關于Neuman-Sándor平均的三個最佳不等式

馬 萍 ， 楊月英

(湖州職業技術學院 機電與汽車工程學院， 浙江 湖州 313000)

關于Neuman-Sándor平均的三個最佳不等式

馬 萍 ， 楊月英

(湖州職業技術學院 機電與汽車工程學院， 浙江 湖州 313000)

給出了Neuman-Sándor平均關于第二類反調和平均與算術平均的最佳不等式，所得結論加強了已知結果。

第二類反調和平均； 算術平均； Neuman-Sándor 平均

一、引 言

對于p∈，a,b>0且a≠b，Neuman-Sándor平均M(a,b)[1]253-266 [2]49-59和p階Lehmer平均Lp(a,b)[3]183-200定義為

(1)

Lp(a,b)=(ap+1+bp+1)/(ap+bp)

(2)

一般地，p階Lehmer平均Lp(a,b)對于p∈和固定的a,b>0且a≠b是連續且嚴格單調遞增的。特別地，L-1(a,b)=H(a,b)=2ab/(a+b)是調和平均，L-1/2(a,b)=G(a,b)=是幾何平均，L0(a,b)=A(a,b)=(a+b)/2是算術平均，L1(a,b)=C(a,b)=(a2+b2)/(a+b)是第一類反調和平均和L2(a,b)=D(a,b)=(a3+b3)/(a2+b2)是第二類反調和平均。設a,b>0且a≠b，則第一類Seiffert平均P(a,b)和第二類Seiffert平均T(a,b)分別定義為

對于上述這些平均有以下不等式：

H(a,b)

(3)

對所有a,b>0且a≠b成立。

近年來，Neuman-Sándor平均得到了深入的研究，數學工作者們從Neuman-Sándor平均M(a,b)發現了許多重要不等式[4] [5] [6] [7]567-577 [8] [9] [10] [11]。Neuman和Sándor[1]253-266 [2]49-59證明了不等式

對所有a,b>0且a≠b時成立。

在文獻[12]637-643中Neuman證明了雙向不等式

Cλ1(a,b)A1-λ1(a,b)

λ2C(a,b)+(1-λ2)A(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立的充要條件是：

在文獻[13]14-16 [14]299-302中作者發現了最佳參數α1,α2,β1,β2∈(0,1)使得雙向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)A(a,b)

對所有a,b>0且a≠b時成立。

楊月英等[15]207-217找到了最大值α1，α2和最小值β1，β2使得雙向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)G(a,b)

對所有a,b>0且a≠b時成立。

在文獻[16]中,錢偉茂等證明了雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立的充要條件是：

從不等式(3)得到如下定理1.1、1.2和1.3。

定理1.1 雙向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)A(a,b)

(4)

定理1.2 雙向不等式

Dα2(a,b)A1-α2(a,b)

(5)

定理1.3 雙向不等式

(6)

二、引 理

為證明定理1.1-1.3，需要以下五個引理。

引理2.1 參見文獻[17]中定理1.25，對于-∞

在(a,b)內也單調遞增(遞減)。當f'(x)/g'(x)是嚴格單調時，那么上式也是嚴格單調的。

引理2.3 函數

(7)

(8)

其中

(9)

從等式(9)得

(10)

對所有n≥0成立。注意到

(11)

所以，容易從引理2.2和(8)～(11)式得到引理2.3。

引理2.4 函數

(12)

證明：設φ1(t)=ln[sinh(t)/t],φ2(t)=ln[1+3sinh2(t)]-ln[1+sinh2(t)]。簡單計算得到

(13)

(14)

其中

(15)

由式(15)得

(16)

對所有n≥0成立。

(17)

所以，容易從引理2.1和等式(13)和(17)協同函數φ'1(x)/φ'2(x)的單調性得到引理2.4。

引理2.5 函數

(18)

(19)

其中

(20)

由式(20)得

<0

(21)

對所有n≥0成立。注意到

(22)

所以，容易從引理2.2和(19)～(22)式得到引理2.5。

三、定理的證明

定理1.1的證明：因為D(a,b),A(a,b)和M(a,b)是對稱和一階齊次的，不失一般性，假設a>b>0。設x=(a-b)/(a+b)，那么x∈(0,1)。則有

(23)

將(4)式變形為

(24)

利用等式(23)，不等式(24)可變形為

(25)

α1<Φ(t)<β1

(26)

其中，函數Φ(t)定義在引理2.3。

根據引理2.3協同不等式(24)-(26)，可以得到不等式(4)成立的充要條件是：

定理1.2的證明：不失一般性，假設a>b>0。設x=(a-b)/(a+b)，那么x∈(0,1)。將(5)式變形得

(27)

利用等式(23)，不等式 (27)可變形為

(28)

α2<φ(t)<β2

(29)

其中，函數φ(t)定義在引理2.4。

根據引理2.4協同不等式(27)-(29)，可以得到不等式(5)成立的充要條件是：

定理1.3的證明：不失一般性，假設a>b>0。記x=(a-b)/(a+b)，那么x∈(0,1)。將(6)式變形為

(30)

利用等式(23)，不等式(30)可變形為

(31)

α3<γ(t)<β3

(32)

其中，函數γ(t)定義在引理2.5。

根據引理2.5協同不等式(30)-(32)，可以得到不等式(6)成立的充要條件是 ：

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ID 932061,11 pages.

ThreeOptimalInequalitiesforNeuman-SándorMean

MA Ping , YANG Yue-ying

(School of Mechanic Electronic & Automotive Engineering, Huzhou Vocational and Technological College, Huzhou 313000, China )

In the article, we present optimal inequalities for the Neuman-Sándor means in terms of the sencond contra-harmonic and arithmetic means. The given results are the improvements of some known result.

second contra-harmonic mean; arithmetic mean; Neuman-Sándor mean

2017-01-09

本文系2016年度湖州職業技術學院教改課題“基于自動化類專業課的《應用數學基礎》課程教學研究”(2016xj26)的成果。

馬 萍(1963-)，女，浙江臨海人，副教授，主要從事解析不等式研究；楊月英(1979-)，女，湖南益陽人，副教授，計算數學碩士，主要從事解析不等式研究。

0151.25

A

1672-2388(2017)03-0069-05