金屬梯度多孔夾芯板振動特性分析

肖登寶， 趙桂平

西安交通大學 航天航空學院 機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049

金屬梯度多孔夾芯板振動特性分析

肖登寶， 趙桂平*

西安交通大學 航天航空學院 機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049

金屬梯度多孔材料芯層的胞孔壁厚度及半徑沿芯層厚度方向逐漸變化，使得芯層的材料參數如密度和彈性模量等逐漸變化；采用金屬梯度多孔材料代替傳統均質多孔芯層會影響夾芯板的振動特性。基于高階夾芯板理論且考慮梯度多孔芯層密度和彈性模量的耦合影響，建立了復合材料面層-金屬梯度多孔夾芯板的振動方程。分析了3種密度的梯度芯層：單向分布、正梯度對稱分布和負梯度對稱分布對夾芯板固有頻率的影響；最后討論了3種梯度夾芯板在相同三角脈沖載荷作用下的振動響應。計算結果表明梯度芯層密度對稱分布的夾芯板固有頻率大于單向分布的夾芯板固有頻率。

金屬梯度多孔材料； 夾芯板； 高階板理論； 振動特性； 脈沖載荷

復合材料夾芯結構的面層通常由高密度、高剛度的各向異性薄板組成，芯層由輕質均勻多孔材料或梯度多孔材料組成。面層承受切向載荷和彎矩，芯層承受橫向剪切和垂直載荷。由于力學性能優越，復合材料夾芯結構已經廣泛應用于飛機和高超聲速飛行器。

近年來，國內外學者對梯度材料進行了許多研究。梯度材料可分為兩種類型：功能梯度材料和梯度多孔材料。功能梯度材料通過改變各組分材料沿厚度方向的含量分布,使得材料在空間位置上呈現梯度變化,從而獲得沿厚度方向逐漸變化的力學性能。目前對功能梯度芯層夾芯結構的振動特性研究已有許多成果[1-4]。在這些研究中，功能梯度材料芯層密度和彈性模量沿厚度方向的分布通常采用指數或冪函數描述，且二者之間相互獨立。梯度多孔材料一般是孔壁厚度或孔徑沿厚度方向逐漸變化，使得芯層的材料參數如密度和彈性模量等也沿厚度方向逐漸變化。Gibson和Ashby[5]基于相關實驗數據分析并構建正方體模型模擬閉孔泡沫材料的受力性能，認為多孔材料的密度和彈性模量不是相互獨立的。因而繼續采用分析功能梯度材料的方法描述梯度多孔材料的密度和彈性模量分布是不可行的。Ashby[6]通過對理論模型的推導，給出了一個二次項函數來描述密度和彈性模量之間的耦合關系。但是在Ashby給出的公式中有需要根據研究者經驗取值的參量，這制約著該公式的進一步應用。謝蘭生等[7]采用十四面體結構模型(Kelvin結構模型[8-9])研究了泡沫金屬彈性常數與其基體材料性能之間的關系。王嵩和盧子興[10]采用Voronoi分析了泡沫材料相對密度對彈性性能的影響。Xiao等[11]通過對Gibson和Ashby[5]理論模型和實驗數據的深入分析，給出了一個描述金屬多孔材料彈性模量和密度之間耦合關系的多項式函數，并且進一步將該公式發展用來描述金屬梯度多孔材料彈性模量分布與密度分布函數之間的耦合關系。

梯度多孔芯層材料對夾芯結構振動特性的影響，目前較少有學者做過分析。Rahmani等[12]給出了一個適用于梯度多孔芯層夾芯結構的高階理論，在該模型中梯度芯層的密度是常量，彈性模量隨厚度方向逐漸變化。Liu等[13]采用一階剪切變形理論和高階位移場理論來分別描述面板和梯度芯層的變形，建立了梯度芯層夾芯板的振動模型。在該模型中，密度和彈性模量是相互獨立的。Xiao等[11]采用高階夾芯板理論，獲得了梯度多孔芯層夾芯板的振動方程，該模型中密度和彈性模量相互耦合；同時分析了密度線性分布的梯度多孔芯層夾芯板固有頻率的特性。研究結果表明考慮芯層密度和彈性模量耦合的夾芯板固有頻率隨梯度范圍的增加而降低，這與考慮芯層密度和彈性模量相互獨立的夾芯板固有頻率特性相反。因此在分析梯度多孔芯層夾芯板振動特性時必須考慮芯層密度和彈性模量的相互耦合。目前對于梯度多孔芯層密度非線性分布的夾芯板振動特性研究還較少，需要進一步深入研究。

本文給出了適用于梯度多孔夾芯板的振動方程，重點分析了3種金屬梯度多孔芯層(單向分布、正梯度對稱分布和負梯度對稱分布)對夾芯板固有頻率的影響。同時也討論了這3種金屬梯度多孔夾芯板受到相同沖擊載荷作用時的振動響應，并比較研究了它們的變化特點，為梯度多孔夾芯板的設計提供理論依據。

1 金屬梯度多孔夾芯板振動方程的建立

應用在飛機副翼上的夾芯結構，其沿翼展方向的幾何尺寸遠大于其他兩個方向尺寸，為簡化計算，可以將其等效為平面應變問題處理，如圖1所示。圖1所示的3種梯度多孔芯層分別是單向分布、正梯度對稱分布和負梯度對稱分布。其中正梯度對稱分布型是指芯層密度分布關于x軸對稱，同時密度由芯層中心面向其上下面逐漸增加；負梯度對稱分布則反之。

圖1 金屬梯度多孔芯層夾芯板示意圖Fig.1 Schematic diagram of sandwich panel with gradient metallic cellular core

在模型中tt和tb分別表示上下面層厚度,tc表示芯層厚度，夾芯板的長度為l。模型基本假設：① 復合材料面層很薄剛度很大，承受切向載荷和彎矩，遵循Kirchhoff假設；② 金屬泡沫芯層剛度較弱，承受橫向正應力和剪切應力，具有橫向壓縮和剪切特性；③ 不考慮金屬泡沫夾芯結構的缺陷，認為面層和芯層理想粘接。采用與厚度方向有關的2級冪級數描述芯層沿x的位移；采用與厚度方向有關的1級冪級數描述芯層沿z方向的位移。模型滿足芯層和面層交界處位移連續條件。

上面層的位移場表示為

(1)

下面層的位移場表示為

(2)

中間芯層的非線性高階位移場表示為[14]

(3)

(4)

將式(1)～式(4)代入哈密爾頓方程中：

(5)

式中：δT為動能的變分形式；δU為應變能的變分形式；δW為虛功的變分形式。相比z方向動能，整個結構x方向的動能可以忽略，因此δT可寫為

(6)

應變能變分δU可表達為

(7)

(8)

(9)

式中：質量矩陣各個元素詳細附錄參見文獻[11]。

2 金屬梯度多孔芯層的密度和彈性模量的耦合關系

金屬梯度多孔芯層密度分布分為3種：單向分布、正梯度對稱分布和負梯度對稱分布。分布函數分別為

(10a)

(10b)

(10c)

表1 梯度多孔芯層下面層的密度Table 1 Mass density of bottom face on gradient cellular core

圖2 金屬梯度多孔芯層密度沿厚度方向的分布 Fig.2 Mass density distribution of gradient metallic cellular core varies along thickness direction

金屬梯度多孔芯層取梯度泡沫鋁，其彈性模量和密度的耦合關系為[11]

(11)

將式(10)和式(11)代入振動方程式(9)即可得到適用于分析金屬梯度多孔芯層夾芯板的振動方程。面層的材料參數為

3 芯層密度梯度變化對夾芯板振動特性的影響

3.1 振動方程可靠性驗證

通過對比本文振動方程和ABAQUS軟件計算的梯度泡沫夾芯板固有頻率和相應振型，從而驗證本文理論模型的可靠性。取梯度泡沫芯層的密度分布函數為式(10a),n=1，證明本文理論模型的可信性可靠性。夾芯板的固有頻率詳細附錄參見文獻[11]，前2階振型如表2所示。通過振型對比可以看出本文理論模型計算的振型和ABAQUS計算的振型一致。

表2梯度夾芯板理論和ABAQUS計算的前2階振型對比

Table2ComparisonofthefirstsecondmodeshapescomputedusinggradientsandwichtheoryandABAQUS

OrderModeshapePredictedusingpresentmodelComputedu?singABAQUS12

3.2 芯層密度梯度變化對夾芯板固有頻率的影響

金屬梯度多孔芯層夾芯板第1、2階固有頻率隨芯層密度梯度指數的變化如圖3所示;金屬梯度多孔芯層夾芯板的第1、2階固有頻率如表3所示。

圖3 金屬梯度多孔夾芯板第1、2階固有頻率隨梯度指數的變化Fig.3 Fundamental and second frequencies of sandwich panels vary with gradient index n

表3 金屬梯度多孔芯層夾芯板第1、2階固有頻率Table 3 Fundamental and second frequencies of sandwich panels with gradient metallic cellular core

Note: @ represents relative error, i.e., (Maximum value of frequency-Minimum value of frequency)/Maximum value of frequenc×100%

從圖3(a)中可以看到單向分布梯度夾芯板的第1、2階固有頻率隨梯度指數的增加而降低；圖3(b)正梯度對稱分布夾芯板第1、2階固有頻率隨梯度指數的變化近似線性變化；圖3(c)中負梯度對稱分布夾芯板的第1、2階固有頻率隨梯度指數的增加而降低。

從表3中可以看出：在本文給出的n值范圍內，芯層密度梯度對稱分布的夾芯板固有頻率明顯大于單向分布的夾芯板固有頻率。另外，對單向分布梯度夾芯板，不同的梯度指數分布情況下第1階固有頻率的最大值和最小值的相對差值為25.8%，由此可見改變單向分布的梯度指數對單向分布金屬梯度多孔芯層夾芯板固有頻率有較大的影響。但是，負梯度對稱分布夾芯板的第1階固有頻率最大值和最小值之間的相對差值僅為0.04%，說明負梯度對稱分布梯度夾芯板固有頻率受梯度分布變化的影響非常小。

3.3 脈沖激勵下芯層密度梯度變化對夾芯板最大撓度的影響

對兩端固支夾芯板上面層施加均布的三角脈沖載荷, 其表達式為

(12)

從圖4(b)可以看出單向梯度芯層夾芯板的最大撓度隨梯度指數的增加而增加，同時撓度衰減速度隨梯度指數的增加而降低。

從圖5中可以看出當梯度指數n<1時，負梯度對稱分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值；當梯度指數n>1時，正梯度對稱分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值。因此，夾芯板芯層的梯度模式和梯度指數對其振動的最大撓度有較大影響，在工程應用中要根據實際需要選擇合適的梯度模式和梯度指數。

圖4 單向金屬梯度多孔夾芯板的振動特性Fig.4 Vibration response of sandwich panels with unidirectional distribution cellular core

圖5 3種梯度多孔芯層夾芯板的最大撓度Fig.5 Maximum deflections of sandwich panels with three gradient metallic cellular cores

4 結 論

針對金屬梯度多孔夾芯板，采用高階夾芯板理論同時考慮金屬梯度多孔芯層彈性模量和密度的耦合作用得到金屬梯度多孔芯層夾芯板的振動方程。在此基礎上分析了金屬梯度多孔芯層密度單向分布、正梯度對稱分布、負梯度對稱分布對夾芯板固有頻率特性和振動響應的影響。結論如下：

1) 梯度指數變化對單向分布夾芯板固有頻率影響最大，負梯度對稱分布夾芯板固有頻率受梯度分布變化的影響最小。另外在本文給出的密度梯度n值范圍內，梯度芯層密度對稱分布的夾芯板固有頻率大于單向分布的夾芯板固有頻率。

2) 當梯度指數n<1時，負梯度對稱分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值；當著梯度指數n>1時，正梯度對稱分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值。

本文結果為金屬梯度多孔夾芯結構的設計提供了理論依據，可供工程應用參考。

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(責任編輯： 徐曉)

Vibration response of sandwich panels with gradient metalliccellular core

XIAODengbao,ZHAOGuiping*

StateKeyLaboratoryforStrengthandVibrationofMechanicalStructures,SchoolofAerospace,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049,China

The gradient metallic cellular material has gradient pore structures from one surface of the material to the other one resulting in varying material properties，such as mass density and elastic modulus. The vibration response of sandwich panels may be influenced when the traditional homogeneous cellular core is replaced by gradient metallic cellular core. Based on the high-order plate theory and considering the coupling effect between the density and the elastic module of gradient metallic cellular materials, the vibration equation for the sandwich panel with composite face sheet and gradient metallic cellular core is developed. The influence of three gradient types of cores (unidirectional distribution, positive gradient symmetrical distribution and negative gradient symmetrical distribution) on the natural frequency of sandwich panels is discussed. The vibration responses of sandwich panels with three gradient metallic cellular cores under the same impulsive loading are discussed.

gradient metallic cellular material; sandwich panel; high-order plate theory; vibration response; impulse load

2016-06-30；Revised2016-09-05；Accepted2016-12-27；Publishedonline2017-02-171322

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1322.008.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(11372237)

2016-06-30；退修日期2016-09-05；錄用日期2016-12-27； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-02-171322

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1322.008.html

國家自然科學基金 (11372237)

*

.E-mailzhaogp@mail.xjtu.edu.cn

肖登寶， 趙桂平. 金屬梯度多孔夾芯板振動特性分析J. 航空學報,2017,38(6):220576.XIAODB,ZHAOGP.VibrationresponseofsandwichpanelswithgradientmetalliccellularcoreJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):220576.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.220576

V214.8; O327

A

1000-6893(2017)06-220576-08

*Correspondingauthor.E-mailzhaogp@mail.xjtu.edu.cn