地方經濟GDP的預測方法研究

宋妍慧+胡良劍

摘 要：基于Holt-Winters模型、X12-ARIMA模型和SARIMA模型，利用Eviews軟件對湖州市小吳興區從2011年第一季度到2016年第四季度GDP數據進行分析和預測。通過比較相對誤差，結果表明SARIMA模型與其他模型相比相對誤差較小，預測精度較高。最后選擇SARIMA方法對湖州市小吳興區2017年度的GDP進行預測。

關鍵詞：GDP，時間序列，Holt-Winters，X12-ARIMA，SARIMA

中圖分類號：F127；F201 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2017）32-0004-06

引言

國內生產總值（Gross Domestic Product，GDP）是指一個國家所有常住單位在一定時期內生產并提供給社會最終使用的貨物和服務的價值總量[1]。它能夠反映出一個國家或地區的經濟增長程度、經濟規模大小等基礎性的經濟指標，是國際上使用最廣泛的衡量國民經濟發展變化情況的重要指標。GDP在世界各國、國際組織、學術機構和企業中得到廣泛應用，目前已經成為世界范圍內通用的經濟總量指標。各國政府和經濟學家都十分重視GDP的研究工作。我國于1985年正式開始核算GDP。

季度GDP能夠反映季度經濟總量、經濟增長率等重要宏觀經濟數據，具有時效性，能夠及時反映近期經濟發展趨勢，便于宏觀經濟管理部門及時擬定正確的經濟政策，采用有效措施，來確保宏觀經濟可以平穩發展[2]。由于季度GDP數據具有時效性的特點，所以備受宏觀經濟管理者的重視。這是因為生產活動具有季節性而需求活動同樣具有季節性，許多的季節性因素對于季度GDP核算產生了重要的影響，所以季度GDP數據的季節性表現尤為突出。

2008年，劉薇建立ARIMA模型對吉林省未來幾年的GDP進行預測[3]。2010年，魏寧建立ARIMA模型用來預測陜西省的年度GDP[4]。2013年，馮超運用X12-ARIMA模型和SARIMA模型對中國保費的月度收入進行預測[5]，其方法在GDP預測的過程中值得借鑒。為了找到較為精確地預測湖州市小吳興區GDP的方法，我們采用Holt-Winters模型、X12-ARIMA模型和SARIMA模型分別進行預測分析[6]，通過比較，發現SARIMA的效果最好。

一、模型介紹

（一）ARIMA模型

ARMA模型是一個應用比較廣泛的時間序列模型。當我們發現時間序列是平穩的并且在此時間序列內沒有丟失的數據時，我們就可以用ARMA模型進行分析和預測。

ARMA（p，q）的一般表達式記作：

?（L）Yt=θ（L）εt

其中

?（L）=1-?1L-?2L2-，…-?pLp

θ（L）=1-θ1L-θ2L2-，…-θqLq

Yt代表時間序列，L為后移算子，即LYt=Yt-1，?1，?2，…，?p是自回歸模型系數，p為自回歸模型的階數，是移動平均模型系數，q為移動平均模型的階數，εt是均值為0，方差為σ2的白噪聲序列[7]。

但如果時間序列Yt具有趨勢性，或者說是非平穩的，我們需要先對它進行d次差分，以得到平穩的時間序列Xt，而此Xt為ARMA（p，q）序列，我們將原非平穩的時間序列稱為ARMA的d階求和序列，記為ARIMA（p，d，q），它的一般表達式如下：

?（L）（1-L）dYt=θ（L）εt

（二）SARIMA模型

對于一些有著顯著的周期性變化的時間序列，需要對序列進行差分和季節性差分，從而消除它的周期性和趨勢性。如果序列經過d階差分和D階長度為s的季節性差分后才變成平穩序列，那么就適用于SARIMA模型，SARIMA模型的一般形式如下[8]：

?（L）Φ（Ls）（1-L）d（1-Ls）DYt=θ（L）ΘLsεt

其中，Φ（Ls）=1-Φ1Ls-Φ2L2s-…-ΦPLPs是季節性P階自回歸多項式，

Θ（Ls）=1-Θ1Ls-Θ2L2s-…-ΘQLQs是季節性Q階自回歸多項式。

（三）X12季節調整方法

季度時間序列數據通常表現出有規律的季節變動，所以我們選擇通過使用X12的方法對原始時間序列數據進行季節性調整，剔除季節要素，將原數據分解成趨勢循環項TCt，季節項和不規則要素It[7]。本文主要用到的模型為加法模型和乘法模型。

1.加法模型

當時間序列的各成分之間的關系相互獨立、互不影響時，可以使用加法模型，它的一般表達式為：

Yt=TCt+St+It

2.乘法模型

當時間序列的各成分之間相互作用時，我們選擇乘法模型，比如，趨勢循環要素上升時，季節因素也同樣上升，那么可以認定他們不是相互獨立的關系。乘法模型的一般表達式為：

Yt=TCt×St×It

（四）Holt-Winters模型

指數平滑法是一種預測時間數列數據的方法，當我們只有少量數據來預測未來的發展趨勢時，指數平滑法也是一個極為有效的方法。

但是許多真實的時間序列數據不僅僅是具有線性的時間趨勢而且具有季節的變化，以我們的樣本數據湖州市季度GDP來說，很明顯地看出，此數據具有明顯的季節性趨勢，呈現周期性的變化，所以，簡單的非季節模型對于此類數據的預測是不準確的，我們需要選擇Holt-Winters加法模型和Holt-Winters乘法模型來進行預測。

1.Holt-Winters加法模型

加法模型適用于具有線性趨勢和加法季節變化的序列，時間序列的平滑序列可以表示為[7]：

t+k=at+btk+ct+kendprint

其中，t代表樣本取值時間，t=s+1，s+2，…T，T是時間序列的最終點，s代表季節周期長度，k代表向后平滑的期數，k>0，t+k代表將要預測的時期，at代表截距，bt代表斜率，兩者共同表示序列的趨勢，ct代表加法模型的季節因子。

三個系數的遞歸式定義為：

at=α（yt-ct-s）+（1-α）（at-1+bt-1）

bt=β（at-at-1）+（1-β）bt-1

ct=γ（yt-at）+（1-γ）ct-s 其中，α，β，γ在0到1之間，為阻尼因子。

那么，Holt-Winters加法預測模型可以表示為：

T+k=aT+bTk+cT+k-s

其中cT+k-s取已知的時間序列最后一年的季節因子。

2.Holt-Winters乘法模型

乘法模型適用于具有線性趨勢和乘法季節變化的序列，時間序列的平滑序列可以表示為[7]：

t+k=（at+btk）ct+k

其中ct代表乘法模型的季節因子。

三個系數的遞歸式定義為：

at=

α+（1-α）（at-1+bt-1）

bt=β（at-at-1）+（1-β）bt-1

ct=γ

+（1-γ）ct-s

其中，α，β，γ在0到1之間，為阻尼因子。

那么，Holt-Winters乘法預測模型可以表示為：

T+k=（aT+bTk）cT+k-s

二、實證分析

首先，我們假定2016年第二季度到第四季度的數據為未知數據，分別利用Holt-Winters方法、X12-ARIMA方法和SARIMA方法建立模型，然后比較預測值和真實值之間的差距，找出相對誤差較小的研究方法，最后利用找到的研究方法預測2017年的湖州市GDP數值。

（一）Holt-Winters方法

通過Eviews軟件，分別使用Holt-Winters加法模型和乘法模型對湖州市小吳興區的GDP進行預測[9]，預測結果及相對誤差值見表1。

從上述的預測結果可以看出，在預測GDP的過程中，Holt-Winters加法模型比乘法模型預測的相對誤差較小，由此可見，Holt-Winters加法模型的預測效果更好。

（二）X12-ARIMA方法

1.X12-ARIMA加法模型

使用X12加法模型對GDP數據進行季節性調整，我們得到4組數據：GDP_SA，即經過季節調整之后的GDP的數值；GDP_TC，即趨勢循環變動；GDP_SF，即季節因子；GDP_IR，

即不規則變動。另外，我們將季節因子的預測值記為GDP_SFF，

經過季節調整之后的GDP的預測值記為GDP_SAF，不規則變動的預測值記為GDP_IRF，最終的GDP的預測值記為GDPF。

我們通過觀察分解的結果，可以很明顯地看出該時間序列的趨勢性，其具有明顯的上升趨勢。在加法模型中，經過季節調整之后的實際GDP的數值GDP_SA等于GDP_TC與GDP_IR的和。而GDP_SF具有比較規律的變動，這對我們的實際預測有很重要的作用。

由于我們建立的是X12-ARIMA加法模型，我們可以得到

GDPF=GDP_TCF+GDP_IRF+GDP_SFF=GDP_SAF+GDP_SFF，所以，我們需要將季節調整后的數據GDP_SA進行建模，并根據季節因子的規律性變動特點進行分析，最終得到我們所需要的GDP的預測值。

（1）模型的平穩性檢驗及處理

首先，我們需要對GDP_SA序列進行單位根檢驗，以此來判斷序列的平穩性。利用Eviews軟件分析，我們發現，T統計量為-3.13大于10%顯著性水平下的檢驗值-3.30，且p值大于0.05，即接受原單位根假設，所以，我們可以判定該序列是不平穩的，需要對其進行差分處理。

經過一階差分后，得到序列DGDP_SA，它的p值為0.0213，顯著小于0.05。據此，我們可以判定，經過一階差分后的時間序列為平穩的。

（2）模式識別

對DGDP_SA進行ARMA建模，ARMA模型的識別與定階可以通過觀察樣本的自相關圖和偏自相關圖獲得，經過一次差分后的自相關和偏自相關系數如圖1所示。通過觀察可知，偏自相關系數僅在第一階和第二階顯著不為0，所以p=1或者p=2，序列的自相關系數僅在第一階顯著不為0。我們選q=1或者q=0，嘗試建立以下模型ARIMA（2，1，0）或者ARIMA（1，1，1）。然后觀察殘差序列是否是白噪聲，經過分析，兩個模型的殘差均為白噪聲，通過檢驗。最優模型的判斷還需要借助AIC和SC信息準則來判斷，通常AIC和SC的值越小越好，調整的R2代表模型的整體擬合優度，它的值越大，代表了擬合效果越好。我們將兩個模型的這三個指標進行對比，對比圖見表2。

通過比較我們發現，ARIMA（1，1，1）模型的AIC值和SC值均小于ARIMA（2，1，0）模型，且調整的R2大于ARIMA（2，1，0）模型，所以我們選擇ARIMA（1，1，1）模型進行建模。

模型的估計結果為：

（1-L）（1+0.5706L）GDP+_SAt=（1+0.9995L）εt

（3）模型的預測

首先，我們假定季節調整因子基本不變，所以選擇最近的3個季度的季節調整因子作為預測值，2016年第二季度到2016年第四季度的季節調整因子分別為178 587.841 2、-143 197.518 9、173 752.713。endprint

我們將GDP_SA的預測值記為GDP_SAF，結果如表3所示。

根據以上的預測數據，對GDP的最終值進行預測GDPF=

GDP_SAF+GDP_SFF，結果如表4所示。

2.X12-ARIMA乘法模型

我們使用X12乘法模型的思想是：通過類似于加法模型的分解方法，將原始的GDP數據分解為GDP_SA、GDP_SF，GDP_IR，通過對分解后的數據進行預測，最終實現對原始GDP數據的預測，GDPF=GDP_SAF×GDP_SFF，所以同樣需要我們對季節調整后的數據GDP_SA進行建模。

（1）模型的平穩性檢驗及處理

同理，我們對GDP_SA序列進行單位根檢驗，判定該序列是平穩序列，它的自相關圖和偏自相關圖如圖2所示。

（2）模式識別

由自相關圖和偏自相關圖可知，偏自相關系數僅在第一階顯著不為0，所以p=1或者p=2，序列的自相關系數直到滯后3階后才降為0，所以MA的過程應該為低階，所以q=1或者q=2。我們嘗試建立以下模型ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1），經過分析，三個模型的殘差均為白噪聲，通過檢驗[10]。同理，我們將三個模型的三個指標作比較，如表5所示。

同理，ARMA（2，1）的調整R2最大，且AIC和SC最小，所以我們選擇ARMA（2，1）模型，去除掉參數不顯著的自變量后，模型的估計結果如下：

（1-0.2514L）（1+0.7235L）GDP+_SA=（1+0.8871L）εt

（3）模型的預測

同理，2016年第二季度到2016年第四季度的季節調整因子分別為1.196 497 371、0.846 273 118、1.175 143 048。我們將GDP_SA的預測值記為GDP_SAF，結果如表6所示。

根據以上的預測數據，對GDP的最終值進行預測GDPF=

GDP_SAF×GDP_SFF，結果如表7所示。

從上述的預測結果可以看出，在預測GDP的過程中，X12-ARIMA加法模型比乘法模型預測的相對誤差較小，由此可見，X12-ARIMA加法模型的預測效果更好。

（三）SARIMA模型

由于原始時間序列存在一定的時間趨勢和季節趨勢，為了消除趨勢，使其變為平穩的時間序列，我們選擇對原始數據進行一階差分和一次步長為4的季節差分，得到新的序列DDGDP[11]。由ADF檢驗結果可以得到T統計量為-5.57小于1%的臨界水平-2.74，且p值小于0.05，即拒絕原單位根假設，所以，我們可以判定該序列是平穩的[12]。

1.模型的建立

為了找到合適的ARIMA（p，d，q）（P，D，Q）4模型的階數，需要繪制DDGDP的自相關圖和偏自相關圖，繪制結果如圖3所示。

因為原時間序列經過一階自然對數差分，消除了時間趨勢，經過一次步長為4的季節性差分消除了季節趨勢，所以d=1，D=1，下面我們要確定p，q，P，Q的取值，由自相關和偏自相關圖我們可以嘗試建立ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4，ARIMA（0，1，1）（1，1，1）4，經過分析，兩個模型的殘差均為白噪聲，通過檢驗，最優指標比較圖如表8所示。

比較AIC和SC最小和調整R2最大的模型，通過比較表8，最終我們選擇模型ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4。最終，我們得到模型的估計結果為：

（1-0.854 2L）（1-L）（1-L4）GDPt=（1+0.607 5L）（1+6220）εt

2.模型的預測

利用ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4模型，實現了對湖州市小吳興區2016年第二季度到第四季度的生產總值的預測，預測結果如表9所示。

三、結論

本文利用多種時間序列預測方法，如Holt-Winters，X12-ARIMA，SARIMA等方法，對湖州市小吳興區從2011年第一季度到2016年第一季度的生產總值進行分析、建模和預測，得到了2016年第三季度到第四季度的預測值。通過比較表1、表4、表7和表9的相對誤差，我們發現X12-ARIMA加法模型和SARIMA模型的預測結果都不錯，其中，SARIMA方法預測精度最高，相對誤差最小，能較好地反映真實情況，所以我們選擇利用ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4模型對湖州市小吳興區2017年的季度GDP數據進行預測。預測結果如表10所示。

結果表明，湖州市小吳興區的GDP在未來的一段時間內將呈現持續增長的趨勢，但增長速度回落到20%左右，與2011—2014年相比，經濟的增長速度有明顯的放緩，這與我國整體經濟增速放緩和經濟的周期性有關。此結果對于經濟宏觀調控具有理論和現實的意義。endprint