來說，掉落的齒塊可能使機構卡死，導致整個傳動系統在瞬間失去工作能力，甚至會發生機毀人亡的慘劇。

因此，將齒輪彎曲疲勞強度作為行星機構可靠性分析、評價的指標。

在計算齒根彎曲應力時，可把輪齒視為懸臂梁，并采用30° 切線法確定其危險截面，如圖2所示，hF為力臂，SF為危險截面齒厚，ρr為齒根圓角半徑，αa指明了法向力的方向。在端面內作與輪齒對稱中心線成30° 夾角并與齒根過渡曲線相切的兩條直線，連接兩個切點并平行于齒輪軸線的截面就是危險截面，這里是輪齒彎曲疲勞裂紋發生的主要位置。

為了計算危險截面上的最大彎曲應力，以單對齒嚙合時全部載荷作用于齒頂為基礎來計算，作用于齒頂的法向力為

(3)

式中：T1為主動齒輪的轉矩；d1為主動齒輪的分度圓直徑；α為壓力角。

圖2 30° 切線法確定危險截面 Fig.2 30° tangent method for determining dangerous section

齒輪傳動中的載荷應計入原動機和工作機的特性、齒輪內部的動載荷、齒寬上載荷分布不均勻和嚙合齒對間載荷分配不均勻等因素的影響，因此齒輪的計算載荷可表示為

Fnc=KFn

(4)

式中：K為載荷系數，它由使用系數KA，動載系數Kv，齒向載荷分布系數Kβ和齒間載荷分配系數Kα構成，即K=KAKvKβKα。

若忽略齒面間的摩擦力，那么作用于齒頂的法向力Fn可以分解為Fncosαa和Fnsinαa兩個力，如圖3所示。

由于Fncosαa產生的剪應力和Fnsinαa產生的壓應力比Fncosαa產生的彎曲應力小得多，可忽略不計。那么，齒根彎曲應力為

(5)

式中：b為齒寬。

將式(3)和式(4)代入式(5)得

(6)

圖3 齒根彎曲應力計算Fig.3 Tooth root bending stress calculation

Ys和重合度系數Yε，最終得到齒根彎曲應力的表達式[24]為

(7)

式中：YF為齒形系數，它與齒廓形狀有關，與模數m無關；Ys為應力修正系數，用它考慮齒根過渡圓角處的應力集中；Yε為重合度系數。

由式(7)計算得到的齒根彎曲應力是受載齒側齒根危險截面處的最大拉應力(文中提到的齒根彎曲應力都是指這個最大的應力)，如圖3所示。它計算了輪齒在嚙合過程中齒根彎曲應力的峰值，因此輪齒的載荷歷程可以以一系列離散值的形式給出。同時將這個最大值出現的嚙合位置定義為危險嚙合位置。

使用RomaxDesigner軟件作為齒根彎曲應力計算的輔助工具，它具有強大的齒輪機構分析、計算能力。RomaxDesigner軟件可以實現行星機構的精確建模，反映出機構中齒輪、軸承、軸以及行星架等關鍵構件的受力和變形狀態。對于齒根彎曲應力的計算，它以式(7)為基礎，根據仿真模型的結構參數，同時考慮離心力、熱效應以及支撐構件的變形等因素對應力的影響，最終通過式(7)中的系數精確地反映出來。

2 載荷分配分析

2.1 均載分析

行星機構在理想的制造精度與支撐剛度的條件下，將會處于均載狀態。所謂行星機構均載，就是指系統中傳遞的功率被平均分配到各個行星輪上。如圖4所示，在均載狀態下，行星輪受到齒輪副嚙合力的作用而發生偏移，在笛卡爾坐標系下將偏移量的比例系數放大150倍，會發現行星輪的中心都落在同一個圓上，即3個行星輪的偏移量相同。此時，它們對太陽輪的徑向合力為0，輸入軸與輸出軸沒有發生彎曲變形。在額定工況下(輸入功率為100 kW)，通過計算得到了太陽輪傳遞給各個行星輪的功率都為33.3 kW，即整個行星機構處于均載狀態。

圖4 均載分析Fig.4 Analysis of equal load sharing

根據行星機構的結構參數和額定工況，利用RomaxDesigner計算得到了均載狀態下太陽輪的齒根彎曲應力為414 MPa；行星輪雙側受載，兩側的齒根彎曲應力相等，量值為439 MPa；內齒輪的齒根彎曲應力為369 MPa。

2.2 偏載分析

與均載的定義相反，行星機構偏載是指系統中傳遞到各個行星輪的功率或嚙合力不相等。起初，為了消除偏載，人們努力提高行星機構的加工精度，從而使它的制造和安裝變得困難。隨后又采用各種均載機構力求使行星輪間載荷分配均勻，但在運行過程中仍會出現偏載問題。

在實際應用中，一個支撐結構不合理的行星機構如圖5所示，相對于圖1中的機構，它增加了一對斜齒輪副，同時改變了功率輸出位置，而行星齒輪系的參數與機構的額定工況都與圖1中的相同。

在斜齒輪副嚙合力的作用下，機構中的傳動軸和行星架發生了彎曲變形。將行星架節點合位移(USUM)的比例系數放大150倍，如圖6所示，可以看到行星架的變形為非對稱變形。

圖5 不合理的支撐結構Fig.5 Unreasonable supporting structure

行星架與傳動軸的變形將導致太陽輪發生徑向與軸向偏移，使太陽輪中心與內齒輪中心不再重合，如圖7所示，在笛卡爾坐標系下，將齒輪偏移量的比例系數放大50倍并以線框形式顯示，可以看到3個行星輪的中心不在同一個圓上，它們的偏移量不再相等。太陽輪與行星輪的這種偏移將使它們的工作齒廓間形成不同程度的間隙或過盈，導致太陽輪傳遞給各個行星輪的載荷不再相等，行星機構處于偏載狀態。

在額定工況下，使用RomaxDesigner分別對機構的均載狀態和偏載狀態進行了靜力計算，得到某一時刻行星輪載荷分配對比結果如表3所示(P與T分別表示構件傳遞的功率與扭矩)。機構均載時，各個行星輪傳遞的功率相等，且在運行過程中保持不變；而當機構處于偏載狀態時，各個行星輪傳遞的功率相差較大，且在運行過程中時刻變化。

圖6 傳動軸與行星架的變形Fig.6 Deformation of drive shafts and planet carrier

圖7 偏載分析Fig.7 Analysis of unequal load sharing

表3 載荷分配結果對比Table 3 Comparison of load sharing results

TypeEqualloadsharingUnequalloadsharingP/kWT/(N·m)P/kWT/(N·m)Outputshaft1008457.91008457.9Planet133.32819.321.41808.2Planet233.32819.352.64448.6Planet333.32819.3262201.1

同時，以行星輪間載荷分配不均勻系數G來描述行星機構的偏載程度

(8)

式中：Fmax為分配給行星輪的最大載荷；Fave為分配給行星輪的平均載荷。

圖8 偏載程度分析Fig.8 Analysis of unequal load degree

2.3 載荷譜計算

為了定量分析偏載對行星機構的影響，下面對行星齒輪系在偏載狀態下的載荷進行計算與處理。

通過以上分析已經知道，在偏載狀態下，行星輪的周向位置不同，其輸出功率不同，齒根彎曲應力也將不同，即行星輪的齒根彎曲應力是其輪齒位置坐標的函數。對于太陽輪也有相同的結論，由于太陽輪與行星輪每次發生危險嚙合的位置不同，因此在偏載狀態下，太陽輪輪齒的齒根彎曲應力在不同的旋轉位置也會不同。而對于內齒輪，它與箱體固定，每個輪齒的位置坐標不變，所以內齒輪各個輪齒的齒根彎曲應力值是固定的。

圖9 內齒輪的齒根彎曲應力值Fig.9 Tooth root bending stress values of ring gear

使用跟蹤目標齒的方法計算內齒輪上各個輪齒在偏載狀態下的齒根彎曲應力。指定任意一個行星輪上的任意一個輪齒作為目標齒，根據表2中行星機構的運動學參量，計算了當目標齒與內齒輪完成兩次相鄰的危險嚙合時行星架的旋轉角度，然后將行星架的旋轉角度輸入RomaxDesigner中，RomaxDesigner可以精確識別輸出軸的角度變化，計算目標齒與內齒輪的每一次嚙合應力的大小，最終可以得到偏載狀態下內齒輪上各個輪齒的齒根彎曲應力值，如圖9所示(環繞內齒輪的一圈數字是以MPa為單位的齒根彎曲應力值)。由于輸入軸單向旋轉，斜齒輪齒廓間的正壓力方向不變，導致太陽輪偏移方向固定。在太陽輪的偏移方向上形成“過盈區”，其背離方向上形成“間隙區”。在過盈區嚙合的輪齒，齒廓間的側隙較小，而間隙區的嚙合側隙較大。從圖中還可以發現，應力的最大值并不在過盈區，而在過盈區向間隙區過渡的交界處，在那里形成高應力區，在另一側形成低應力區。在逆時針方向上，由低應力區向高應力區齒根彎曲應力逐漸增大。在直齒輪構成的行星機構中，相互嚙合的輪齒間的齒根彎曲應力值存在正比例關系，因此當太陽輪與行星輪的輪齒同時進入高應力區時，它們的齒根彎曲應力一起變大，離開時又會同時變小，在低應力區的情況正好相反。通過齒輪試驗獲知，20CrMnTi滲碳齒輪的彎曲疲勞極限在400 MPa左右。在偏載狀態下，內齒輪上有44%的齒根彎曲應力大于其疲勞極限，最高的超過疲勞極限46%，因此這些輪齒將成為影響內齒輪可靠性的敏感部位。

太陽輪與行星輪的輪齒危險嚙合位置并不固定，在偏載狀態下，它們的某些輪齒是否經常在高應力區嚙合，成為影響其可靠性的敏感部位，分析如下。

首先分析太陽輪。如圖10所示，太陽輪逆時針旋轉，跟蹤目標齒(圖中填充的輪齒)的嚙合軌跡，P1為它的第一個危險嚙合位置(與①行星輪嚙合)，當目標齒旋轉到位置P2時到達其第二個危險嚙合位置(與②行星輪嚙合)，P1與P2之間的角度為177°；太陽輪繼續旋轉，當目標齒旋轉到位置P3時第三次到達其危險嚙合位置(與③行星輪嚙合)，P2與P3之間的角度同樣為177°。即每當太陽輪旋轉177°，它的目標齒會經歷一次危險嚙合，同理可以得到目標齒的其他危險嚙合位置。由此可見，太陽輪目標齒的危險嚙合位置均布于整個圓周，平均分布在高、低應力區。由于機構中的3個行星輪呈中心對稱布置，因此太陽輪其他輪齒與目標齒的嚙合情況相同。由此得出結論，在偏載狀態下，太陽輪上不存在影響自身可靠性的敏感輪齒。

圖10 太陽輪目標齒的危險嚙合位置Fig.10 Dangerous meshing positions of target tooth of sun gear

同時，計算了太陽輪目標齒與行星輪依次嚙合50次的齒根彎曲應力值，如圖11(a)所示。這是一個高低載荷交替的脈動隨機載荷歷程，50個應力值基本上可以反映目標齒的受載狀態。

圖11 目標齒的載荷歷程Fig.11 Load history of target tooth

行星輪輪齒的危險嚙合位置的分析方法與太陽輪的相同。行星輪的目標齒與太陽輪和內齒輪交替嚙合，相鄰危險嚙合點之間的圓周角度為47°，它們同樣均布于整個圓周，平均分布在高、低應力區，因此當偏載發生時，行星輪上不存在影響其可靠性的敏感輪齒。同時，行星輪目標齒依次嚙合50次的齒根彎曲應力值如圖11(b)所示，這是一個具有周期變化趨勢的脈動隨機載荷歷程，50個應力值基本上可以反映目標齒的受載狀態。由于系統中的行星輪均勻布置，因此3個行星輪上的所有輪齒與目標齒的載荷歷程相同。

為了有效應用圖11中的載荷歷程計算行星齒輪系的可靠度，需要利用Miner線性疲勞累積損傷理論，將脈動隨機載荷歷程轉化為等效恒幅載荷譜。根據離散應力值的載荷歷程形式，將一次載荷造成的損傷表示為D=1/N，N為當前載荷水平對應的疲勞壽命。那么在變幅載荷作用下，n次載荷造成的損傷為

(9)

由于輪齒的彎曲疲勞壽命一般較長，且圖11中的載荷歷程具有高、低載荷交替的趨勢，因此可以不考慮載荷順序效應，認為臨界疲勞損傷值在1附近[25]。通過一個疲勞試驗得到了輪齒的強度信息，但是試驗是在輪齒單向受載的狀態下進行的，其輪齒S-N曲線的應力比R=0。由于行星機構輸入轉速方向一定，太陽輪輪齒單向受載，可以根據試驗得到的輪齒中值S-N曲線，應用Miner法則，將圖11(a)中的載荷歷程轉化為等效恒幅載荷譜。而對于行星輪，由于輪齒承受對稱雙向彎曲載荷，在相同應力等級下，其損傷要大于單向受載的情況，因此在應用Miner法則時，應將試驗得到的輪齒極限應力降低30%，將單向受載的輪齒強度轉化為雙向受載的強度[24]。最后計算得到了太陽輪和行星輪的等效恒幅載荷譜的峰值分別為562 MPa和593 MPa，分別超過均載時的35.7%和35.1%。由此可見，偏載惡化了行星機構的載荷環境。

3 行星齒輪系可靠度計算

3.1 模型的建立

將最小次序統計量的概念應用于可靠性模型的建立過程中，最小次序統計量的概念可以描述為，從總體分布中抽出n個樣本，選出樣本中的最小值，重復此動作，最終由最小值得到的分布就是該總體的最小次序統計量分布。可以將這個概念應用于齒輪，將一個齒輪看成串聯系統，齒輪上各個輪齒看成系統中相同的零件。如果任意輪齒失效，使齒輪無法完成指定的功能，則這個串聯系統失效。

根據最小次序統計量的定義，齒輪的概率壽命等同于其輪齒概率壽命的最小次序統計量，它們的壽命分布關系如圖12所示。

圖12 齒輪與輪齒的壽命分布關系Fig.12 Life distribution relationship between gear and tooth

對于兩批材料與結構參數相同的齒輪產品，兩者的輪齒彎曲疲勞性能可能存在差異，這種差異主要來自于熱處理階段。由于滲碳溫度、滲碳時間、碳濃度等熱處理條件無法達到完全一致，將會使兩批齒輪的齒根處形成不同的表面硬度和心部硬度、硬化層深度和沿深度方向的硬度變化梯度、表面與次表面的殘余應力狀態等，這些因素會共同影響輪齒的彎曲疲勞壽命與可靠性[26-29]。對于一個齒輪來說，它的熱處理條件是完全相同的，因此有理由認為一個齒輪上各個輪齒的疲勞壽命在相同的應力等級下為獨立同分布隨機變量，甚至對于同一批相同的齒輪來說，它們的輪齒壽命也可以看成是來自相同的母體，這是將最小次序統計量應用于齒輪的前提條件。對于行星機構而言，它的齒輪一般出自同一批齒輪產品，又由于所有齒輪的模數相同，承載能力相同，因此可以認為系統中所有輪齒的疲勞壽命服從同一個分布。

若總體X的概率密度函數為f(x)，累積分布函數為F(x)，則最小次序統計量的概率密度函數為

(10)

用Z表示齒輪的齒數，自變量x表示輪齒的載荷作用次數(即壽命)，將式(10)兩邊積分，得到輪齒概率壽命的最小次序統計量累積分布函數Gmin(x)，即齒輪的壽命累積分布函數可以表示為

(11)

將式(11)變換，得到輪齒的壽命累積分布函數

(12)

用兩參數威布爾分布函數表示齒輪的壽命分布[30]，其累積分布函數可以表示為

(13)

式中：β0和θ0分別為齒輪壽命分布的形狀參數和尺度參數。

將式(13)代入式(12)得

(14)

式(14)將齒輪的概率壽命轉化成了輪齒的概率壽命。從分布函數的形式可見，輪齒的壽命分布同樣為兩參數威布爾分布，其形狀參數不變β1=β0，尺度參數變為θ1=θ0Z1/β0。

式(14)建立了齒輪與輪齒之間的概率壽命的關系，對這種關系的必要性作如下討論。根據行星機構的運動學與力學分析，獲得了系統中各個齒輪的輪齒載荷信息，如果再得到它們的強度信息，就能夠完成對齒輪系統的可靠度計算。可以通過疲勞試驗獲得輪齒的強度信息，國內外學者一般采用脈動加載的方式獲得輪齒的疲勞壽命，但這種試驗方法無法反映輪齒在嚙合過程中的動態特性(齒根的應力狀態為多軸應力狀態)，它只適用于不同輪齒之間的參數對比試驗[31-34]。因此，使用了功率流封閉式齒輪旋轉試驗機，它可以很好地反映輪齒的實際載荷狀態，但由此得到的試驗數據為齒輪的壽命而非輪齒的壽命，這就需要借助兩者的概率壽命關系，最終用于獲得輪齒的強度信息。

轉化過程如圖13所示，將不同應力等級下的齒輪壽命分布轉化為輪齒的壽命分布，然后采用最小二乘法，對各應力級S下輪齒壽命的概率密度曲線的相同可靠度分位點進行線性擬合，最終得到了輪齒P-S-N曲線。

圖13 齒輪與輪齒的壽命分布轉換Fig.13 Life distribution transformation between gear and tooth

這里需要強調的是，試驗中使用的齒輪試樣為特定的齒輪，它與行星齒輪系中的齒輪的基本參數相同，如材料、模數、壓力角、齒寬等。同時，兩者的制造設備與工藝路線等也要相同，且要求來自于同一批熱處理，這些要求最終能夠保證行星齒輪系可靠度計算的精度。

在獲得了行星齒輪系中輪齒的載荷與強度信息后，便可以完成系統的可靠度計算。對于太陽輪，根據其目標齒的等效恒幅應力可以得到其輪齒在σa應力等級下的壽命累積分布函數Fa(x)，由于太陽輪所有輪齒的載荷歷程都相同，因此可以得到太陽輪的可靠度表達式為

(15)

同理得到行星輪的可靠度表達式為

(16)

式中：Za與Zc分別為太陽輪與行星輪的齒數。

內齒輪上各個輪齒處于不同的應力等級，其中有18個輪齒的齒根彎曲應力高于疲勞極限，它們是影響內齒輪可靠性的敏感部位，因此考慮這18個輪齒，內齒輪的可靠度表達式為

Rb(x)=(1-Fb1(x))(1-Fb2(x))…

(1-Fb18(x))

(17)

根據可靠性乘積定律，行星齒輪系的可靠度表達式為

(18)

將式(15)～式(17)代入式(18)得

(1-Fb1(x))…(1-Fb18(x))

(19)

式(19)中，自變量x表示輪齒的載荷作用次數，由于行星齒輪系中各個齒輪的嚙合頻率不同，因此需要將式(19)中的自變量統一為機構的運行時間t，根據表2中的運動學參量，行星齒輪系的可靠度表達式變為

(20)

同時將兩參數威布爾分布函數代入式(20)，并整理得

(21)

式中：βa和θa為在σa應力等級下，太陽輪輪齒的壽命分布形狀參數和尺度參數；βc和θc為在σc應力等級下，行星輪輪齒的壽命分布形狀參數和尺度參數；βb1和θb1為在σb1應力等級下，內齒輪上第一個敏感輪齒的壽命分布形狀參數和尺度參數。

式(21)即為行星齒輪系考慮偏載影響的可靠度計算模型，根據行星齒輪系的結構參數和特定齒輪的壽命信息便可以簡單而有效地計算系統在偏載狀態下的可靠度。當用此模型計算齒輪系在均載狀態下的可靠度時，只需要將輪齒的均載應力計算結果代入模型即可。

表4 偏載狀態的可靠度計算結果Table 4 Reliability results with unequal load sharing

表5 均載狀態的可靠度計算結果Table 5 Reliability results of equal load sharing

3.2 模型的驗證

行星齒輪系可靠性建模的關鍵思想是利用最小次序統計量概念，將特定齒輪的壽命分布轉化為輪齒的壽命分布，為了對這種轉化思想的有效性進行驗證，首先介紹一種隨機截尾數據的統計處理方法。

在壽命試驗中一般會獲得兩種數據，一種是具有準確失效時間的數據，稱之為失效數據；另一種是沒有失效就退出試驗，即它的實際壽命要大于試驗時間，這種數據稱之為截尾數據，以上兩種數據統稱為隨機截尾數據。

將隨機截尾數據的概念應用于齒輪，在齒輪的疲勞試驗中，當一個齒輪上的某個輪齒斷裂時立刻停止試驗，這樣便獲得了斷裂輪齒的失效數據和其他輪齒的截尾數據，將輪齒的隨機截尾數據統計處理可以得到輪齒的概率壽命，并可將其與可靠性模型的計算結果進行對比驗證。

用兩參數威布爾分布函數表示輪齒的疲勞壽命，并采用最大似然估計法對隨機截尾數據進行分布參數估計。用(t1,δ1),(t2,δ2),…,(tn,δn)表示隨機截尾數據，ti代表第i個輪齒的壽命數據，當δi=1時ti是失效數據；當δi=0時ti為截尾數據，那么在一個齒輪上，輪齒壽命的隨機截尾數據模型如圖14所示。

威布爾分布函數的兩個參數(β,θ)的似然函數可表示為

(22)

β的最大似然估計可通過式(23)解得

圖14 輪齒壽命的隨機截尾數據模型Fig.14 Randomly censored data model for tooth life

(23)

θ的最大似然估計通過式(24)解出

(24)

以圖13中最高應力級的17個齒輪的壽命數據作為研究對象，從中可以得到17個輪齒的壽命數據和408個輪齒的截尾數據，共425個輪齒的隨機截尾數據(一個試驗齒輪上具有25個輪齒)。最終得到的對比結果如圖15所示。

圖15 兩種方法的概率密度曲線Fig.15 Probability density curves of two methods

由于隨機截尾數據的樣本量較大，因此其統計結果比較接近真實值。通過圖15中的結果對比可以看到，兩者的概率密度曲線具有較高的重合度，均值的相對誤差為7.9%，標準差的相對誤差為8.8%，可見本文的轉化模型具有較好的概率壽命計算能力。

4 結 論

行星機構的偏載問題不容忽視，偏載對行星齒輪系可靠性的影響及齒輪系在偏載狀態下的可靠度計算方法更是偏載問題的核心。通過以上研究可以得到如下結論。

2) 針對這種參數的行星機構，無論均載或是偏載，行星輪都是影響齒輪系可靠性的敏感構件。由于其齒數較少，嚙合頻率較高，加之輪齒雙側受載，因此其可靠度相對較低。在設計時應該適當增加行星輪的強度，用于提高整個系統的可靠度。對于齒輪彎曲疲勞失效模式，內齒輪對系統可靠性的影響并不顯著，因此在追求輕質量的航空行星減速器的設計中，可以通過適當減小內齒輪的齒寬來達到減小質量的目的。

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(責任編輯： 李世秋)

*Correspondingauthor.E-mail:sysyxie@163.com

Reliabilityanalysisandcalculationforplanetarymechanism

LIMing1,XIELiyang1,*,DINGLijun2

1.SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation,NortheasternUniversity,Shenyang110819,China2.AECCLimingOperationSupportCenter,Shenyang110000,China

Foraplanetarymechanism,structuraldesigndefects,manufacturingandinstallationerrors,lackofstiffnessofthesupportstructureandotherfactorsmaycausetoacertaindegreeunequalloadsharing,thusaffectingthelifeandreliabilityoftheentirebody.Areliabilitypredictionmodelfortheplanetarygearsetisestablishedbyusingtheconceptofminimumorderstatistics,andthemodelreflectstheinfluenceofpartialloadonthereliabilityoftheplanetarygearset.Adetailedkinematicsandmechanicsanalysisofthemechanismiscarriedout,andtherandomloadhistoriesofeachgeararecalculated.AccordingtothelawofMinerlinearfatiguecumulativedamage,therandomloadhistoriesaretransformedintoequivalentconstantamplitudeloadspectrums,whicharetakenastheloadinputvariableforthereliabilitymodel.Thefatiguelifedataofspecificgearsarethenstatisticallyprocessed,andthetreatedlifeinformationisusedasthestrengthinputvariableforthereliabilitymodel.Accordingtothepredictionresultofthemodel,theadverseeffectsofpartialloadonthereliabilityoftheplanetarygearsetarequantitativelyexplained,andtheeffectivenessofthemodelisverifiedbyrandomlycensoreddataprocessing.

planetarymechanism;partialloadanalysis;reliabilitycalculation;fatiguelife;bendingstresscalculation

2017-01-17；Revised2017-02-17；Accepted2017-04-24；Publishedonline2017-05-190927

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170519.0927.002.html

s：NationalKeyTechnologyResearchandDevelopmentProgramofChina(2014BAF08B01);NationalNaturalScienceFoundationofChina(51335003)

2017-01-17；退修日期2017-02-17；錄用日期2017-04-24； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-05-190927

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170519.0927.002.html

國家科技支撐計劃 (2014BAF08B01)； 國家自然科學基金 (51335003)

.E-mailsysyxie@163.com

李銘， 謝里陽， 丁麗君． 行星機構的可靠性分析與計算J． 航空學報,2017,38(8):421145.LIM,XIELY,DINGLJ.ReliabilityanalysisandcalculationforplanetarymechanismJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):421145.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.421145

V215.7； TB302.3

A

1000-6893(2017)08-421145-14