淺談函數的連續、可導、可微的關系

楊美香　陳向陽

【摘 要】函數的連續、可導、可微的關系是高等數學中微分學的重難點，準確把握三者的關系是學好微分學的關鍵，本文就函數的連續、可導、可微的關系進行歸納整理，有利于更準確地理解函數的連續、可導、可微的關系。

【關鍵詞】函數；連續；可導；可微

0 引言

函數的連續、可導、可微的關系是高等數學中微分學的重難點，準確把握三者的關系是學好微分學的關鍵，而這正是學生在學習過程中難以理解易于混淆的重要知識點，本文具體就函數的連續、可導、可微的關系進行歸納整理，對準確有效的理解連續、可導、可微的關系起到重要的作用，讓高等數學的學習者對此理解得更透徹。

1 一元函數的連續、可導、可微的關系

1.1 可導必連續，連續不一定可導

定理1 若函數y=f（x）在點x處可導，則函數y=f（x）在該點處必連續；反之，不成立。

證明：因=f'（x），由函數極限與無窮小的關系得=f'（x）+α，其中α=0于是Δy=[f'（x）·Δx+α·Δx]=0，因此，函數y=f（x）在該點處必連續。

但反之，連續未必可導。

例如函數f（x）=|x|在點x=0處連續，但極限==不存在，即函數f（x）=|x|在點x=0不可導。

1.2 可導必可微，可微必可導，即可導與可微等價

定理2若函數y=f（x）在點x處可導，則函數y=f（x）在該點處必可微；反之也成立。

證明：由于函數y=f（x）在點x處可導，有=f'（x），由函數極限與無窮小的關系得=f'（x）+α，其中α=0，于是Δy=f'（x）·Δx+α·Δx，=α=0，即α·Δx=o（Δx），由可微的定義知，函數在點x處可微。

反之，若函數y=f（x）在點處可微，即Δy=A·Δx+o（Δx），得==A，即函數在點x處可導。即一元函數中可導與可微等價。

3 二元函數及二元以上函數的連續、可導（偏導數存在）、可微的關系

3.1 可導（偏導數存在）未必連續，連續未必可導（偏導數存在）

例1函數f（x，y）=x+y≠0 0 x+y=0在點（0，0）處對x，y的偏導數都存在，但在該點函數不連續。

解：fx（0，0）==0=0 f（0，0）=

但f（x，y）==，即極限f（x，y）不存在

因此，函數在點（0，0）處不連續，即多元函數中偏導數存在，但函數不連續。

例2函數f（x，y）=在點（0，0）處連續，但在該點函數的偏導數不存在。

解：由于f（x，y）==0=f（0，0），故函數在點（0，0）處連續；但因=，=，極限都不存在，即函數連續但偏導數不存在

3.2 可導（偏導數存在）未必可微，但可微必可導（偏導數存在）

例3函數f（x，y）=x+y≠0 0 x+y=0在點（0，0）處偏導數存在但不可微[1]。

解：fx（0，0）==0=0，同理，fy（0，0）=0，但=≠0，即在該點不可微。

定理3如果函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，則該函數在點（x，y）的偏導數，必定存在，且函數z=f（x，y）在點（x，y）的全微分微為dz=dx+dy[1]。即可微必可導

3.3 可導（偏導數存在）且偏導數連續必可微

定理4如果函數z=f（x，y）的偏導數，在點（x，y）連續，則函數在該點可微分[1]。

4 結論

一元函數可導必連續，連續未必可導；可導與可微等價。對于多元函數，可導未必連續，連續未必可導；可微必可導，可導未必可微；偏導數連續則必可微。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編高等數學（上、下冊）[M].高等教育出版社，2014.

[2]滕勇，付連魁，黃江.高等數學（上、下冊）[M].東北大學出版社，2006.endprint