基于能量最優的敏捷遙感衛星在軌任務規劃

趙琳， 王碩， 郝勇， 劉源

哈爾濱工程大學 自動化學院， 哈爾濱 150001

基于能量最優的敏捷遙感衛星在軌任務規劃

趙琳， 王碩， 郝勇*， 劉源

哈爾濱工程大學 自動化學院， 哈爾濱 150001

針對敏捷遙感衛星對多個離散觀測點在軌自主任務規劃問題，在考慮姿態運動方程耦合性的基礎上，將問題分解為空間資源調度問題和連續最優控制問題，進而提出了一種結合偽譜法和遺傳算法的混合求解算法。該算法針對基于行商問題(TSP)模型建立的空間資源調度問題模型，選用二維編碼結構對觀測順序和相對觀測時間進行實數編碼，并采用遺傳算法求解觀測序列和觀測時間；針對判斷觀測時間可行性時涉及的時間最優控制問題、以及姿態轉移過程中涉及的最小能量消耗問題，將其歸結為連續最優控制問題，并基于Gauss偽譜協態變量映射定理，采用Gauss偽譜法進行求解。通過與基于單純遺傳算法的規劃算法進行對比試驗，本文所提出的基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略針對目標問題，在典型工況下姿態轉移過程中能量消耗降低60%。

行商問題(TSP)； 能量消耗； 時間最優； 遺傳算法； Gauss偽譜法

相比于傳統的成像衛星，敏捷遙感衛星具有姿態快速機動的能力[1]。基于敏捷遙感衛星的敏捷快速機動能力，敏捷遙感衛星具有更大的觀測范圍和更強的觀測能力。目前成像衛星的運動多是在管控模式下完成的，管控模式是指地面控制系統根據任務需求對衛星的運動狀態進行規劃并向衛星發射控制指令，但是由于信道占用、通信延遲、時間窗口等限制因素，衛星無法在短時間內對動態的觀測任務需求做出響應，因此，針對敏捷遙感衛星敏捷機動的特點，傳統的管控模式不能充分發揮敏捷遙感衛星的觀測效能。因此為了解決上述問題，基于觀測任務需求和衛星自身資源能力的敏捷遙感衛星在軌自主規劃是十分必要的[2-4]。

針對敏捷遙感衛星對地觀測任務規劃問題，Gabrel等[5-6]提出了圖論問題模型,將任務規劃問題表示成一個加權有向無環圖G，并將G的路徑作為問題的解，但是對于區域觀測或立體觀測等復雜約束則無法在該模型中體現；Vasquez和Hao[7]提出背包問題模型，以簡單的形式表示任務規劃問題的約束，但是該模型不適用于多星任務規劃問題；Bensana等[8]提出線性整數規劃模型，該模型可以描述所有線性約束，但是不能有效處理非線性約束，且其求解效率隨著問題規模的增加而降低；Lemaitre 等[9]提出約束滿足問題模型，能有效地處理線性和非線性約束，增強問題描述的完整性，但是該模型的求解效率低；Verfaillie等[10]提出序貫決策模型，采用決策理論處理問題中的不確定因素，但是模型復雜度隨著問題約束的增加而增加；賀仁杰[11]提出了具有時間約束的并行機制調度問題模型，將問題中的衛星和觀測任務分別映射為機器和工件，并將觀測任務的總收益作為調度目標?；谏鲜瞿Ｐ?，在對對地觀測任務規劃問題進行求解中，Lemaitre等[9]采用動態規劃算法對衛星對地觀測任務規劃問題進行求解，但是當問題規模較大時，其求解時間過長；Xhafa[12]和Wolfe[13]等采用遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)對問題進行求解并與優先級調度構造算法進行比較，結果表明遺傳算法可以大幅度地提高問題求解速度；Cordeau[14]、陳英武[15]和Sarkheyli[16]等采用禁忌搜索算法對問題進行求解，其中，文獻[15-16]在采用禁忌算法的同時也考慮了轉移時間約束；Wu等[17]采用模擬退火算法將任務目標均假設為點目標，進而對問題進行求解；賀仁杰等[4,11]采用禁忌與列生相結合算法，增強任務規劃問題的魯棒性。

目前，由于衛星上燃料資源的限制，基于能量最優的敏捷遙感衛星在軌自主規劃成為研究熱點。能量最優問題實質是最優控制問題，針對最優控制問題，劉富鈺[18]和Kusuda[19]等根據遺傳算法等智能算法對問題進行求解，但是智能算法求出的最優解具有隨機性，和真正最優解之間存在誤差；張秋華等[20]基于龐德里亞金極小值原理將最優控制問題轉換為一個Hamilton邊值問題(Hamilton Boundary Value Problem, HBVP)，但是利用該算法推導一階最優條件與橫截條件過程繁瑣，且對未知條件的初值難以準確估計；文獻[21-26]采用偽譜法對最優控制問題進行求解。文獻[18,24-25]根據固定時間姿態機動的任務需求，以姿態機動消耗能量最小為優化指標，只考慮了固定起止時間、固定起止姿態一次姿態機動的能量最優控制，因此上述3類最優控制問題的求解方法，對于基于能量最優的敏捷遙感衛星在軌自主規劃問題的求解存在局限性。

針對上述局限性，本文基于行商問題(Travelling Salesman Problem, TSP)模型建立了多觀測點在軌自主任務規劃問題的數學模型，在考慮姿態運動學方程耦合性的基礎上，將問題分解為空間資源調度問題和連續最優控制問題，并提出了基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略。針對任務層面的空間資源調度問題，采用遺傳算法求解；針對規劃層面的連續最優控制問題采用Gauss偽譜法求解，進而使得單顆敏捷遙感衛星在固定觀測時間區域內實現對多個地面靜止離散觀測點的完全觀測，并且在整個完全觀測過程中衛星姿態機動所消耗的能量最小。

1 敏捷遙感衛星任務規劃問題描述

1.1 衛星姿態機動的運動方程

1) 基于修正的羅德里格斯參數(Modified Rodrigues Parameters, MRP)的運動方程

衛星姿態動力學方程[27]為

(1)

(2)

采用MRP表示衛星運動姿態為σ，則衛星的非線性運動學方程[28]為

(3)

(4)

式中：I3為3×3的單位矩陣。

2) 基于MRP的誤差運動方程

σe和ωe分別表示衛星的姿態誤差、角速度誤差，誤差動力學方程和誤差運動學方程分別為

(5)

(6)

(7)

1.2 能量最優的多觀測點在軌自主任務規劃描述

基于能量最優的單顆敏捷遙感衛星對地面多離散觀測點進行在軌自主任務規劃滿足以下幾點假設：

1) 衛星運行軌道固定。

2) 地面觀測點為離散靜止觀測點。

3) 完成觀測任務的時間區間和起始時間固定。

多觀測點任務規劃是軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對多個地面靜止觀測點實現完全觀測的空間資源調度優化問題，其實質是TSP。

TSP的一般性描述為[29]：已知n個城市和n個城市間的距離，一位旅行商要找到一條能夠訪問所有n個城市，且除第一個被訪問的城市外其余每個城市只被訪問一次，最終回到第一個城市的路線，并使得該路線的長度最短，或表述為在有n個結點的完全圖中找出最短的Hamilton回路。

基于能量最優的單顆敏捷遙感衛星對地面多觀測點進行在軌自主任務規劃問題描述為：已知n個地面靜止觀測點，單顆敏捷遙感衛星從規定的起始時間開始以星載相機視軸指向星下點的初始姿態在固定的時間區域內完成對n個地面靜止觀測點的完全觀測，且每個地面靜止觀測點僅被觀測一次，并最終回歸星載相機視軸指向星下點的姿態，使得該姿態轉移過程中敏捷遙感衛星所消耗的能量最低。

1.3 能量最優的多觀測點在軌自主任務規劃模型

根據1.2節中能量最優的多觀測點在軌自主任務規劃描述，基于能量最優的多觀測點在軌自主任務規劃問題與TSP的映射關系如下：

1) 觀測姿態對應TSP中的城市

軌道信息、任務順序序列中第i個地面靜止觀測點信息及其對應的觀測時間點共同決定了衛星觀測任務順序序列中第i個觀測點的姿態，因此衛星觀測任務順序序列中第i個地面靜止觀測點的姿態可以表示成軌道、地面靜止觀測點、時間的函數，表達式為

aηi=φ(o,Oηi,Tηi)

(8)

式中：ηi為任務順序序列的第i個任務；o表示軌道信息；Oηi表示任務順序序列中第i個地面靜止觀測點信息；Tηi表示衛星觀測任務順序序列中第i個觀測點的時間點；aηi表示衛星觀測任務順序序列中第i個觀測點的姿態。

由于軌道在完全觀測過程中始終固定，即軌道信息為定值，因此姿態函數可以表示為觀測點信息和時間的函數，式(8)可以簡化為

aηi=φ(Oηi,Tηi)

(9)

當軌道信息、地面靜止觀測點及其對應的觀測時間點確定時，衛星對應的觀測姿態確定，確定的觀測姿態a對應TSP中的城市c。映射關系為

a→c

(10)

2) 姿態間機動能耗對應城市間距離

衛星從一個觀測姿態到另一個觀測姿態機動時所消耗的能量對應城市間距離，映射關系為

E(aηi-1,aηi)→d(cγi-1,cγi)

(11)

(12)

式中：E(aηi-1,aηi)為衛星從觀測任務順序序列中第i-1個觀測點的姿態機動到觀測任務順序序列中第i個觀測點的姿態所消耗的能量；C=[c1c2…cn](i=1,2,…,n)為TSP中的所有城市；γi為訪問城市序列的第i個城市；d(cγi-1,cγi)為城市cγi-1到城市cγi的距離。

將式(9)代入式(11)可得

E(φ(Oηi-1,Tηi-1),φ(Oηi,Tηi))→d(cγi-1,cγi)

(13)

基于上述映射關系，基于能量最優的單顆敏捷遙感衛星對地面多個離散觀測點進行在軌自主任務規劃的數學模型具體描述如下。

求得一個最優任務順序序列和時間序列，分別表示為R=[η1η2…ηn]和T=[Tη1Tη2…

Tηn]，滿足如下目標函數：

φ(Oηi,Tηi))+E(as,φ(Oη1,Tη1))+

E(φ(Oηn,Tηn),at)

(14)

s.t.

Ts

(15)

TtTe

(16)

式中：as為衛星在起始時間星載相機視軸指向星下點的初始姿態；E(as,φ(Oη1,Tη1))為衛星從規定的起始時間開始以星載相機視軸指向星下點的初始姿態機動到衛星觀測任務順序序列中第一個地面靜止觀測點對應的姿態所消耗的能量；Tt為衛星實現對多地面觀測點完全觀測的結束時刻；at為衛星在Tt時刻星載相機視軸指向星下點的終止姿態；E(φ(Oηn,Tηn),at)為衛星觀測任務順序序列中最后一個地面靜止觀測點對應的姿態機動到星載相機視軸指向星下點的終止姿態所消耗的能量；Ts為固定時間區域的起始時間；Te為固定時間區域的終止時間。

TSP是NP(Non-deterministic Polynomial)問題，本文涉及的多觀測點在軌自主規劃問題同樣也屬于NP問題。TSP在求解過程中只涉及訪問順序，若設置需要訪問的城市數目為n，則所有訪問順序的組合數為(n-1)!/2，其對應的找到最優解的時間復雜度的數量級為O(n!)。而對于多觀測點在軌自主任務規劃問題，根據其目標函數式(14)，可知其求解過程既包括觀測順序又包括觀測時間。若設置需要觀測的目標數目為n，則所有訪問順序的組合數為(n-1)!/2，所有觀測時間的組合為(n-1)!/2，則其對應的找到最優解的時間復雜度的數量級為O((n!)2)，可以看出其求得最優解的時間復雜度是傳統TSP的n!倍，其求解難度成平方型增長。

2 基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略

針對第1節提出的基于能量最優的多觀測點在軌自主任務規劃的數學模型，其目標函數是關于時間的函數，因此，軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對多個地面靜止觀測點實現完全觀測的空間資源調度優化問題是一個具有時間依賴性的調度問題。問題的求解不但與地面靜止觀測點的觀測順序有關，也依賴于各個地面靜止觀測點的觀測時間，同時需要保證敏捷遙感衛星觀測任務順序序列中相鄰兩地面靜止觀測點對應的觀測姿態間機動所消耗的能量最小，增加了TSP求解復雜性。文獻[4,9,11-17]采用智能算法對任務規劃問題進行求解時，對于轉換時間約束的處理過于工程化，其轉移時間的計算只是考慮了轉移姿態與轉移平均角速度的線性比，沒有考慮衛星實際運行過程中角加速度呈上升和下降趨勢分布的實際機理，不能保證轉換時間是最優的，進而導致任務規劃結果不一定是最優的，因此，為增強任務規劃結果的合理性，在處理轉換時間約束時，考慮衛星從一個觀測姿態機動到另一個觀測姿態所需要的最小轉移時間，進而為觀測地面靜止觀測點的觀測時間點提供更大的選擇空間。

綜合問題模型的復雜性和轉換時間約束計算的合理性，傳統的單一智能求解方法已經不能滿足該問題的復雜需求，因此，針對該問題的上述特點本文提出了基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略，其求解思路如圖1所示。

圖1 混合求解策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of hybrid solution strategy

2.1 遺傳算法設計

1) 編碼方式設計

編碼即為解的表現型空間到基因型空間的映射，解碼即為解的基因型空間到表現型空間的映射。

敏捷遙感衛星對多個地面靜止觀測點的觀測順序和敏捷遙感衛星實現完全觀測過程中姿態機動所消耗的能量，是基于能量最優的軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對多個地面靜止觀測點實現完全觀測的空間資源調度優化問題的解。

根據式(13)敏捷遙感衛星姿態機動所耗能量可以表示為地面靜止觀測點信息和觀測時間的函數，而地面靜止觀測點的選擇與敏捷遙感衛星的觀測順序有關，進而敏捷遙感衛星姿態機動所耗能量這一表現型可以映射為敏捷遙感衛星的觀測順序和觀測時間這兩個基因型。

對每一個地面靜止觀測點，在不同的任務順序序列中所處的位置不同，若對其對應的觀測時間直接編碼，每次經過交叉算子后，將產生大量觀測順序和觀測時間相悖的不可行解，降低種群多樣性，甚至一次迭代后沒有可行解，為解決這一問題，本文采用相對觀測時間代替絕對觀測時間作為基因型進行編碼。表現型到基因型的映射關系如圖2所示。

根據上述映射關系，本文基于觀測順序和相對觀測時間這兩個基因型對問題的解進行編碼。若采用一維編碼結構對含有兩個基因型的解進行編碼必然會導致相當數量的信息丟失，因此，本文基于實數編碼方式選用二維編碼結構對上述兩個基因型進行編碼，染色體結構如圖3所示。圖中：ΔTηi為任務順序序列中第i個觀測點相對第i-1個觀測點的相對觀測時間，當i=1時，ΔTη1為第1個觀測點相對衛星初始觀測時刻的相對觀測時間。

圖2 表現型和基因型的映射關系Fig.2 Mapping relationship of phenotype and genotype

圖3 染色體結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of chromosome structure

2) 初始種群生成

設種群大小為N，種群中的每一條染色體代表問題的一個解，根據編碼方式，隨機生成一條染色體，并判斷染色體對應的基因型作為問題的解的可行性，直到生成種群大小的滿足可行性的染色體。

染色體觀測順序可行性檢驗準則為：任務順序序列中的基因位由1-n范圍內的整數隨機、無重復排列。

染色體相對觀測時間可行性檢驗準則為：根據式(15)，每一條染色體的相對觀測時間序列需要滿足

Ts

(17)

且敏捷遙感衛星觀測任務順序序列中第i個觀測點相對第i-1個觀測點的相對觀測時間需要大于或等于衛星觀測任務順序序列中第i-1個觀測點對應的姿態機動到衛星觀測第i個觀測點對應的姿態所需要的最小轉移時間，具體可表示為

min ΔTtrans ηi-1,ηi≤ΔTηi

(18)

生成初始種群的步驟為

步驟1隨機生成任務順序序列。

步驟2判斷任務順序序列可行性，若不可行返回步驟1，若可行執行步驟3。

步驟3隨機生成相對觀測時間序列。

步驟4判斷相對觀測時間可行性，若不可行返回步驟3，若可行執行步驟5。

步驟5將可行的任務順序序列和相對觀測時間序列作為滿足可行性的染色體放入種群中，執行步驟6。

步驟6計算當前種群大小m，并判斷m與N的關系，若m=N則執行步驟7，若m

步驟7初始種群生成結束。

3) 適應度函數建立

適應度函數是遺傳算法收斂性和穩定性的重要影響因素。由于敏捷遙感衛星的燃料有限，因此姿態機動過程中能量消耗是調度問題尋優的重要影響因素。本文根據單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對多地面靜止觀測點實現完全觀測所消耗的能量，即式(14)建立適應度函數為

F0=1/f(R,T)

(19)

式中：F0為單個染色體的適應度函數值，F0越大，則染色體的能耗函數f(R,T)值越小，衛星在整個調度過程中能量消耗最小，該染色體的性能越好，其適應度越大。

4) 遺傳算子設計

本文設計了3個遺傳算子，分別是選擇算子、交叉算子、變異算子。

選擇算子采用精英保留策略和輪盤賭算法。該方法保留每一代種群中染色體適應度函數值最高的，即適應度函數值最高的染色體一定會被選擇，保證優秀個體的基因可以遺傳到下一代；并根據每個染色體的適應度函數值，計算該染色體在整個種群中被選中的概率和累計概率，其表示為

(20)

(21)

式中：Pi為第i個染色體被選中的概率；Qi為第1個染色體到第i個染色體的累計概率。產生一個均勻分布的隨機數r∈(0,1)，滿足Qi-1

針對TSP具有排列性質的編碼方式，交叉算子采用部分匹配交叉算法。該方法隨機選擇兩個位置點，這兩點之間的基因位作為匹配基因片段，采用位置交換操作交換這兩段匹配基因片段的內容，交換匹配基因片段后，若匹配基因片段區域外出現訪問重復，則按照匹配基因片段區域內對應的位置映射關系逐一進行交換，直至整條染色體無重復排列，如圖4所示。

圖4 部分匹配交叉算子Fig.4 Partially matched crossover operators

針對TSP具有排列性質的編碼方式，變異算子采用對換變異算法。該方法簡單地隨機選擇兩個位置并交換其內容，如圖5所示。

當運算經過上述針對具有排列性質的編碼方式設計的交叉算子和變異算子后，需要分別對交叉和變異后得到的新的染色體的相對觀測時間的可行性進行檢驗，其步驟為

步驟1根據新染色體的相對觀測時間序列和任務順序序列，計算任務順序序列中每一個觀測點的絕對觀測時間，并根據式(15)判斷觀測序列中最后一個觀測點ηn的絕對觀測時間Tηn是否滿足條件Tηn

圖5 點位變異算子Fig.5 Points mutation operator

步驟2根據任務順序序列和序列中每一個觀測點的絕對觀測時間，計算序列中每一個觀測點的觀測姿態，并采用Gauss偽譜法計算兩個相鄰姿態間的最小轉移時間，并根據式(18)判斷其是否滿足要求，若滿足執行步驟5，若不滿足執行步驟4。

步驟3重新進行交叉算子或變異算子運算，執行步驟1，若交叉算子或變異算子執行10次后仍沒有可行解，則將父代個體作為新的染色體，執行步驟5。

步驟4當不滿足式(18)的相對觀測時間的個數為1個時，則將該基因位的相對觀測時間置換為該基因位父代的相對觀測時間，并判斷其可行性，若可行執行步驟5，若不可行執行步驟3。當不滿足式(18)的相對時間的個數大于或等于2個時，按照掃描交換法交換不滿足條件的相對觀測時間在相對觀測時間序列中的位置，如圖6所示。將不可行的相對觀測時間從新染色體相對觀測時間序列中剔除，并將剔除的不可行相對觀測時間加入其他不可行相對觀測時間基因位的候選集合中。按照不可行相對觀測時間基因位在相對觀測時間序列中位置的前后順序，對該基因位候選集中剩余的相對觀測時間候選方案進行隨機選取，并判斷其可行性。若可行，剔除其后位置中不可行基因位的相對觀測時間候選集中與該基因位相同的相對觀測時間，然后在其后位置的不可行基因位候選集中進行隨機掃描工作，直至新的相對觀測時間序列生成，執行步驟5；若不可行，則在該基因位剩余的候選方案中重新進行隨機掃描操作，直至挑選到滿足條件的方案，執行步驟5。若觀測方案候選集都不符合，則執行步驟3。

圖6 掃描交換相對觀測時間Fig.6 Exchanging relative observation time by scanning

步驟5輸出經過交叉算子或變異算子后新的染色體序列，作為新種群的個體。

2.2 基于Gauss偽譜法的最小轉移時間生成

針對轉換時間約束的處理，傳統的處理方法過于工程化，其計算結果較真值存在一定的誤差且不具有最優性，本文考慮姿態運動方程耦合性和轉移姿態角加速度的呈上升和下降趨勢分布的實際機理，采用Gauss偽譜法替代傳統的線性方法計算敏捷遙感衛星最小轉移時間。敏捷遙感衛星最小轉移時間問題，即為敏捷遙感衛星從任務順序序列中的第i-1個觀測點對應的姿態機動到衛星觀測第i個觀測點對應的姿態所需要的最小轉移時間，是一個時間最優控制問題，即衛星從一個姿態躍遷到另一個姿態的過程中滿足時間最優性要求，其轉移過程如圖7所示，圖中Sat代表衛星。

敏捷遙感衛星時間最優控制問題可以描述為多約束條件下的連續最優控制問題。連續最優控制問題的一般性描述見文獻[30]，在此不再贅述。敏捷遙感衛星時間最優控制問題與連續最優控制問題的映射如下：

圖7 衛星姿態機動示意圖Fig.7 Schematic diagram of satellite attitude maneuver

1) 系統方程

相比于傳統的初始狀態、終止狀態、初始時刻固定、終止時刻不固定的衛星時間最優控制問題[30],本文涉及的衛星時間最優控制問題的初始狀態、初始時刻固定，終止時刻、終止狀態不固定，是關于時間的函數，其表達式為

xf=ψ(tf)

(22)

式中：xf為終止狀態；tf為終止時刻。

傳統的選用絕對運動方程作為系統方程的方法針對終止狀態不固定的時間最優控制問題已經不再適用。為解決上述問題本文選取基于MRP的誤差運動方程式(5)、式(6)作為系統方程，進而將問題轉化為初始狀態為衛星在初始時刻觀測第i-1個觀測點相對衛星在初始時刻觀測第i個觀測點的相對姿態，終止狀態為零、初始時刻固定、終止時刻不固定的衛星時間最優姿態機動問題。則系統的狀態變量為

(23)

2) 約束條件

x(t0)=x0

(24)

x(tf)=[0 0 0 0 0 0]T

(25)

(26)

(27)

式中：x0為衛星在t0時刻觀測任務順序序列中的第i-1個觀測點對應的姿態相對t0時刻衛星觀測任務順序序列中的第i個觀測點對應的姿態的初始誤差姿態，t0為定值；x(tf)為衛星在tf時刻的終止誤差姿態，tf不是定值；umax為敏捷遙感衛星所配置的執行機構所能提供的最大力矩；ωmax為敏捷遙感衛星機動過程中最大角速度。式(24)、式(25)為邊界條件，式(26)、式(27)為路徑約束。

3) 性能指標

性能指標Jc的表達式為

(28)

針對具有強耦合性和強非線性系統方程的衛星時間最優控制問題，其解析解是無法求得的。目前求解含有約束條件的最優控制問題的數值解的主要方法包括直接法和間接法。間接法求解最優控制問題主要是基于龐德里亞金極小值原理和變分原理，將最優控制問題轉換為一個Hamilton邊值問題，進而求得最優控制問題的數值解，但是利用該算法推導一階最優必要條件與橫截條件的過程較為繁瑣，且對未知條件的初值和不具有實際物理意義的協態變量的初值難以準確估計，因此，通過間接法求解最優控制問題的數值解十分困難。直接法求解最優控制問題的數值解時不需要求解問題的一階最優必要條件,而是采用參數化方法將連續的最優控制問題轉化為離散的非線性規劃(NLP)問題，其收斂域較間接法寬，對初值不敏感。傳統的直接法在求解最優控制問題時其求解精度低、收斂速度慢，而Gauss偽譜法可以彌補上述傳統直接法的不足，近年來在最優控制問題求解中備受關注[21-26,31-35]。

Gauss偽譜法選擇LG(Legendre-Gauss)點作為配點，采用拉格朗日全局插值多項式作為基函數近似狀態變量和控制變量在LG點處的值，采用拉格朗日全局插值多項式對時間的導數作為微分方程中狀態變量對時間的導數的近似，采用Gauss積分作為性能指標中積分項的近似。

通過Gauss偽譜法的轉換可以將連續最優控制問題轉化為離散的NLP問題，通過高斯離散化轉換的NLP問題滿足Benson等[30]提出的高斯偽譜協態變量映射定理：NLP問題的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件與采用Gauss偽譜法離散化方法離散的連續時間最優控制問題的一階最優必要條件是完全等價的。其等價關系如圖8 所示。

圖8 KKT條件與一階最優必要條件等價性示意圖Fig.8 Equivalence schematic of KKT conditions and the first order optimal necessary conditions

上述定理中KKT條件與一階最優必要條件的等價性證明了基于Gauss偽譜法求得的最優控制問題的解與基于間接法求得的最優控制問題的解的一致性，因此，本文采用基于Gauss偽譜法的直接法求解敏捷遙感衛星時間最優控制問題。求解過程如下：

1) 時間域變換

采用LG點作為配點，則需要做時域變換處理，將優化系統的時間區域t∈[t0,tf]轉換為τ∈[-1,1]區間，則時間變量表示為

(29)

2) 基函數選取

選擇τ=-1和K個LG點作為節點，其分別為{τ0,τ1,τ2,…,τK}，采用拉格朗日全局插值多項式作為基函數，其表達式為

(30)

式中：Li為在第i個點處的拉格朗日全局插值多項式。

3) 狀態變量和控制變量近似

基于上述插值近似的基函數，狀態變量和控制變量在整個時域的連續函數可由基函數表達，其表達式為

(31)

(32)

式中：x(τi)為狀態變量在第i個節點的真值，i=0,1,…,K；u(τj)為控制變量在第j個節點的真值，j=1,2,…,K；X(τ)為離散的狀態變量；U(τ)為離散的控制變量。

4) 微分方程近似

通過對狀態變量函數求導逼近的方法，得到微分方程表達式為

(33)

式中：k=1,2,…,K；Dki為微分矩陣D∈RK×(K+1)中第k行、第i列元素，其定義為

(34)

其中：g(τ)為確定區間上第K個點處的插值基函數，與拉格朗日插值基函數式(30)的關系為

(35)

基于LG點，可將微分方程動態約束轉化為代數約束，其表達式為

(36)

式中：F為關于X(τk)、U(τk)和τk的函數。

在選取節點時不包括終端時刻的節點，因此系統的終端狀態變量可以通過高斯積分來近似，其表達式為

(37)

式中：wk為高斯積分權重。

5) 性能指標近似

采用Gauss積分作為性能指標中積分項的近似，則性能指標可以表示為

Jc=h(X(tf),tf)+

(38)

式中：h為關于X(tf)和tf的函數；H為關于X(τk)、U(τk)和τk的函數。

基于LG點，邊界條件G和路徑約束C可以離散為

G(X(t0),t0；X(tf),tf)=0

(39)

C(X(τk),U(τk),τk)≤0

(40)

根據上述變換可以將連續最優控制問題離散化為NLP問題。

本文基于MATLAB，采用求解最優控制問題的開源程序GPOPS-II[36]對敏捷遙感衛星時間最優控制問題進行求解。

2.3 基于Gauss偽譜法的能量最優姿態轉移路徑

敏捷遙感衛星能量最優姿態轉移路徑生成問題即為敏捷遙感衛星從一個觀測姿態機動到另一個觀測姿態所需要的最小能量。

為保證姿態間轉移能量消耗最小，并考慮姿態運動方程的耦合性，敏捷遙感衛星能量最優姿態轉移路徑生成問題同樣可以描述為多約束條件下的連續最優控制問題。映射關系如下：

1) 系統方程

本文涉及的衛星能量最優姿態轉移軌跡生成問題的初始狀態、終止狀態、初始時刻、終止時刻均固定，選用絕對運動方程式(1)、式(3)作為系統方程，取系統的狀態變量為

x=[σTωT]T

(41)

2)約束條件

x(t0)=x0

(42)

x(tf)=xf

(43)

(44)

(45)

式中：tf為定值。式(42)、式(43)為邊界條件，式(44)、式(45)為路徑約束。

3) 性能指標

(46)

敏捷遙感衛星能量最優姿態轉移路徑生成問題求解過程按照2.2節所述，在此不再贅述。

2.4 基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略計算

綜合2.1～2.3節內容，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略計算流程如圖9所示。

圖9 基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略流程圖Fig.9 Flow chart of hybrid solution strategy based on pseudospectral and GA

基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略，在遺傳運算過程中，針對轉移時間約束問題，考慮本文涉及的最優控制問題終止狀態不固定的條件，選擇基于MRP的誤差運動方程，結合誤差運動方程的耦合性和Gauss偽譜法解的最優性，采用Gauss偽譜法代替傳統的線性方法計算兩個相鄰姿態間的最小轉移時間，進而處理轉移時間約束，能夠使兩相鄰姿態間轉移角加速度符合上升和下降趨勢的實際機理，并為衛星觀測地面靜止觀測點的觀測時間提供更大的求解區間。

在對多觀測點在軌自主任務規劃問題的適應度函數求解中，選擇基于MRP的運動方程，同樣考慮運動學方程耦合性和Gauss偽譜法解的最優性，采用Gauss偽譜法對兩個相鄰姿態間的最小能量消耗進行求解。

對于多觀測點在軌自主任務規劃問題，在求解過程中，每一條染色體的表現型不相同，即任務順序序列和絕對觀測時間序列都不相同，且每次迭代后新生成的可行染色體的表現型與其父代個體不同。根據式(9)，任務順序序列和絕對觀測時間序列的不同決定了觀測姿態序列不同，且觀測姿態序列在每次迭代過程中都是高動態變化的，若采用傳統的單一遺傳算法進行求解，對于嵌套了姿態間時間最優控制問題和最小能量消耗問題的多觀測點在軌自主任務規劃問題，其編碼方式較為復雜，且求得的結果精度不一定滿足最優性要求；而采用結合Gauss偽譜法和遺傳算法的混合求解算法，可以通過高斯偽譜協態變量映射定理證明，在觀測姿態序列高動態變化條件下，該算法可以對姿態間時間最優控制問題和姿態間能量最優問題求得最優解，進而降低了對遺傳算法編碼方式的要求，提高了計算精度。

3 仿真驗證與結果分析

3.1 仿真條件與優化結果

1) 仿真參數設置

本文以MATLAB 2014b為實驗平臺，采用CPU為3.40 GHz/i3-3240，內存為4.0 G，操作系統為Windows 7的計算機做優化計算?；谀芰孔顑灥拿艚葸b感衛星對多個離散觀測點在軌自主任務規劃問題的參數設置為：地球半徑為6 378.136 55 km，地球曲率半徑為 1.0/298.257 22，地球引力常數為398 600.44 km3/s2。

敏捷遙感衛星的轉動慣量為[200 0 0;0 200 0;0 0 200] kg·m2,其配置的執行機構所能提供的最大控制力矩為125 N·m，衛星機動過程中所能達到的最大角速度為0.2 rad/s。衛星從一個姿態機動到另一個姿態時的初始和終止角速度和角加速度分別為[0 0 0]Trad/s、[0 0 0]Trad/s2。

采用本文提出的基于偽譜法和遺傳算法混合求解策略，求解第1節所描述的能量最優的多觀測點在軌自主任務規劃問題時，遺傳參數設置為：種群規模為50，迭代次數為100；交叉概率為 0.7，變異概率為0.01。

Raja等[37]以能量最優為目標函數，采用遺傳算法對運動軌跡進行優化。本文基于文獻[37]所提單純遺傳算法方法對第1節所描述的能量最優的多觀測點在軌自主任務規劃問題進行求解，并與本文提出算法的優化結果進行對比。其仿真參數設置為：種群規模為50，迭代次數為5 000；對觀測順序和觀測時間進行交叉和變異操作時，其交叉概率和變異概率分別為0.7和0.01；對姿態路徑規劃時，其交叉概率和變異概率分別為0.8和0.05。

2) 仿真結果

對3個離散靜止觀測點的簡單成像任務進行規劃，初始軌道對應的時刻為2016年4月14日0時0分0秒，初始軌道參數、衛星觀測時間區間、觀測目標參數如表1～表3所示。表1中：a表示軌道半長軸；e表示軌道偏心率；i表示軌道傾角；Ω表示升交點赤徑；W表示近地點幅角；M表示平近點角。

基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的仿真結果如表4、圖10所示。實現軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對3個地面靜止觀測點的完全觀測所消耗能量為14.599 6 N2·m2·s。

表1 簡單任務初始軌道參數Table 1 Initial parameters of orbit for simple misson

表2 簡單任務觀測時間窗Table 2 Time window of observation for simple misson

表3簡單任務觀測目標信息

Table3Informationofobservationtargetforsimplemisson

ObservationtargetLongitude/(°)Latitude/(°)Nanjing119．732Yinchuan106．2738．33Harbin125．744．5

表4基于混合求解策略的簡單任務觀測順序和時間

Table4Sequenceandtimeofobservationbasedonhybridsolutionstrategyforsimplemission

ObservationtargetDateHourMinuteSecondNanjing2016?04?144101．8Yinchuan2016?04?1441156．2Harbin2016?04?1441310．1

圖10 基于混合求解策略的簡單任務姿態機動路徑 Fig.10 Path of attitude maneuver based on hybrid solution strategy for simple misson

基于文獻[37]中所提單純遺傳算法求解得到的仿真結果如表5、圖11所示。實現軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對3個地面靜止觀測點的完全觀測所消耗能量為34.336 8 N2·m2·s。且兩種算法迭代過程如圖12所示。

在其他仿真參數保持不變的前提下，考慮對7個離散靜止觀測點的復雜成像任務進行規劃，其中，初始軌道的時刻為2016年4月14日0時0分0秒，初始軌道參數、觀測時間窗、觀測目標信息如表6～表8所示。

表5基于遺傳算法的簡單任務觀測順序和時間

Table5SequenceandtimeofobservationbasedonGAforsimplemisson

ObservationtargetDateHourMinuteSecondYinchuan2016?04?144949．7Nanjing2016?04?1441142．5Harbin2016?04?1441226．3

圖11 基于遺傳算法的簡單任務姿態機動路徑 Fig.11 Path of attitude maneuver based on GA for simple misson

圖12 簡單任務的兩種算法迭代過程Fig.12 Iterative processes of two algorithms for simple mission

表6 復雜任務初始軌道參數Table 6 Initial parameters of orbit for complex mission

基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的仿真結果如表9、圖13所示。實現軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對7個地面靜止觀測點的完全觀測所消耗能量為21.576 0 N2·m2·s。

基于文獻[37]中所提單純遺傳算法求解得到的仿真結果如表10、圖14所示。實現軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對7個地面靜止觀測點的完全觀測所消耗能量為52.842 2 N2·m2·s。兩種算法迭代過程如圖15所示。

表7 復雜任務觀測時間窗Table 7 Time window of observation for complex mission

表8復雜任務觀測目標信息

Table8Informationofobservationtargetforcomplexmission

ObservationtargetLongitude/(°)Latitude/(°)Harbin125．744．5Shenyang123．3841．8Tianjin117．1239．02Yinchuan106．2738．33Taiyuan112．5337．87Nanjing119．732Wuhan114．3230．52

表9基于混合求解策略的復雜任務觀測順序和時間

Table9Sequenceandtimeofobservationbasedonhybridsolutionstrategyforcomplexmission

ObservationtargetDateHourMinuteSecondWuhan2016?04?144827．93Nanjing2016?04?14494．59Tianjin2016?04?144944．99Shenyang2016?04?1441016．18Taiyuan2016?04?1441141．18Yinchuan2016?04?1441334．12Harbin2016?04?1441455．96

圖13 基于混合求解策略的復雜任務姿態機動路徑 Fig.13 Path of attitude maneuver based on hybrid solution strategy for complex mission

表10基于遺傳算法的復雜任務觀測順序和時間

Table10SequenceandtimeofobservationbasedonGAforcomplexmission

ObservationtargetDateHourMinuteSecondHarbin2016?04?144841．32Shenyang2016?04?1441032．24Yinchuan2016?04?1441221．33Wuhan2016?04?1441325．39Nanjing2016?04?1441348．41Taiyuan2016?04?1441528．32Tianjin2016?04?1441615．23

圖14 基于遺傳算法的復雜任務姿態機動路徑Fig.14 Path of attitude maneuver based on GA for complex mission

3) 能量消耗

針對3個離散靜止觀測點(3個城市)的簡單成像任務規劃問題和7個離散靜止觀測點(7個城市)的復雜成像任務規劃問題，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解算法與單純遺傳算法分別進行了50次測試，計算兩個算法50次仿真輸出結果中的能量值，并做平均值處理，計算結果如圖16 所示。

圖15 復雜任務的兩種算法迭代過程 Fig.15 Iterative processes of two algorithms for complex mission

圖16 兩種算法能量消耗Fig.16 Energy consumption of two algorithms

4) 仿真時間

針對3個離散靜止觀測點的簡單成像任務規劃問題和7個離散靜止觀測點的復雜成像任務規劃問題，采用兩種算法分別進行了50次測試，并得到50次測試的仿真時間見表11和表12所示。

表11 簡單任務仿真時間Table 11 Time of simulation for simple mission

表12 復雜任務仿真時間Table 12 Time of simulation for complex mission

針對3個離散靜止觀測點的成像任務規劃問題，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略求解的平均仿真時間為222.41 s，基于單純遺傳算法求解的平均仿真時間為305.71 s。

針對7個離散靜止觀測點的成像任務規劃問題，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略求解的平均仿真時間為483.06 s，基于單純遺傳算法求解的平均仿真時間為680.56 s。

3.2 結果分析

根據圖10、圖11和圖13、圖14，分別對比兩組算例中兩種優化算法得到的姿態路徑轉移軌跡，其中，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略規劃得到的姿態路徑轉移軌跡明顯較為平滑，避免了單純遺傳算法中編碼點數隨機性造成的求解結果中姿態路徑轉移軌跡抖動的現象，進而降低實現完全觀測姿態轉移所消耗的能量。且根據圖12、圖15和仿真結果，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略實現軌道固定的單顆敏捷遙感衛星在固定時間區域內對多個地面靜止觀測點的完全觀測所消耗能量小于基于遺傳算法的求解策略實現完全觀測所消耗的能量，進一步驗證了上述結論。

進一步對比兩組算例中兩種優化算法得到的姿態路徑轉移軌跡，在偏航軸上兩組仿真曲線差別較大，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略考慮了衛星運動方程的耦合性，當偏航軸的起始和終止姿態相同、起始和終止角速度相同時，偏航軸姿態路徑會發生姿態轉移現象，而在采用單純遺傳算法對姿態轉移路徑進行規劃時，沒有考慮衛星姿態運動方程的耦合性，當偏航軸的起始和終止姿態相同、起始和終止角速度相同時，偏航軸姿態路徑不會有姿態轉移過程。

根據圖12和圖15，從兩個算例中兩種算法迭代過程可以看出，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略的求解過程迭代次數小，優化時間較短；基于單純遺傳算法的求解策略的求解過程迭代次數高，需要幾千次甚至上萬次迭代，其優化時間長，求解效率低。根據表11和表12，通過分別對兩個算例采用兩種算法進行50次測試，得到50次測試仿真時間的平均值可以看出，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略平均仿真時間小于單純遺傳算法的平均仿真時間。通過仿真曲線和仿真結果可以看到，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略優于基于遺傳算法的求解策略，且其求解效率明顯高于基于遺傳算法的求解策略。

根據圖16(a)，對于3個離散靜止觀測點的簡單成像任務進行規劃問題，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的平均能量約為13.349 7 N2·m2·s，采用單純遺傳算法得到的平均能量約為32.976 9 N2·m2·s，采用混合求解策略在姿態轉移過程中能量消耗降低約為60%；根據圖16(b)，對于7個離散靜止觀測點的復雜成像任務規劃問題，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的平均能量約為21.123 3 N2·m2·s，采用單純遺傳算法得到的平均能量約為53.576 0 N2·m2·s，采用混合求解策略在姿態轉移過程中能量消耗降低約為60%。因此，綜合上述兩個算例的仿真結果，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略在姿態轉移過程中能量消耗相對于采用單純遺傳算法的能量消耗降低約為60%。

根據上述仿真結果分析，采用結合Gauss偽譜法和遺傳算法的混合求解算法的優勢如下：

1) 避免了單純遺傳算法中編碼點數隨機性造成的求解結果中姿態路徑轉移軌跡抖動的現象，進而降低實現完全觀測姿態轉移所消耗的能量；

2) 該混合求解策略考慮了衛星運動方程的耦合性，當偏航軸的起始和終止姿態相同、起始和終止角速度相同時，偏航軸姿態路徑會發生姿態轉移現象，更加符合衛星實際的運動特性；

3) 該混合求解策略在每次迭代過程中觀測姿態序列高動態變化條件下，可以對姿態間時間最優控制問題和姿態間能量最優問題求得最優解，避免單純遺傳算法求解嵌套了姿態間時間最優控制問題和姿態間最小能量消耗問題的多觀測點在軌自主任務規劃問題時其編碼方式較為復雜的情況，降低了對遺傳算法編碼方式的要求，提高計算精度以及求解效率。

4 結 論

1) 本文解決了敏捷遙感衛星對多個離散觀測點觀測的在軌自主任務規劃問題。即在固定時間區域內實現對地面多個離散觀測點的完全觀測。

2) 在考慮姿態運動方程耦合性的基礎上，以能量最優為目標函數，將問題分解為任務層面的空間資源調度問題和規劃層面的連續最優控制問題，提出了一種結合偽譜法和遺傳算法的混合求解算法。對任務層選用二維編碼結構對觀測順序和相對觀測時間進行實數編碼，并采用遺傳算法求解觀測序列和觀測時間；對時間最優控制問題、規劃層的最小能量消耗問題這兩個連續最優控制問題，基于Benson提的Gauss偽譜協態變量映射定理，采用Gauss偽譜法進行求解。

3) 與單純遺傳算法的仿真對比實驗驗證了本文算法的高效性。該方法規劃出的姿態路徑轉移曲線更加平滑，有效降低了單純遺傳算法編碼點數隨機性造成的曲線抖動性，進而降低了實現完全觀測姿態轉移所消耗的能量，在典型工況下，經過多次仿真實驗，姿態轉移過程中能量消耗降低約為60%。

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(責任編輯： 張玉， 王嬌)

Energy-optimal in orbit mission planning for agile remotesensing satellites

ZHAOLin,WANGShuo,HAOYong*,LIUYuan

CollegeofAutomation,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China

A new hybrid algorithm combining pseudospectral method and genetic algorithm is presented in this work to solve the in orbit autonomous mission planning problem for the agile remote sensing satellite at multiple discrete observation points. The problem is broken into space resource scheduling problem and continuous optimal control problem based on the coupling of attitude motion equations. This algorithm, according to the space resource scheduling model built based on the travelling salesman problem (TSP) model, encodes the observation sequence and the relative observation time by a two-dimensional real coding structure, and calculates the observation sequence and the observation time by the genetic algorithm. The time optimal control problem in judging the observation time feasibility and the minimal energy consumption in attitude maneuvering are considered as the continuous optimal control problem, which is then solved by Gauss pseudospectral method based on Gauss pseudospectral costate mapping theorem. A comparative simulation test is carried out for the simple genetic algorithm and the proposed algorithm. The simulation results show that the energy consumption obtained by the proposed algorithm is reduced by 60% compared with that obtained by the simple genetic algorithm under typical simulation conditions.

travelling salesman problem (TSP); energy consumption; time optimal; genetic algorithm; Gauss pseudospectral method

2016-07-28；Revised2016-09-07；Accepted2016-11-14；Publishedonline2016-11-211439

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161121.1439.010.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61273081);PostdoctoralScientificResearchDevelopmentalFundofHeilongjiangProvinceofChina(LBH-Q14054);theFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversitiesofChina(HEUCFD1503)

2016-07-28；退修日期2016-09-07；錄用日期2016-11-14； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-11-211439

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161121.1439.010.html

國家自然科學基金 (61273081)； 黑龍江省博士后科研啟動金 (LBH-Q14054)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金 (HEUCFD1503)

*

.E-mailhaoyong@hrbeu.edu.cn

趙琳， 王碩， 郝勇， 等． 基于能量最優的敏捷遙感衛星在軌任務規劃J． 航空學報,2017,38(6):320654.ZHAOL,WANGS,HAOY,etal.Energy-optimalinorbitmissionplanningforagileremotesensingsatellitesJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):320654.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0298

V249.122

A

1000-6893(2017)06-320654-19

*Correspondingauthor.E-mailhaoyong@hrbeu.edu.cn