移動(dòng)副間隙對兩自由度平面機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)的影響

午麗娟

(上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

移動(dòng)副間隙對兩自由度平面機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)的影響

午麗娟

(上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

對含間隙移動(dòng)副的機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析研究。建立了間隙元素非線性接觸碰撞力模型，其正向接觸力采用Hertz彈性力和能量耗散項(xiàng)表征，切向力則由改進(jìn)的庫侖摩擦力表征；對不同間隙值條件下機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了仿真分析。結(jié)果表明，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和精度隨著間隙值的增大而降低；相圖和龐加萊截面進(jìn)一步顯示，隨著間隙值的增大，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)具有從周期趨向混沌的非線性特性。

移動(dòng)副間隙； 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)； 非線性特性

理想運(yùn)動(dòng)副忽略了運(yùn)動(dòng)副元素之間由相對運(yùn)動(dòng)、磨損及公差等造成的間隙，而實(shí)際機(jī)構(gòu)中，運(yùn)動(dòng)副都含有配合間隙。研究表明[1-3]，受間隙運(yùn)動(dòng)副元素之間接觸碰撞的影響，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和精度明顯降低。在一定條件下，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)還將趨向于混沌而非周期。由間隙引起的這種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性已被廣泛關(guān)注和研究。其中，間隙機(jī)構(gòu)建模和仿真、動(dòng)力學(xué)響應(yīng)預(yù)測和分析是研究的兩個(gè)主要內(nèi)容，研究對象多以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)和四桿機(jī)構(gòu)為典型機(jī)構(gòu)[4-7]。這些研究表明，不同的間隙建模方法在動(dòng)力學(xué)數(shù)值求解中既有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)，但仿真結(jié)果均顯示機(jī)構(gòu)的非線性特性依賴于系統(tǒng)參數(shù)。因此，盡可能精確地建立間隙動(dòng)力學(xué)模型，并計(jì)算出系統(tǒng)參數(shù)和響應(yīng)之間的關(guān)系依然是一個(gè)重要的工作。

在動(dòng)力學(xué)響應(yīng)方面，文獻(xiàn)[8-10]中對間隙值大小、輸入速度、構(gòu)件的剛性和柔性、間隙運(yùn)動(dòng)副的摩擦和潤滑等進(jìn)行了研究，以便精確預(yù)測影響因子對間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能的影響。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期性和混沌性則利用非線性方法，如相圖[11]、中心軌跡[12]、龐加萊截面[13]等進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[14]中以含間隙四桿機(jī)構(gòu)為例，研究了曲柄轉(zhuǎn)速和連桿真實(shí)阻尼對機(jī)構(gòu)周期和混沌運(yùn)動(dòng)特性的影響。結(jié)果表明，從周期規(guī)律運(yùn)動(dòng)向混沌的轉(zhuǎn)變與曲柄的轉(zhuǎn)速有一定關(guān)系；超過某一個(gè)特定的值，間隙機(jī)構(gòu)響應(yīng)呈現(xiàn)非周期性，并對初始條件敏感，而阻尼對響應(yīng)則影響不大；并推測周期性和混沌運(yùn)動(dòng)分別對應(yīng)于連續(xù)接觸和發(fā)生碰撞。文獻(xiàn)[15]中利用龐加萊截面和奇特因子研究了不同間隙值下曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，考慮間隙存在時(shí)，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)發(fā)生變化，在一定條件下，系統(tǒng)展現(xiàn)非線性混沌特性。文獻(xiàn)[16]中選擇間隙值、曲柄轉(zhuǎn)速和間隙運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)作為影響因子，研究了相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)；龐加萊截面和運(yùn)動(dòng)副中心軌跡表明，間隙值和曲柄轉(zhuǎn)速對接觸力、力矩有較大影響，非線性響應(yīng)與這些因素也密切相關(guān)。文獻(xiàn)[17]中研究了間隙大小和曲柄轉(zhuǎn)速對含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的影響，從滑塊速度和位移的相圖可以看出，混沌運(yùn)動(dòng)不僅與間隙值、曲柄轉(zhuǎn)速有關(guān)，與間隙運(yùn)動(dòng)副在機(jī)構(gòu)中的位置也有關(guān)系。文獻(xiàn)[18]中研究了曲柄轉(zhuǎn)速恒定、間隙值改變情況下的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)；在一定條件下，龐加萊截面展現(xiàn)了混沌、周期和擬周期特性，且間隙值的微小變化將引起龐加萊截面的巨大變化。上述研究的對象多以單自由度機(jī)構(gòu)為主，缺乏對多自由度機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)的研究。

本文以兩自由度5桿機(jī)構(gòu)為例，通過對機(jī)構(gòu)中某個(gè)構(gòu)件速度和位移偏離分析，以及長周期運(yùn)動(dòng)中，速度和位移參數(shù)的相圖和龐加萊截面分析，研究了間隙運(yùn)動(dòng)副對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的線性和非線性影響。

1 間隙機(jī)構(gòu)建模

1.1含間隙機(jī)構(gòu)模型

以一個(gè)5桿機(jī)構(gòu)為例，理想運(yùn)動(dòng)副情況下，其自由度為2，機(jī)構(gòu)如圖1所示。其中，A、B、C、D點(diǎn)分別為4個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)副中心，E、G分別為BE桿的端點(diǎn)和質(zhì)心，α、β分別為機(jī)構(gòu)初始角度。

圖1 含移動(dòng)副間隙兩自由度平面機(jī)構(gòu)

圖1的平面雙曲柄機(jī)構(gòu)由5個(gè)剛體桿件、4個(gè)理想旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)副和1個(gè)帶間隙的移動(dòng)副組成，桿件1和2 上分別施加兩個(gè)轉(zhuǎn)矩ω1和ω2驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。在移動(dòng)副中，考慮滑塊4和桿件3之間有運(yùn)動(dòng)間隙c，其大小為桿3直徑和滑塊4內(nèi)孔徑之差。各桿件參數(shù)如表1所示。

表1 構(gòu)件基本參數(shù)

1.2間隙運(yùn)動(dòng)副接觸力模型

由于間隙的存在，運(yùn)動(dòng)副兩元素相對運(yùn)動(dòng)過程中會產(chǎn)生接觸碰撞，接觸力大小和材料變形與能量損失有關(guān)。如圖2所示為間隙運(yùn)動(dòng)副接觸點(diǎn)處的接觸變形及接觸力。其中，O1、O2分別為桿3和滑塊4在接觸點(diǎn)橫截面上的回轉(zhuǎn)中心；t、p為滑塊表面在接觸點(diǎn)彈性變形的初始點(diǎn)和終點(diǎn)；T、N分別為最大接觸變形點(diǎn)的切向和法向；e為偏心距;r為桿3半徑。

圖2 間隙運(yùn)動(dòng)副接觸點(diǎn)處的接觸變形及接觸力

當(dāng)接觸變形量δ≥0時(shí)，兩元素發(fā)生接觸碰撞并產(chǎn)生表面彈性變形，滑動(dòng)約束轉(zhuǎn)化為施加在接觸碰撞點(diǎn)正向力FN和切向力FT約束。當(dāng)δ<0時(shí)，兩元素分離，約束消除，系統(tǒng)增加2個(gè)自由度。圖中，為更清楚地表示接觸變形，進(jìn)行了放大處理。則

(1)

式中，K為剛度系數(shù)，與材料泊松比、楊氏模量及接觸元素幾何特性有關(guān)；對于金屬桿件，設(shè)指數(shù)n=1.5；D為回滯阻尼系數(shù)，與δ、最大阻尼系數(shù)有關(guān)。

(2)

式中，vT為接觸點(diǎn)處相對切向速度；μ為摩擦系數(shù)，與靜摩擦系數(shù)μs和動(dòng)摩擦系數(shù)μd有關(guān)，即

其中，vd和vs為動(dòng)摩擦和靜摩擦轉(zhuǎn)化的絕對速度閾值。

2 仿真結(jié)果和討論

基于動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果分析不同間隙對兩自由度平面機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。機(jī)構(gòu)仿真模型如圖1所示，仿真參數(shù)如表2所示，其中，E和ν分別是桿件材料彈性模量和泊松比。

表2 仿真參數(shù)

數(shù)值計(jì)算在ADAMS(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)中完成。為了獲得更快的計(jì)算效率和更高的計(jì)算精確度，選擇剛性積分器GSTIFF和積分算法I3，積分誤差控制在0.001,仿真時(shí)長設(shè)置為桿1的10個(gè)旋轉(zhuǎn)周期。

分別取c=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.75 mm，桿1和桿2的轉(zhuǎn)速為ω1=30 d/s和ω2=50 d/s。通過桿3質(zhì)心點(diǎn)G的速度和位移分析不同c時(shí)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和精確度的變化。進(jìn)一步對仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性計(jì)算，通過相圖和龐加萊截面分析不同c對機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。

圖3所示為桿3質(zhì)心點(diǎn)G的速度變化。由圖可見，當(dāng)c=0 mm時(shí)，速度曲線光滑；隨著c從0.10 mm逐漸增加到1.00 mm，速度曲線的波動(dòng)幅度和波動(dòng)頻率越來越大；且間隙值0.1 mm的微小變化，引起的速度波動(dòng)卻非常明顯，表明G點(diǎn)速度對初始間隙值非常敏感。

以向量AG表征G點(diǎn)的位置，圖4所示為3個(gè)曲柄旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)G點(diǎn)位置的偏移量，即G點(diǎn)位置相對于c=0 mm理想狀態(tài)的偏離情況。由圖可見，當(dāng)c=0.10 mm時(shí)，最大位移偏移量約為0.5 mm；當(dāng)c=1.00 mm時(shí)，最大偏移量接近5 mm，且隨著c從0.10 mm逐漸增加到1.00 mm，位置偏移量越來越大，即隨著c增大，運(yùn)動(dòng)軌跡相對于理想狀態(tài)時(shí)的偏差越來越大。

(a)c=0 mm

(b) c=0.10 mm

(c) c=0.20 mm

(d) c=0.30 mm

(e) c=0.40 mm

(f) c=0.50 mm

(g) c=0.75 mm

(h) c=1.00 mm

圖3G點(diǎn)速度隨間隙變化圖

Fig.3 Velocity of mass center G at different clearance sizes

圖4 G點(diǎn)位置相對間隙為零時(shí)的偏離圖

圖3、4 表明，桿3的運(yùn)動(dòng)速度和位移均受移動(dòng)副間隙的影響，c值增大，運(yùn)動(dòng)精度和穩(wěn)定性下降，這是由于間隙越大，運(yùn)動(dòng)副元素間的接觸碰撞越頻繁造成的。

圖5所示為G點(diǎn)速度相對于位移的相圖。由圖可見，當(dāng)c=0 mm時(shí)，相圖軌跡光滑且封閉，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)為典型的周期性運(yùn)動(dòng)；當(dāng)c>0 mm時(shí)，相圖軌跡波動(dòng)且不封閉，波動(dòng)幅度隨c增大而加劇，表明機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)從周期趨向非周期。圖6所示為G點(diǎn)位移的龐加萊截面圖，其橫、縱坐標(biāo)rn、rn+1表示G點(diǎn)位移極值的相鄰值。由圖可見，當(dāng)c=0 mm時(shí)，截面上只有一個(gè)孤立點(diǎn)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)為可預(yù)測的周期性運(yùn)動(dòng)；當(dāng)c>0 mm時(shí)，隨著c增大，截面上的點(diǎn)從有限個(gè)孤立點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢蓴?shù)的密集點(diǎn)分散在整個(gè)截面，表明機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)為擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。由圖5、6可見，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為對初始間隙值非常敏感，并具有非線性特性，這是由于間隙的存在，運(yùn)動(dòng)副兩元素之間的相對運(yùn)動(dòng)變得不可預(yù)測且隨機(jī)，導(dǎo)致接觸約束即接觸力和摩擦力具有不確定性，系統(tǒng)由此表現(xiàn)出不可預(yù)測的混沌特性。

(a) c=0 mm

(c) c=0.20 mm

(d) c=0.30 mm

(f) c=0.50 mm

(g) c=0.75 mm

(h) c=1.00 mm

圖5G點(diǎn)速度相對于位移的相圖

Fig.5 Phase plane of velocity vs. displacement of G point

(a) c=0 mm

(b) c=0.10 mm

(c) c=0.20 mm

(d) c=0.30 mm

(f) c=0.50 mm

(g) c=0.75 mm

(h) c=1.00 mm

圖6龐加萊截面

Fig.6 The Poincaré section

3 結(jié) 語

本文以一個(gè)含間隙移動(dòng)副的兩自由度平面連桿機(jī)構(gòu)為研究對象，采用非線性連續(xù)接觸力模型建立了運(yùn)動(dòng)副間隙接觸碰撞約束，利用ADAMS對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值仿真，研究了不同間隙值條件下，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為和非線性特性。結(jié)果表明，運(yùn)動(dòng)副的間隙明顯改變了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為。隨著間隙值增大，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度波動(dòng)和位移偏移隨之增加，運(yùn)動(dòng)精度和穩(wěn)定性顯著降低；相圖和龐加萊截面顯示，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性對初始間隙值非常敏感，并且隨著間隙增大，系統(tǒng)表現(xiàn)出從周期向混沌轉(zhuǎn)變的趨勢。

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Influence of Slider Joint with Clearance on Nonlinear Dynamics of Planar Mechanism with Two Degrees of Freedom

WULijuan

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306，China)

In this study, the influence of joint clearance on the dynamic response of a mechanism with two degrees of freedom is investigated. A nonlinear dynamic model of clearance was built. The normal contact force was characterized by Hertz contact theory and an energy dissipation term. A tangential friction force was built based on Coulomb’s friction law. Dynamic simulation was carried out at different clearance sizes of the slider joint. The simulation results indicate that precision and stability of the system’s motion decrease as the clearance size increases. Furthermore, the phase plane and Poincaré section exhibit that the system has a tendency to move from periodic to chaotic as the clearance size increases.

slide joint clearance; dynamic response; nonlinear characteristic

2017 -09 -30

上海市網(wǎng)絡(luò)化制造與企業(yè)信息化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助(KT20150902)

午麗娟(1978-)，女，副教授，博士，主要研究方向?yàn)椴牧铣尚图翱刂疲珽-mail: wulj@sdju.edu.cn

2095-0020(2017)05 -0249-06

TH 122.1

A