裝備k/N系統保障備件配置優化模型*

付冰，劉福勝，閆旭

(裝甲兵工程學院 技術保障工程系，北京 100072)

裝備k/N系統保障備件配置優化模型*

付冰，劉福勝，閆旭

(裝甲兵工程學院 技術保障工程系，北京 100072)

備件是裝備保障中重要的保障資源之一，是保證裝備系統良好戰備狀態和恢復戰斗力的重要因素。針對預防性維修中k/N系統備件配置模型不合理導致保障效益低下的問題，提出一種新的備件配置優化模型。模型考慮不同的故障類型對備件配置的影響，以配置備件數目最小為目標函數，以新構建的使用可用度模型和保障費用模型為約束條件，利用慣性權重遞減的改進粒子群算法來提高模型求解效率。最后給出一個算例，結果表明模型能夠合理的進行備件配置，給出最優備件配置方案，獲取最佳的經濟效益，提高裝備系統保障效能。

k/N系統；保障備件；使用可用度；保障費用；配置優化；改進粒子群算法

0 引言

備件是裝備保障的重要保障資源之一，備件的配置優化在保證裝備戰備完好性的情況下對備件進行合理的配置，同時獲得最佳的綜合經濟效益，為保障人員提供決策。在備件優化配置問題研究中，專家們通過運用的算法和針對的系統都各有不同。例如，文獻[1]運用遺傳算法和神經網絡相互結合建立電子裝備備件優化模型，文獻[2-4]利用改進的PSO算法在不同的約束條件下對備件配置建立優化模型，文獻[5]采用改進MOPSO算法，以備件保障能力和保障費用作為目標函數，對高維、非線性的多級備件配置問題進行優化。文獻[6]在多級維修下考慮裝備的使用可用度或保障費用來所為約束來研究裝備系統的備件配置優化，文獻[7]改進了傳統的分層編輯算法，建立可用度模型優化備件庫存配置。

k/N系統中包含的單元可以是相同的，也可以是不同的，各單元可以是獨立的，也可以有一定的關聯，當系統中失效單元達到一定的數量之后，維修單位才會對系統進行維修。k/N系統具有系統大，設備多，維修任務重的特點，但是它提高了系統整體的可靠性和使用可用度，因此被廣泛應用在多種武器裝備系統中，例如飛機發動機系統，艦船、相控陣雷達系統等。根據預防性維修策略對k/N系統進行合理的保障資源配置，可以減少維修工作量，降低保障費用，同時可以提高裝備系統的戰備完好性水平。針對其不同的系統特征，文獻[8]估算了包含不同單元的k/N系統的可靠度，文獻[9]建立了兩級維修模式下k/N系統的使用可用度模型，文獻[10]在k/N系統可靠性分析問題上也進行了深入的研究。文獻[11]采用改進的邊際分析法對艦載k/N系統展開研究，解決了維修時機和備件攜行量的聯合優化問題。文獻[12]對可修部件建立模型開展聯合優化。

1 問題描述及假設

本文以某一裝備的可修復k/N系統展開研究，在裝備使用過程開始階段，所有N個不同單元部件都是沒有故障的，本文涉及的裝備系統中N個不同部件的壽命周期均服從參數為λ的指數分布，但其他性能、費用以及補給狀況不同，且各部件之間不考慮故障的相互關系，即互相獨立同分布。只要系統中的故障件數n≥N-k+1，則裝備因故障徹底停機。對于裝備來說，維修主要包括預防性維修和修復性維修。在實際的使用過程中，如果到達規定的預防性維修周期時間T時仍沒有產生故障，則進行預防性維修；如果在這個周期內部件因為故障導致停機，則進行修復性維修。一般情況下，預防性維修的間隔期是固定的，用裝備重要功能產品的最優維修間隔期來確定。為確保裝備的可用性，在預防性維修期間除關鍵部件之外的大量產品根據其技術狀態來決定時都更換或者維修。

裝備的所有部件都應該依據部件本身的技術狀況來確定實施維修活動。本文中模型建立通過0-1決策變量來判斷是否進行預防性維修。裝備綜合保障理論中指出，對已確定的部件需要針對其故障模式和影響進行修復性維修決策[13]。故障形式不同，采取的修理方式也就不一樣。因此本文根據部件的不同的故障模式將修復性維修活動分為2類：一類是該部件的故障對裝備的功能影響較小，在使用現場就能進行簡單的維修，不進行更換；另一類是該部件的故障對裝備功能有較大的影響，必須進行相應的換件修理，這樣便會產生保障延誤時間。那么，部件i在第j次預防維修周期中t時刻出現這2類故障的概率Fi1(tj)，Fi2(tj)為

Fi1(tj)=αi1[1-e(-λitj)]，

(1)

Fi2(tj)=αi2[1-e(-λitj)]，

(2)

式中：αi1,αi2為部件發生兩類故障模式的頻數。

為了建立模型，假設部件經過維修后性能如同新部件，能立即轉為備用件使用；為保障系統的故障件及時的更換，庫存備用件Mi0個，在裝備系統進行維修階段，維修人員用備用件更換故障件，更換時間獨立同分布，均服從參數為ρ的指數分布。當使用一個備件后，備件的庫存量減一。當備件庫存緊張，不能及時進行更換時，需要臨時調用備件，產生備件延誤時間。在更換備件后，維修人員對故障件進行維修，則配置Hr個維修人員，故障件的修復時間獨立同分布，服從參數為μ的指數分布。

2 備件優化模型建立

為了構建裝備使用可用度和備件保障費用的模型，以下為模型所需要的參數：

T：已知常數，表示所研究的裝甲裝備的某一給定的時間段；本文是研究在給定時間T內的裝甲裝備使用可用度與維修保障的優化模型。

Tj：裝備在第j個預防性維修周期。

tir1：第i個部件發生第1類故障的維修時間。

tir2：第i個部件發生第2類故障的維修時間。

λi：裝甲裝備系統第i個部件的故障率。

Rij(t)：系統在第j個維修間隔期內的可靠性函數，其表達式為

(3)

tip：裝備第i個部件的平均預防性維修時間，為常數。

Pij為0-1決策變量，表示裝備第i個部件在第j個維修周期內進行預防性維修與否，Pij=0表示進行，Pij=1表示不進行。

tiσ：表示部件在第2類故障維修中，由于缺件產生的平均后勤延誤時間，本文忽略因維修人員產生的延誤時間，即只考慮因缺少備件而產生的平均延誤時間，表達式為

tiσ=Fi2(t)tpi(1-PiB)，

(4)

式中：tpi為獲取備件的周轉時間，為常數；PiB為第i個備件的平均備件保障概率[14]，其表達式為

(5)

式中：t0為日歷時間與停機維修時間的差值；Bi(g)為第i個部件進行第g次換件維修開始時可用的備件數目，備件的更換服從參數為ρ的指數分布；Mi0為維修單位備有原有備件數量。

2.1使用可用度模型的構建

裝備在第j個預防性維修周期期間的可用度為

(6)

期間裝備工作時間的期望值為

t.

(7)

部件在第j個預防性維修周期內進行預防性維修時間的期望值為

(8)

部件在第j個預防性維修期間發生第1類故障后進行維修所需要時間的期望值為

(9)

在進行第2類故障維修時，若可用備件數目充足，即Bi(g)≥1時，則有

(10)

若可用備件不充足，則產生因備件調配產生備件延誤時間，即裝備在第j個預防性維修周期期間出現第2類故障需要進行維修的時間期望值為

(11)

根據備件消耗過程可以得到，Bi的初始值是Mi0，Dr為維修結束后修復的故障件個數，在預防性維修期間，將更換下來的可修復故障件進行維修，維修結束后故障件數目自動轉為備件數目，則本次Bi等于上次維修后剩余的備件再加上預防性維修期間修復的故障件個數，又因為存在沒有故障件可修的情況，所以Bi不可能超過Mi0，則有

Bi(1)=Mi0，Bi(g)=min{[Bi(g-1)-1]++

Dr,Mi0},g=1,2,…,∞，

(12)

式中：[x]+=max{x,0}。

由于各部件都服從故障為λi的指數分布，因為指數分布“無記憶性”，則第i個與第i+1個故障間隔時間服從參數為(N-i)λi的指數分布，則Hr個維修人員在2次維修期內可修復的故障件個數Dr為

i=1,2,…,n-1.

(13)

將上述各式代入式(6)得裝備在某一預防性維修周期Tj內的使用可用度為

(14)

則系統在某一預定時間T內的使用可用度為

(15)

2.2構建維修保障費用模型

在裝備各級保障管理中，除了關注裝備的戰備完好性之外還應考慮裝備維修的保障費用這項指標，必須兼顧使用可用度最大和保障成本最低的條件。

裝備在第j個預防性維修周期內產生的維修保障費用所包含的內容有：第i個產品的預防性維修費用Cip，發生第1類故障產生的費用Cr1(T(j))，產生第2類故障的維修費用Cr2(T(j))，單位備件成本Cps，單個故障件儲存成本Cpg，單位時間內單個維修人員的成本Crh。

裝備部件在第j個維修性周期內的預防性維修的期望維修費用為

(16)

發生第1類故障產生的維修費用Cr1(T(j))為

(17)

發生第2類故障的期望維修費用Cr2(T(j))為

(18)

備件購置成本：

CPS=Mi0Cips,

(19)

預防性維修期間備件的存儲成本：

CST=M0Cpg+TjDrCpg.

(20)

第j個預防性周期內維修人員費用：

CH=HrTjCrh，

(21)

將以上各式相加即得，在第j維修周期重裝備的維修費用C(T)為

C(T)=Cr1(T(j))+Cr2(T(j))+

Cp(T(j))+CPS+CST+CH.

(22)

則系統在某一預定時間T內的總維修費用為

Cp(T(j))+CPS+CST+CH]，k為整數.

(23)

2.3裝備系統備件配置優化建模

以裝備系統的保障費用和使用可用度作為目標函數，約束條件是裝備部件的使用可用度不低于最低值Asys和保障費用不高于最高值Csys，找出備件庫存的最優數量，使得裝備的使用可用度在達到最大的同時保證保障費用為最小，則模型的數學表達式為

(24)

3 基于粒子群算法的備件優化模型求解

3.1算法介紹及粒子表示

粒子群算法是基于群體的隨機優化技術。基本參數為：粒子群有n個粒子組成X=(X1,X2,X3,…,Xn)，第i個例子表示一個D維向量Xi=(xi1,xi2,…,xiD)T，其速度為υi=(υi1,υi2,…,υiD)T，個體極值為Pi=(Pi1,Pi2,…,PiD)T全局極值為Pg=(Pg1,Pg2,…,PgD)T。該算法采用群體進化適應度函數來評價優化結果，算法中的每一個粒子的適應值都有一個適應度函數與之對應，粒子在解空間中的移動速度和位置具有速度和位置兩種屬性來表示，與此同時，粒子的位置坐標的適應度函數值反映了粒子的好壞程度。每一次迭代中粒子通過對本身最優解和群體的當前最優解不斷的進行更新，并且再根據所有粒子的經驗進行動態的調整，更新位置和速度所用到的公式為

(25)

式中：c1，c2為權重系數；ξ，η為[0,1]區間均勻分配的隨機值。

在基本粒子群優化算法基礎上，學者向式(25)引進了慣性權重因子ω，即

(26)

權重ω影響微粒的局部尋優能力和全局尋優能力[15]。由于較大的權重因子對跳出局部最小點更有益處，更方便在全局搜索，相反較小的權重因子有利于精準的局部搜索，所以可以采用線性變化的權重讓權重從最大值ωmax線性減小到最小值ωmin。隨算法迭代次數變化公式為

(27)

式中：ωmax，ωmin為最大和最小慣性權重；t為當前迭代步數；tmax為最大迭代步數。

3.2適應度函數構造

適應度函數是評價群體中個體優劣勢，引導粒子群移動的方向與速度。根據備件使用可用度和維修保障費用約束模型，要求可用度最大和維修保障費用最小2個約束，要求最終達到備件數目最小，本文確定的適應度函數為

(28)

3.3算法求解過程介紹

粒子群算法求解過程如圖1所示。

圖1 粒子群算法求解過程Fig.1 Flow chart of particle swarm optimization algorithm

(2) 計算每個微粒的目標函數值，即適應度。選出適應度值最好的粒子位置pbest作為種群的位置gbest。

(3) 更新粒子的位置和速度。

(4) 計算更新后粒子的適應度值，并與之前經歷過的最好位置pbest的適應度進行對比，如果更好，則充當該粒子新的最好位置pbest。

(5) 將所有粒子的適應度與種群所經歷過的最好位置相比，更新出新gbest的極值。

(6) 檢查終止條件，判斷最優解是否停止變化，如果沒有，則返回(3),如果判斷已滿足預先設置的條件，則停止迭代，并輸出最優解。

4 案例分析

假設裝備某系統由5個不同部件構成，對應備件的參數，如表1所示，表中時間單位均為h，費用單位均為元。

若故障件個數n≥3，則系統停機開始進行維修。設Asys=0.76，Csys=25 000 元，T=1 000 h，Tj=250 h，Hr的值取2。本文利用Matlab編寫粒子群算法程序，種群規模取10，迭代次數為100代，最大慣性權重ωmax取0.9，最小慣性權重ωmin取0.4，加速系數c1，c2取為2.0，更快的收斂于最優值，提高工作效率，獲得最終適應度變化曲線如圖2所示。

圖2 適應度值曲線Fig.2 Fitness curve

最終在使用可用度A為0.86，保障費用C為19 827元時得最優解備件總數為9件，各部件初始備件個數如表2所示。

表1 備件參數表Table 1 Parameters of spare parts

表2 各部件的初始備件數量(件)Table 2 Number of initial spare parts

5 結束語

本文在考慮使用可用度最大和保障費用最小情況下，建立一種新的使用可用度與維修保障費用的計算模型，以裝備k/N系統不同保障備件初始備件數為目標函數，利用改進的粒子群算法，對初始備件配置進行優化，得到最優的備件配置方案。在具備必要的備件參數情況下，文中提出的使用可用度模型和維修費用模型可以廣泛應用至更為龐大的k/N系統，為保障人員提供備件保障決策，提高系統備件保障的經濟性，對部隊備件配置有著極其重要的作用。

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OptimizationModelforSparePartsAllocationinEquipmentk/NSystem

FU Bing，LIU Fu-sheng，YAN Xu

(Academy of Armored Force Engineering，Department of Technical Support Engineering，Beijing 100072，China)

Spare parts are important parts of equipment support resources, and they play key roles to ensure that equipment system can be in a good state of combat readiness to recover effectiveness. In view of the problem that unreasonable allocation of spare parts ink/Nsystem leads to the low support benefit in preventive maintenance, we propose a new optimization model spare parts allocation. In the model, considering the impact of different failure types on the configuration of the spare parts，we regard the original number of spare parts allocation as the objective function and the availability and maintenance support costs as constraints. The settlement efficiency can be increased by using particle swarm optimization algorithm which is improved by the strategy of decreasing inertia weight to make a reasonable optimal allocation for spare parts. At last，an example is given and the result shows that the model can be reasonable to allocate the spare parts and find the optimal allocation program of spare parts to improve the effectiveness of equipment system security.

k/Nsystem；spare parts；operational availability；support cost；allocation optimizing；improved particle swarm optimization

2017-03-16；

2017-05-04

付冰(1993-)，男，陜西渭南人。碩士生，主要研究方向為裝備綜合保障。

通信地址：100072 北京豐臺區杜家坎21號院E-mail：losser06@163.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.05.025

E917;N945.17

A

1009-086X(2017)-05-0155-07