基于稀疏表示和近似0范數約束的寬帶信號DOA估計

燕學智， 溫艷鑫， 劉國紅， 陳建

吉林大學 通信工程學院， 長春 130022

燕學智， 溫艷鑫， 劉國紅*， 陳建

吉林大學 通信工程學院， 長春 130022

針對寬帶信號的波達方向(DOA)估計問題，在稀疏框架下提出一種近似0范數約束的寬帶信號DOA估計新算法。首先對寬帶信號進行預處理，得到同一參考頻率點下的接收數據，然后對其協方差矩陣元素進行加和平均運算，得到一個低維的觀測向量，并在稀疏框架下進行稀疏表示，最后利用截斷1函數設定權值，構造逼近0范數約束的稀疏重構方法，進而重構信號，獲得寬帶信號的DOA估計。仿真結果表明，相比于傳統的寬帶信號DOA估計算法，所提算法具有更高的分辨率和估計精度。

信號處理； 寬帶信號； 稀疏重構； DOA估計；0范數

近年來，信息技術飛速發展，人們對信息的傳播速度及信息容量的要求也越來越嚴格。寬帶信號因其攜帶信息量大、抗干擾能力強等優點，得到越來越多的重視。作為寬帶通信技術領域的一項重要內容，寬帶信號波達方向(DOA)估計技術已成為陣列信號處理領域的熱點研究問題之一[1-4]。

目前，寬帶信號的高分辨率DOA估計方法主要有兩類：基于非相干信號的處理方法(Incoherent Signals-subspace Method， ISM)[5]和基于相干信號的處理方法(Coherent Signals-subspace Method， CSM)[6]。ISM[5]的主體思想是把寬帶信號分解為不同頻率的若干窄帶信號，然后對每一個窄帶信號進行處理，最后對所有窄帶信號的數據進行融合，得到寬帶信號的DOA估計。該算法處理過程簡單，能較好地處理寬帶非相干信號，但未能綜合利用寬帶信息，計算復雜度較高。Wang和Kaveh在1985年提出了CSM[6]，利用聚焦變換的思想，將不同頻率點下的窄帶數據變換到同一參考頻率點下，消除各窄帶數據之間的相關性，然后運用ISM進行DOA估計。該算法分辨率較高，但在信噪比較低、快拍數有限或信源空間間隔小的情況下估計效果不佳。

陣列接收信號的空域稀疏性為信源的DOA估計問題提供了新思路，即在稀疏重構的框架下估計信源入射角度。近年來，稀疏重構方法已廣泛應用于窄帶DOA估計[7-11]，并已擴展至寬帶信號[12-14]。其中，具有代表性的1-SVD算法[9]是對接收數據進行奇異值分解，得到信號子空間，并利用二階錐歸化求解優化問題。但該算法計算復雜度高，且未綜合考慮寬帶信號各子頻數據的聯合稀疏性，在此基礎上，文獻[12-13]提出了寬帶1-SVD算法的拓展算法，實現了寬帶信號的聯合稀疏重構，降低了計算復雜度，但在重構過程中，所選懲罰函數的約束不公平，對大系數懲罰重于小系數，導致有偏估計，影響估計精度。

1 寬帶信號模型

考慮一個由M個陣元組成的均勻線陣，P個不相關的寬帶信號以不同的方位角θp(p=1,2,…,P)入射到陣列，假設各信源在相同的頻帶區間[fL,fH]上，則第m個陣元的接收數據可表示為

(1)

式中：sp(t)為第p個信源；dm為第m個陣元到參考陣元的距離；c為信號的傳播速度；θp為第p個待估計的信源角度；nm(t)為第m個陣元上均值為零、方差為σ2且與各信源互不相關的噪聲數據。

在時域建立寬帶信號處理模型較為困難，考慮從頻域建立，將觀測時間內的接收數據等分為W個子段，然后對每個子段數據進行K點快速傅里葉變換(FFT)變換，則陣列接收數據可以表示成K個不同中心頻率的窄帶數據，每個窄帶信號的采樣點數為W，即

X(fk)=A(fk,θ)S(fk)+N(fk)k=1,2,…,K

(2)

式中：X(fk)=[X1(fk)X2(fk) …XM(fk)]T，S(fk)=[S1(fk)S2(fk) …SP(fk)]T，fL≤fk≤fH，分別為M×W維和P×W維的矩陣；A(fk,θ)為M×P維的方向矩陣，其表達式為

A(fk,θ)=

[a(fk,θ1)a(fk,θ2) …a(fk,θP)]

其中：A(fk,θ)的列矢量為M×1的導向量，θ=[θ1θ2…θP]。A(fk,θ)中第p個信源的陣列流型為

a(fk,θp)=

[1 e-j2πfkd1sin θp/c… e-j2πfkdM-1sin θp/c]T

由此可見，寬帶信號模型本質上是對陣列接收信號進行頻域采樣，得到對應于不同頻率的一系列窄帶數據。

2 DOA估計

基于相干信號的處理方法，其主要思想是將寬帶數據分解為頻率不同的若干子帶數據，然后把各個頻率點的數據通過聚焦變換，轉換成同一頻率點下的數據，最后運用ISM進行DOA估計。該方法的不足是，在快拍數少、信噪比較低或信源空間間隔較小時，不能準確估計出信源入射角度。而基于稀疏重構的寬帶1-SVD算法及其拓展算法在稀疏重構過程中，所選懲罰函數約束不公平，會導致有偏估計。針對上述問題，本文提出一種新的基于稀疏重構的寬帶信號DOA估計算法，對寬帶數據進行預處理及聚焦變換后，對得到的協方差矩陣元素進行加和平均運算，得到集中噪聲能量的低維觀測向量，在稀疏框架下進行稀疏表示，并利用TLP懲罰函數構建加權系數，增強信號稀疏性，逼近0范數重構信號，獲得更好的估計精度與角度分辨率。

2.1 觀測模型的建立

假設第k個窄帶數據的頻率fk對應的變換矩陣為T(fk)，則通過對X(fk)作聚焦變換，可得到變換后的數據Y(fk)為

Y(fk)=T(fk)X(fk)=

T(fk)A(fk,θ)S(fk)+T(fk)N(fk)=

A(fc,θ)S(fk)+T(fk)N(fk)

(3)

聚焦后相關數據的協方差矩陣為

(4)

式中：

令

則最終可得

Ry=A(fc,θ)RSAH(fc,θ)+RN

(5)

式中：gk為與信噪比成比例的歸一化權值，假設為1；fc為參考頻率。變換矩陣T(fk)應滿足的條件為

k=1,2,…,K

s.t.T(fk)TH(fk)=I

(6)

式(6)的解不唯一，這里，選擇

T(fk)=Q(fc)QH(fk)

(7)

參考頻率點的選取十分關鍵，它的取值應使式(8)的聚焦誤差最?。?/p>

k=1,2,…,K

s.t.T(fk)TH(fk)=I

(8)

使得式(8)聚焦誤差最小的條件為

(9)

(10)

Ry的展開表達式為[15-16]

(11)

式中：

式中：δ(·)為狄拉克函數；Pp為第p個信源的能量；Y=[Y(f1)Y(f2) …Y(fK)]；可以看出，Ry(m1,m2)=Ry(n1,n2)，m1-m2=n1-n2；m1,m2,n1,n2∈[1,M]。這表現了Ry的特殊性，且只在主對角線上包含噪聲能量，從而可以通過加和平均變換得到一個低維的觀測向量，令y為一個(2M-1)×1的向量，其第i(1≤i≤2M-1)個元素為

(12)

y的矩陣形式為

y=B(fc,θ)P+σ2I2M-1

(13)

式中：

B(fc,θ)=[b(fc,θ1)b(fc,θ2) …b(fc,θP)]

b(fc,θp)=[ej2πfcdM-1 sin θp/c… 1 …

e-j2πfcdM-1 sin θp/c]T

P=[P1P2…PP]T

I2M-1為(2M-1)×1的向量，它的第M個元素為1，其他均為0，即新模型只在第M個元素上包含噪聲，達到了集中噪聲能量及降維的目的，提高了重構精度。

2.2 基于稀疏重構的DOA估計

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：W(j-1)=diag(w1,w2,…,wQ)為由TLP懲罰函數構造的加權向量，即

(18)

式中：ε為遠小于1的數；τ為一個閾值。此時，式(17)可寫為

(19)

式(16)～式(19)可以借助凸優化工具包(如SeDuMi[22]，CVX[23])求解。

(20)

式中：Un為Ry的噪聲子空間，對應Ry的M-P個小特征值。

表1 本文所提算法Table 1 The proposed algorithm

3 仿真實驗

考慮一個陣元數為M=8的均勻線陣，假設寬帶非相關入射信號具有相同的中心頻率f0=108Hz和信號帶寬Bw=107Hz，相對帶寬為10%，陣元間距d=c/2fH。通過窄帶疊加法產生寬帶信號模型。噪聲為零均值的高斯過程，與信號具有相同的帶寬且與信號相互獨立，采樣頻率為fs=2fH，信號帶寬被分解為K=8個子帶。先以1° 間隔對-90°～90° 的空間進行粗網格劃分，再在估計出的角度附近作更細化分[24]。

DOA估計的均方根誤差(RMSE)通過200次獨立的蒙特卡羅仿真實驗獲得，其定義為

(21)

實驗1角度分辨率性能分析

考慮兩個空間間隔較小的信源，入射角度分別為15° 和20°，信噪比SNR=10 dB，快拍數L=512，圖1為不同算法的空間譜估計結果，可以看出，所提算法有兩個明顯的譜峰，分別對應仿真條件設定的兩個寬帶信號的入射角度，能準確分辨出兩個信號，角度分辨率較高；而CSM算法估計性能大幅下降，只有一個平緩的譜峰，且譜峰位置偏離信號入射角度，未能準確估計出信源。圖2為入射角度為θ1=-10°，θ2=20°，信噪比SNR=-20 dB時不同算法的空間譜，容易看出，CSM算法譜峰十分平緩，較難準確地分辨信號的入射角度，而所提算法在低信噪比下仍能很好地分辨信號，分辨性能優于其他對比算法。圖3(a)為不同算法的角度分辨率隨SNR的變化關系，入射角度為θ1=10°，θ2=24°，快拍數L=512。圖3(b)為不同算法的角度分辨率隨角度間隔的變化關系，第1個信源的入射角度固定為θ1=-10°，第2個信源的入射角度θ2由-9° 以1° 間隔變化到5°，信噪比SNR=10 dB。每個SNR和角度間隔下均進行200次獨立的蒙特卡羅實驗?？梢钥闯?，當信噪比較低或信源空間間隔較小時，CSM算法角度分辨率較低，分辨性能大幅下降，而所提算法仍能以相對高的分辨概率準確估計出信源DOA信息，具有更高的角度分辨率。

實驗2角度估計精度性能分析

圖1 不同算法的空間譜Fig.1 Space spectrum of different algorithms

圖2 SNR=-20 dB時不同算法的空間譜 Fig.2 Space spectrum of different algorithms (SNR=-20 dB)

圖3 角度分辨率隨SNR和角度間隔的變化Fig.3 Angular resolution along with change of SNR and angle interval

考慮入射角度分別為θ1=-30° 和θ2=20°的兩個寬帶信號，信噪比SNR=10 dB，快拍數L=24，所提算法和CSM算法仿真結果如圖4所示，可以看出，所提算法和CSM算法在少快拍數情況下進行DOA估計，所提算法具有較高的估計精度，而CSM算法空間譜較為平緩，幾乎無法分辨信源入射角度。

圖4 少快拍下不同算法的空間譜 Fig.4 Space spectrum of different algorithms under little snapshots

圖5 RMSE隨信噪比和快拍數的變化 Fig.5 RMSE along with change of SNR and snapshots

圖5(a)為不同算法DOA估計的RMSE隨信噪比的變化關系，采樣點數固定為L=512，信噪比SNR從-10 dB變化到10 dB。圖5(b)為不同算法DOA估計的RMSE隨快拍數的變化關系，信噪比固定為SNR=10 dB，快拍數L從128變化到1 024。每個SNR和快拍均進行200次獨立的蒙特卡羅實驗。可以看出，所提算法的RMSE曲線明顯低于CSM算法及文獻[13]的算法，說明所提算法在相同的信噪比或快拍數條件下，估計性能優于對比算法，具有更高的估計精度及噪聲魯棒性。

4 結 論

針對寬帶信號的DOA估計問題，在稀疏信號重構框架下提出了一種近似0范數約束的寬帶信號DOA估計新算法。

1) 算法的重構計算復雜度與寬帶信號分頻處理時的子頻個數無關，可避免在稀疏重構框架下進行寬帶信號DOA估計時存在的重構計算量大的問題。

3) 與CSM算法相比，所提算法在低信噪比、小樣本或信源空間間隔較小等場合，能夠獲得均方根誤差更小的DOA估計結果，具有更高的角度分辨率和估計精度。

[1] KRIM H, VIBERG M. Two decades of array signal processing research: The parametric approach[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 1996, 13(4): 67-94.

[2] YADAR A K, SANTOSH S. Comparison of different wideband DOA estimation methods[C]//2015 IEEE International Conference on Computational Intelligence and Computing Research(ICCIC). Piscataway, NJ: IEEE Press, 2015: 1-4.

[3] 鄧佳欣, 廖桂生, 楊志偉, 等. 基于虛擬孔徑擴展的子帶信息融合寬帶DOA估計[J]. 系統工程與電子技術, 2016, 38(2): 245-250.

DENG J X, LIAO G S, YANG Z W, et al. Subband information fusion for wideband DOA estimation based on virtual array[J]. System Engineering and Electronics, 2016, 38(2): 245-250 (in Chinese).

[4] 金勇, 黃建國, 張立杰. 寬帶信號近似最大似然方位估計快速算法[J]. 航空學報, 2008, 29(5): 1264-1268.

JIN Y, HUANG J G, ZHANG L J. DOA estimation fast algorithm for wideband sources[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2008, 29(5): 1264-1268 (in Chinese).

[5] WAX M, SHAN T J, KAILATH T. Spatio-temporal spectral analysis by eigenstructure methods[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1984, 32(4): 817-827.

[6] WANG H, KAVEH M. Coherent signal-subspace processing for the detection and estimaton of angles of muliple wide-band sources[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1985, 33(4): 823-831.

[7] CUI W, QIAN T, TIAN J. Enhanced covariances matrix sparse representation method for DOA estimation[J]. Electronics Letters, 2015, 51(16): 1288-1290.

[8] 沈志博, 趙國慶, 董春曦, 等. 基于壓縮感知的頻率和DOA聯合估計算法[J]. 航空學報, 2014, 35(5): 1357-1364.

SHEN Z B, ZHAO G Q, DONG C X, et al. United frequency and DOA estimation algorithm based on compressed sensing[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(5): 1357-1364 (in Chinese).

[9] MALIOUTOV D, CETIN M, WILLSKY A S. A sparse signal reconstruction perspective for source localization with sensor arrays[J]. IEEE Transaction on Signal Processing, 2005, 53(8): 3010-3022.

[10] TIAN Y, SUN X Y, ZHAO S S. Sparse-reconstruction-based direction of arrival, polarisation and power estimation using a cross-dipole array[J]. IET Radar, Sonar & Navigation, 2015, 9(6): 727-731.

[11] HYDER M M, MAHATA K. A robust algorithm for joint sparse recovery[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2009, 16(12): 1091-1094.

[12] LIU Z C, WANG X L, ZHAO G H, et al. Wideband DOA estimation based on sparse representation—An extension of1-SVD in wideband cases[C]//IEEE International Conference on Signal Processing, Communication and Computing (ICSPCC). Piscataway, NJ: IEEE Press, 2013: 1-4.

[13] 趙永紅, 張林讓, 劉楠, 等. 一種新的基于稀疏表示的寬帶信號DOA估計方法[J]. 電子與信息學報, 2015, 37(12): 2935-2940.

ZHAO Y H, ZHANG L R, LIU N, et al. A novel method of DOA estimation for wideband signals based on sparse representation[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2015, 37(12): 2935-2940 (in Chinese).

[14] 劉寅, 吳順君, 吳明宇, 等. 基于空域稀疏性的寬帶DOA估計[J]. 航空學報, 2012, 33(11): 2028-2038.

LIU Y, WU S J, WU M Y, et al. Wideband DOA estimation based on spatial sparseness[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2012, 33(11): 2028-2038 (in Chinese).

[15] TIAN Y, SUN X Y, ZHAO S S. DOA and power estimation using a sparse representation of second-order statistics vector and0-norm approximation[J]. Signal Process, 2014, 105: 98-108.

[16] 田野, 孫曉穎, 秦宇鏑. 基于兩步加權1范數約束的高分辨率波達方向和功率估計[J]. 電子與信息學報, 2014, 36(7): 1637-1641.

TIAN Y, SUN X Y, QIN Y D. High-resolution direction of-arrival and power estimation using two-stage weighted1-norm penalty[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36(7): 1637-1641 (in Chinese).

[17] CANDES E J, TAO T. Decoding by linear programming[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2005, 51(12): 4203-4215.

[18] CANDES E J. The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J]. Comptes Redus Matematique, 2008, 346(9-10): 589-592.

[19] DONOHO D L, ELAD M, TEMLYAKOV V. Stable recovery of sparse overcomplete representation in the presence of noise[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(1): 6-18.

[20] XU X, WEI X, YE Z. DOA estimation based on sparse signal recovery utilizing weighted1-norm penalty[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2012, 19(3): 155-158.

[21] FAN J, LI R. Variable selection via nonconcave penalized likelihood and its oracle properties[J]. Journal of American Statistical Association, 2001, 96(456): 1348-1360.

[22] STURM J. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolox for optimization over svmmetric cones[J]. Optimization Method and Software, 1999, 11(1-4): 625-653.

[23] GRANT M, BOYD S, YE Y. Cvx: Matlab software for disciplined convex programming[EB/OL]. (2008-06-07)[2016-08-26]. http://cvxr.com/cvx.

[24] 陳建, 田野, 孫曉穎. 基于陣列協方差矩陣向量稀疏表示的高分辨波達方向估計[J]. 吉林大學學報: 工學版, 2014, 44(2): 485-489.

CHEN J, TIAN Y, SUN X Y. High resolution direction-of-arrival estimation based on a sparse representation of array covariance matrix column vectors[J]. Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition), 2014, 44(2): 485-489 (in Chinese).

(責任編輯： 蘇磊)

Broadband signal DOA estimation based on sparse representationand0-norm approximation

YANXuezhi,WENYanxin,LIUGuohong*,CHENJian

CollegeofCommunicationEngineering,JilinUniversity,Changchun130022,China

Based on0-norm approximation, an efficient algorithm is proposed to deal with the localization of the broadband signal under the sparse framework. First, by preprocessing broadband signal, the

data under the same frequency is obtained. Then a sum-average operation to array covariance matrix elements of the received data is made in order to get a low dimensional observation vector and the sparse representation of the new model under sparse framework is built. Finally, exploiting truncated1function as the weight coefficients to construct0-norm penalty sparse reconstruction method and then reconstruct the broadband signal to obtain DOA estimation. The simulation results demonstrate that comparing to the traditional broadband signal DOA estimate algorithms, the proposed algorithm is able to provide higher resolution and estimation accuracy.

signal processing; broadband signal; sparse reconstruction; DOA estimation;0-norm

2016-08-26；Revised2016-10-08；Accepted2016-12-12；Publishedonline2016-12-211128

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161221.1128.002.html

s：NationalKeyResearchandDevelopmentProgramofChina(2016YFB1001304)；NationalNaturalScienceFoundationofChina(61171137)

2016-08-26；退修日期2016-10-08；錄用日期2016-12-12； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-12-211128

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161221.1128.002.html

國家重點研發計劃 (2016YFB1001304)； 國家自然科學基金 (61171137)

*

.E-mailliugh10@mails.jlu.edu.cn

燕學智， 溫艷鑫， 劉國紅， 等． 基于稀疏表示和近似0范數約束的寬帶信號DOA估計J． 航空學報,2017,38(6):320705.YANXZ,WENYX,LIUGH,etal.BoardbandsignalDOAestimationbasedonsparserepresentationand0-normapproximationJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):320705.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.320705

V247； TN911.7

A

1000-6893(2017)06-320705-08

*Correspondingauthor.E-mailliugh10@mails.jlu.edu.cn