Sándor平均的Lehmer平均界及其應(yīng)用

錢 偉 茂

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 遠(yuǎn)程教育學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

Sándor平均的Lehmer平均界及其應(yīng)用

錢 偉 茂

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 遠(yuǎn)程教育學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

通過研究發(fā)現(xiàn)了最大值λ和最小值μ,使得雙向不等式Lλ(a,b)0且a≠b成立。其中X(a,b)和Lp(a,b)分別是Sándor平均和p階Lehmer平均。作為應(yīng)用，推導(dǎo)出了幾個涉及雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)的精確不等式。

Sándor平均；p階Lehmer平均；雙向不等式

一、前 言

設(shè)p∈和a,b>0且a≠b，則p階Lehmer平均Lp(a,b)[1]183-200定義為：

(1)

眾所周知，p階Lehmer平均Lp(a,b) 對于固定的a,b>0且a≠b，關(guān)于p∈是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。許多對稱二元平均是p階Lehmer平均的特殊情形。例如：L-1(a,b) =2ab/(a+b)=H(a,b) 是調(diào)和平均，L-1/2(a,b)==G(a,b)是幾何平均，L0(a,b)=(a+b)/2=A(a,b)是算術(shù)平均等。

設(shè)a,b>0且a≠b，P(a,b) =(a-b)/[2arcsin((a-b)/(a+b))]是第一類Seiffert平均，則Sándor平均X(a,b)[2]409-413定義為：

X(a,b)=A(a,b)eG(a,b)/P(a,b) -1

(2)

2014年，Sándor[3]1-9得到了以下不等式：

對所有a,b>0且a≠b成立，其中L(a,b)=(a-b)/(lna-lnb)是對數(shù)平均。

楊鎮(zhèn)杭和周爽爽等[4] [5]證明了雙向不等式：

M1/3

錢偉茂等[6]證明了雙向不等式：

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)

α2A(a,b)+(1-α2)G(a,b)

H[α3a+(1-α3b)+(1-α3a)]

G[α4a+(1-α4b)+(1-α4a)]

本文的主要目的是尋找并證明最大值λ以及最小值μ，使得雙向不等式:

Lλ(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立。

二、主要結(jié)果

定理1 雙向不等式：

Lλ(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立當(dāng)且僅當(dāng)λ≤-1/3且μ≥0。

證明：根據(jù)Lp(a,b)和X(a,b) 是對稱且一階齊次的，不失一般性，假設(shè)a=x>1且b=1。設(shè)p∈，則從(1)式和(2)式可得：

(3)

設(shè)

(4)

簡單計算得：

F(1+)=0

(5)

(6)

其中：

(7)

(8)

其中：

f(x)=3x4p+3+x4p+2-p(2p-1)x3p+4+(2p2+9p+7)x3p+3+(2p2-5p+2)x3p+2

-(2p2+5p+1)x3p+1+px2p+4+(14p+5)x2p+3-(14p+5)x2p+1-px2p

+(2p2+5p+1)xp+3-(2p2-5p+2)xp+2-(2p2+9p+7)xp+1+p(2p-1)xp-x2-3x

(9)

現(xiàn)分四種情形進(jìn)行證明。

情形1：當(dāng)p=-1/3時，則(9)式變成：

(10)

等式(6)-(8)和(10)導(dǎo)致的結(jié)果是函數(shù)F(x)在區(qū)間(1,∞)嚴(yán)格單調(diào)遞增。

所以，可從(3)-(5)式和函數(shù)F(x)的單調(diào)性得到：

X(a,b)>L-1/3(a,b)。

情形2：當(dāng)p>-1/3時，設(shè)x>0和x→0，從(1)式和(2)式協(xié)同Taylor展式給出：

(11)

等式(11)意味著存在充分小的δ1=δ1(p)使得

X(1,1+x)

對所有x∈(0,δ1)成立。

情形3：當(dāng)p=0時，則從(9)式得到：

f(x)=16x(x2-1)>0

(12)

對所有x>1成立。

所以，容易從(3)-(8)和(12)式得到：

X(a,b)

情形4：當(dāng)p<0時，從(1)式和(2)式可得：

(13)

等式(13)意味著存在充分大的X1=X1(p)>1使得

X(x,1)>Lp(x,1)

對所有x∈(X1,+∞)成立。

三、應(yīng) 用

應(yīng)用定理1可得四個涉及雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)的精確不等式。

設(shè)a>b>0和x=arctanh[(a-b)/(a+b)]=(lna-lnb)/2∈(0,+∞)。經(jīng)過簡單計算可得：

(14)

根據(jù)(14)式和定理1可得定理2。

定理2 雙向不等式

對所有x∈(0,+∞)成立,當(dāng)且僅當(dāng)λ≤-1/3且μ≥0。

設(shè)a>b>0和x=arcsin[(a-b)/(a+b)]∈(0,π/2)。容易得到：

(15)

從(15)式和定理1可得定理3。

定理3 雙向不等式

對所有x∈(0,π/2)成立,當(dāng)且僅當(dāng)λ≤-1/3且μ≥0。

設(shè)a>b>0和x=arctan[(a-b)/(a+b)]∈(0,π/4)。經(jīng)過簡單計算得到：

(16)

(17)

從(16)和(17)式協(xié)同定理1可得定理4。

定理4 雙向不等式

對所有x∈(0,π/4)成立當(dāng)且僅當(dāng)λ≤-1/3且μ≥0。

(18)

(19)

根據(jù)(18)式和(19)式協(xié)同定理1得到定理5。

定理5 雙向不等式

[1] LEHMER D H.On the Compounding of Certain Means[J].J.Math.Anal.Appl.,1971(4).

[4] YANG Z H,WU L M,CHU Y M.Sharp Power Mean Bounds for Sándor Mean[J].Abstr.Appl.Anal.2014,Article ID 172867,2014.

[5] ZHOU S S,QIAN W M,CHU Y M,etc.Sharp Power-type Heronian Mean Bounds for the Sándorand Yang Mean[J].J.Ianequal.

Appl.，2015:159,2015.

[6] QIAN W M,CHU Y M,ZHANG X H.Sharp Bounds for Sándor Mean in Terms of Arithmetic,Geometric and Harmonic Means[J].

J.Ianequal.Appl.,2015:221,2015.

SharpLehmerMeanBoundsforSándorMeanwithApplications

QIAN Wei-mao

(School of Distance Education, Huzhou Vocational and Technological College, Huzhou 313000, China )

In the article, the authors find the greatest values λ and the least values μ such that the double inequalitiesLλ(a,b)0 witha≠b.HereX(a,b) andLp(a,b) are the respectively Sándor andp-th Lehmer means.As applications, we present several sharp inequalities involving the hyperbolic, trigonometric and invere trigonometric functions.

Sándor mean;p-th Lehmer mean; double inequalities

2016-12-12

本文系2013年度浙江省自然科學(xué)基金項目“擬雙曲度量和擬共形映射的穩(wěn)定性理論研究”(LY13A010004)，2015年度浙江廣播電視大學(xué)科研課題“Schwab-Borchardt平均及其不等式”(XKT-15G17)的研究成果之一。

錢偉茂(1962-)，男，浙江海寧人，教授，主要從事擬共形映射、特殊函數(shù)和平均值理論研究。

O174.6

A

1672-2388(2017)03-0065-04