債券定價(jià)中的幾個(gè)常見(jiàn)疑問(wèn)及教學(xué)探索

駱桂娣　徐珺

【摘 要】債券定價(jià)是金融資產(chǎn)定價(jià)中的基本問(wèn)題。債券定價(jià)原理看似簡(jiǎn)單，但一旦深究就會(huì)發(fā)現(xiàn)諸多問(wèn)題。比如貼現(xiàn)率如何確定，現(xiàn)金流是否確定等，初學(xué)者往往困惑不解。該文從債券定價(jià)基本公式出發(fā)，針對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的4個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致分析，并分享了教學(xué)探索經(jīng)驗(yàn)，為有效提高教學(xué)質(zhì)量提供思路。

【關(guān)鍵詞】債券定價(jià)；現(xiàn)金流；利率；違約

0 引言

債券定價(jià)問(wèn)題金融學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的基本內(nèi)容，在《利息理論》、《固定收益證券》等課程中均有涉及。其基本思想是把債券的當(dāng)前價(jià)值看成未來(lái)現(xiàn)金流現(xiàn)值之和。盡管定價(jià)思想容易理解，并不意味著定價(jià)方法容易掌握。學(xué)生對(duì)貼現(xiàn)利率的多種解釋，未來(lái)現(xiàn)金流是否確定等都容易產(chǎn)生疑問(wèn)。有些疑問(wèn)并未在教材中深入探討，學(xué)生往往深感困惑。如何發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，深入淺出地給學(xué)生解疑釋惑非常重要。馬馳（2011），郗群（2015）， 吳蘭芬（2015）等均對(duì)此做過(guò)有益的探討。本文將深入分析債券定價(jià)中的疑點(diǎn)難點(diǎn)問(wèn)題，分享教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，供讀者討論。

1 債券定價(jià)中的4個(gè)疑問(wèn)及思考

基于貨幣的時(shí)間價(jià)值，債券在當(dāng)前時(shí)刻的理論價(jià)值等于債券未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值之和。學(xué)生在計(jì)算未來(lái)現(xiàn)金流現(xiàn)值的時(shí)候通常會(huì)遇到諸多疑問(wèn)。下面結(jié)合債券定價(jià)基本公式進(jìn)行探討。假設(shè)某債券面值為F，它當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值是P。該債券每年付息一次，下次付息在1年后，息票率為r，即每期債券持有人可以獲得利息rF。該債券n年后到期，到期償還值為Cn。該債券的現(xiàn)金流如圖1所示：

假設(shè)到期收益率為y，那么

該公式被稱之為債券定價(jià)基本公式。公式中等式左邊P是債券持有人現(xiàn)金流出量現(xiàn)值，等式右邊是債券持有人現(xiàn)金流出量的現(xiàn)值。顯然，債券價(jià)格P是關(guān)于y的函數(shù)。對(duì)P關(guān)于y求導(dǎo)可知一階導(dǎo)函數(shù)小于0而二階導(dǎo)函數(shù)大于0。換句話說(shuō)，P是關(guān)于y的凸的減函數(shù)。學(xué)生往往對(duì)如下問(wèn)題感覺(jué)十分困惑。

疑問(wèn)1 有時(shí)教材將y稱為“市場(chǎng)利率”，該如何理解？

實(shí)際上，市場(chǎng)上存在許多類型的債券，每種債券都有各自的風(fēng)險(xiǎn)和未來(lái)現(xiàn)金流。債券的風(fēng)險(xiǎn)主要包括利率風(fēng)險(xiǎn)，信用風(fēng)險(xiǎn)，流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等。一般而言，債券本身的風(fēng)險(xiǎn)越高，債券持有者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越高，隨之獲得的回報(bào)也應(yīng)當(dāng)越高。相同風(fēng)險(xiǎn)和相同未來(lái)現(xiàn)金流的債券應(yīng)當(dāng)具有相同的價(jià)格。因此，利用公式（1）對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)債券定價(jià)時(shí)所使用的y較大，而對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)債券定價(jià)時(shí)所使用的y較小。y實(shí)際上反映了債券持有人所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的大小。當(dāng)然，y除了受到債券自身風(fēng)險(xiǎn)的影響以外，還要受到供求關(guān)系、稅收政策等諸多因素其他因素影響。在完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)假設(shè)下，每個(gè)債券一級(jí)市場(chǎng)的發(fā)行者或者二級(jí)市場(chǎng)的出售者都是市場(chǎng)價(jià)格的接受者，而不是決定者。因此，公式（1）中的y是具有與該債券相同風(fēng)險(xiǎn)和相同未來(lái)現(xiàn)金流的債券的平均收益率，它是由市場(chǎng)決定的，故稱為“市場(chǎng)利率”。此時(shí)，用市場(chǎng)利率y計(jì)算出來(lái)的價(jià)格P就是該債券的理論上的市場(chǎng)價(jià)格，將在例1中給出進(jìn)一步解釋。

疑問(wèn)2 有些教材上稱y是“投資者所要求的回報(bào)率”，該如何理解？

眾所周知，不同的投資者可能經(jīng)營(yíng)目標(biāo)、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，或者融資成本有所不同，因此在他們投資債券時(shí)所要求的回報(bào)率不同。比如，保守的投資者所要求的回報(bào)率可能是4%，而激進(jìn)的投資者所要求的回報(bào)率可能是10%。再比如投資者A的融資成本是年利率4%，他愿意投資回報(bào)率為4%以上的債券；而投資者B的融資成本是7%，他要求的投資回報(bào)率應(yīng)該在7%以上。當(dāng)公式（1）中y是“投資者所要求的回報(bào)率”時(shí)，那么計(jì)算出來(lái)的價(jià)格P就是該債券在此投資者心目中的價(jià)值。由于P關(guān)于y遞減，故投資者所要求的回報(bào)率y越高，則該債券在此投資者心目中的價(jià)值越低，他越不愿意出高價(jià)購(gòu)買(mǎi)。反之，投資者所要求的回報(bào)率越低，則該債券在此投資者心目中的價(jià)值越高，他越愿意出較高價(jià)格購(gòu)買(mǎi)。從而，同一張債券在不同的投資者心目中的價(jià)值可能不同，這也是債券交易促成的一種解釋。下面用具體的例子說(shuō)明以上問(wèn)題。

例1：某債券面值為F=1000，該債券每年付息一次，息票率為r=6%，下次付息在1年后。該債券3年后到期，到期償還值為面值。請(qǐng)根據(jù)公式（1）回答如下問(wèn)題：

（1）如果市場(chǎng)利率y=6%，請(qǐng)估計(jì)該債券的當(dāng)前理論價(jià)格。

（2）如果投資者A所要求的必要回報(bào)率為y=5%，那么他愿意為購(gòu)買(mǎi)該債券最多支付多少錢(qián)？

（3）如果投資者B所要求的必要報(bào)酬率為y=8%，那么他愿意為購(gòu)買(mǎi)該債券最多支付多少錢(qián)？

【解】：（1）如果市場(chǎng)利率y=6%，則該債券的市場(chǎng)理論價(jià)為：

（2）如果投資者A所要求的必要回報(bào)率為y=5%，則該債券在投資者A心目中的價(jià)值為：

故投資者A最多愿意支付102.72元購(gòu)買(mǎi)該債券。

（3）如果投資者B所要求的必要報(bào)酬率為y=8%，則該債券在投資者B心目中的價(jià)值為：

故投資者B最多愿意支付94.85元購(gòu)買(mǎi)該債券。另外，如果該債券的真實(shí)市場(chǎng)價(jià)等于市場(chǎng)理論價(jià)100元，那么投資者A愿意購(gòu)買(mǎi)，因?yàn)樗J(rèn)為該債券價(jià)值應(yīng)當(dāng)是102.72元；而投資者B愿意以100元拋售該債券，因?yàn)樵贐的心目中該債券只值94.85元。

疑問(wèn)3： 公式（1）中的y是債券持有人在n年內(nèi)的年平均收益率嗎？

在前面兩個(gè)問(wèn)題中已經(jīng)說(shuō)明了y可以理解成市場(chǎng)收益率或者投資者所要求的必要報(bào)酬率。那么y是否就是投資者在n年內(nèi)的年平均回報(bào)率呢？ 不妨對(duì)公式（1）兩邊同時(shí)乘以（1+y）n，可以得到：

P（1+y）=rF（1+y）n-1+…+rF（1+y）+rF+Cn………（2）

公式（2）的等號(hào)左邊表示P按照利率y復(fù)利n年的累積值，等號(hào)右邊表示債券持有人將所有的債券利息都按照年利率y復(fù)利累積到n時(shí)刻。由此可見(jiàn)，債券持有人要想在n年內(nèi)的年平均收益率剛好是y，那就需要在市場(chǎng)上尋找其他投資機(jī)會(huì)，將每期獲得的債券利息進(jìn)行再投資，并且再投資利率也恰好是y，否則論斷不成立。比如每期獲得的債券利息不作再投資，那么到n年末的總財(cái)富應(yīng)當(dāng)是 nrF+Cn，顯然小于公式（2）中的右式。此時(shí)計(jì)算出來(lái)的n年內(nèi)年平均回報(bào)率一定小于y。反之，如果每期債券利息按照某個(gè)大于y的利率進(jìn)行再投資，那么n年內(nèi)年平均回報(bào)率一定大于y。為使問(wèn)題更加直觀，下面舉例說(shuō)明。endprint

例2：某債券面值為F=1000，該債券每年付息一次，息票率為r=6%，市場(chǎng)利率y=5%，下次付息在1年后。該債券3年后到期，到期償還值為面值。請(qǐng)回答如下問(wèn)題：

（1）如果每期債券利息按照5%的年利率進(jìn)行再投資，那么3年內(nèi)債券持有人的年平均收益率是多少？

（2）如果每期債券利息按照3%的年利率進(jìn)行再投資，那么3年內(nèi)債券持有人的年平均收益率是多少？

（3）如果每期債券利息按照8%的年利率進(jìn)行再投資，那么3年內(nèi)債券持有人的年平均收益率是多少？

解：（1）因?yàn)樵搨⒌陌凑誽=5%進(jìn)行再投資，根據(jù)公式（2）可知該債券3年內(nèi)年平均收益率恰好是5%。

（2）由題意可知，每期債券利息是60元。到第3年年末債券持有人的總財(cái)富是 60（1+3%）2+60（1+3%）+60+1000=1185.45元，由例1知該債券價(jià)格是1027.20元。如果記年平均回報(bào)率為x，那么

1027.20（1+x）3=1185.45

計(jì)算可知，x=4.89%，它小于y=5%。

（3）類似與（2），記年平均回報(bào)率為z，那么

1027.20（1+z）3=60（1+7%）2+60（1+7%）+60（1+7%）+60+1000

可解得z=5.11%，它大于y=5%。

疑問(wèn)4 考慮違約可能性時(shí)應(yīng)如何對(duì)債券進(jìn)行定價(jià)？

任何一種債券都有一定的違約可能性，信用風(fēng)險(xiǎn)始終存在。一旦發(fā)生違約，債券發(fā)行者就可能按照發(fā)行條款按約還本付息。換句話說(shuō)，由于信用風(fēng)險(xiǎn)的存在，債券未來(lái)的現(xiàn)金流不是固定的而是存在一定的隨機(jī)性，這種不確定性給定價(jià)帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn)。嚴(yán)格地來(lái)講，應(yīng)該對(duì)債券未來(lái)隨機(jī)現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)求出隨機(jī)價(jià)格，然后再求期望值獲得該債券的理論價(jià)值。為了便于讀者和學(xué)生理解，圖2給出考慮違約可能性的債券現(xiàn)金流示意圖。圖2中τ表示債券違約發(fā)生時(shí)刻，它是一個(gè)隨機(jī)變量；[τ]表示對(duì)τ取整，它是數(shù)軸上離τ最近且比τ小的正整數(shù)；T=[τ]∧n表示債券違約時(shí)刻τ取整值與到期時(shí)間n中較小的那一個(gè)數(shù)，它是最后一次正常支付利息rF的時(shí)刻； Cτ∧n表示τ∧n時(shí)刻的償還值，它通常小于面值F。顯然，τ≥n意味著債券在到期日之前沒(méi)有違約，此時(shí)τ∧n=n，圖2退化成圖1形式；τ

類似公式（1），定價(jià)原理是當(dāng)前債券價(jià)格P應(yīng)當(dāng)是未來(lái)現(xiàn)金流的貼現(xiàn)。但是，由于隨機(jī)的違約事件，未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值也是一個(gè)隨機(jī)變量，所以應(yīng)當(dāng)對(duì)未來(lái)隨機(jī)現(xiàn)金流現(xiàn)值求期望。所以，相應(yīng)的定價(jià)公式應(yīng)當(dāng)是：

P=E…………………（3）

公式（2）涉及到違約時(shí)刻、違約時(shí)償還值等隨機(jī)變量，這些數(shù)值需要借助歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)、模擬。顯然，公式（2）的計(jì)算十分復(fù)雜，在本科階段一般不采用這種隨機(jī)定價(jià)的方法，而是采用基本公式（1）中較為簡(jiǎn)單的方式進(jìn)行定價(jià)。該公式的思路是先假定未來(lái)現(xiàn)金流固定即不考慮違約的可能性，而是采用利率y來(lái)反映包括信用風(fēng)險(xiǎn)在內(nèi)的各種風(fēng)險(xiǎn)。可以把目標(biāo)債券的收益率y用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率y0表示出來(lái)，即y=y0+δ，這里δ≥0被稱之為利差，它反映了該債券的信用風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)、提前贖回風(fēng)險(xiǎn)、稅收待遇等，它是對(duì)債券持有人承擔(dān)這些風(fēng)險(xiǎn)的一種補(bǔ)償。風(fēng)險(xiǎn)越高δ越大，從而導(dǎo)致債券理論價(jià)格P越小，那么債券持有人就可以用較為便宜的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)該債券，同時(shí)也承擔(dān)了較高的風(fēng)險(xiǎn)。公式（1）使債券定價(jià)問(wèn)題得到大大簡(jiǎn)化，更為復(fù)雜的定價(jià)方法要留待研究生階段學(xué)習(xí)。盡管公式（2）的具體計(jì)算對(duì)學(xué)生不作要求，但是它的定價(jià)思想可以向?qū)W生介紹。從作者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，它能夠起到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的作用。

2 相關(guān)教學(xué)探索

能否分析債券定價(jià)中的實(shí)際問(wèn)題是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握程度的重要標(biāo)準(zhǔn)。在債券定價(jià)理論教授完畢之后可結(jié)合我國(guó)債券市場(chǎng)實(shí)務(wù)進(jìn)行探索性教學(xué)，實(shí)質(zhì)性提高學(xué)生分析實(shí)際金融問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

（1）分析我國(guó)債券發(fā)行情況。要求學(xué)生搜集資料，分組梳理我國(guó)政府債、金融債、企業(yè)債等發(fā)行歷史，討論各自的發(fā)行特點(diǎn)、是否附息、常見(jiàn)條款，銷售方式等。讓學(xué)生全面了解我國(guó)各類債券的發(fā)行情況。

（2）構(gòu)建我國(guó)債券收益率曲線。對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，要求每組學(xué)生搜集一段時(shí)間窗口內(nèi)不同種類的信息，包括到期時(shí)間、付息情況、到期時(shí)間等，匯集成表格。然后根據(jù)公式（1）計(jì)算不同種類債券的到期收益率，并構(gòu)建收益率曲線。具體包括中債國(guó)債曲線，中債地方政府債曲線、中債城投債曲線、中債商業(yè)銀行債券曲線等。要求每組學(xué)生代表在課堂上展示債券收益率計(jì)算細(xì)節(jié)，并將自己計(jì)算出的結(jié)果與中國(guó)債券信息網(wǎng)所公布的曲線圖對(duì)比差異，查找原因。

（3）分析近年來(lái)我國(guó)債券違約情況。要求學(xué)生搜集整理近年來(lái)我國(guó)債券違約情況，制作統(tǒng)計(jì)圖表。要求學(xué)生追蹤熱點(diǎn)債券違約事件，重點(diǎn)分析這些債券的違約原因。具體工作包括：債券發(fā)行時(shí)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)級(jí)；債券發(fā)行時(shí)的價(jià)格和收益率；債券發(fā)行人在違約前的經(jīng)營(yíng)情況；違約前的市場(chǎng)價(jià)格和收益率波動(dòng)情況；違約損失程度；違約發(fā)生后的處置方案及產(chǎn)生的影響等。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]吳蘭芬.用實(shí)際利率法計(jì)量金融資產(chǎn)的教學(xué)方案研究[J].職業(yè)，2015（6）.