兩個涉及Seiffert和Neuman平均的雙向不等式

沈林昌， 王君麗

(1.湖州善璉成人文化學校, 浙江 湖州 313000； 2.臺州科技職業(yè)學院 成人教育學院, 浙江 臺州 318020)

兩個涉及Seiffert和Neuman平均的雙向不等式

沈林昌1， 王君麗2

(1.湖州善璉成人文化學校, 浙江 湖州 313000； 2.臺州科技職業(yè)學院 成人教育學院, 浙江 臺州 318020)

應用實分析的方法，找到了最佳參數(shù)α1，α2，β1，β2∈(0,1)使得雙向不等式：

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

Aα2(a,b)X1-α2(a,b)

對所有a,b>0和a≠b成立。其中P(a,b)，NGA(a,b)，X(a,b)和A(a,b)分別表示兩個正數(shù)a和b的第一類Seiffert平均，Neuman平均，Sándor平均和算術(shù)平均。

第一類Seiffert平均； Neuman平均； Sándor平均； 算術(shù)平均； 不等式

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

Aα2(a,b)X1-α2(a,b)

一、前 言

對于a,b>0和a≠b，第一類Seiffert平均P(a,b)[1]253-266 [2]49-59，Neuman平均NGA(a,b)[3]277-289，Sándor平均X(a,b)[4]409-413和調(diào)和平均H(a,b)、幾何平均G(a,b)、算術(shù)平均A(a,b)和p階冪平均Mp(a,b)分別定義如下：

(1)

(2)

(3)

H(a,b) =M-1(a,b)

一直以來，第一類Seiffert平均P(a,b)、Neuman平均NGA(a,b)和Sándor平均X(a,b)與其他各種二元平均組合的比較研究吸引了許多學者的注意。

Seiffert[5]195-198證明了

對所有a,b>0和a≠b成立。

褚玉明等[6] [7]發(fā)現(xiàn)了最大值α1,α2和最小值β1,β2使得雙向不等式

對所有a,b>0和a≠b成立。

在文獻[3]277-289，Neuman證明了雙向不等式

αA(a,b) +(1-α)G(a,b)

對所有a,b>0 和a≠b成立，當且僅當a≤2/3和β≥π/4。

Sándor[8]1-9證明了如下不等式：

推薦理由:作者曾獲以色列布倫納獎、以色列總理獎、美國猶太圖書獎等獎項，這部小說被他視為自己創(chuàng)作成熟的標志。中文譯本首次出版。小說講述了1930年代巴勒斯坦的一個小村莊里，朱迪斯與她的三個愛慕者之間發(fā)生的故事。作者從宗教故事和神話傳說中汲取靈感，并融入猶太鄉(xiāng)村的風土人情，用魔幻現(xiàn)實主義的高超技法，將這個《雅歌》般的傳奇娓娓道來。

對所有a,b>0和a≠b成立。

楊鎮(zhèn)杭[9]證明了雙向不等式：

對所有a,b>0 和a≠b成立。

本文的主要目的是給出最佳參數(shù)α1,α2,β1,β2∈(0,1)使得雙向不等式：

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

對所有a,b>0和a≠b成立。

二、主要結(jié)果

為了證明本文主要結(jié)果，需要以下引理2.1。

引理2.1 對于-∞

定理2.2 雙向不等式：

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

(4)

對所有a,b>0和a≠成立，當且僅當α1≤1/2和β1≥1- ln (π/2)=0.548 4L。

證明：雙向不等式(4)可以寫成如下形式：

(5)

從二元平均P(a,b)，X(a,b) 和A(a,b)是對稱和一階齊次的，不妨假設(shè)a>b>0。設(shè)ν=(a-b)/(a+b)∈(0,1)，則從等式(1)和(3)式導致：

(6)

根據(jù)等式(6)，不等式(5)等價于：

(7)

設(shè)x=arcsin(ν)∈(0,π/2)。則簡單計算可得：

(8)

其中

(9)

設(shè)f1(x)=ln[sin(x)/x]，f2(x)=xcot(x)-1，f3(x)=xsin(2x)-2sin2(x)，f4(x)=xsin(2x)-2x2，f5(x)=2xcos(2x)-sin(2x)，f6(x)=sin(2x)+2xcos(2x)-4x。那么，簡單計算導致：

(10)

(11)

(12)

(13)

不難證明，函數(shù)x→tan(x)/x在(0,π/2)是嚴格單調(diào)上升且值域為(1，+∞)，從而等式(13)導致的結(jié)果是f'5(x)/f'6(x)在(0,π/2)是嚴格單調(diào)下降；那么，從引理2.1和等式(10)-(12)協(xié)同f'5(x)/f'6(x)的單調(diào)性，就可以清楚地看到函數(shù)f(x)在(0,π/2)是嚴格單調(diào)下降的。注意到：

(14)

(15)

所以，容易從不等式(5)，(7)和等式(8)，(9)，(14)，(15)協(xié)同函數(shù)f(x)的單調(diào)性得到定理2.2。

定理2.3 雙向不等式：

Aα2(a,b)X1-α2(a,b)

(16)

對所有a,b>0和a≠b成立，當且僅當α2≤1/2和β2≥1+ln(4/π)=0.758 4L。

證明：雙向不等式(16)能夠表達成如下形式

(17)

(18)

設(shè)x=arcsin(ν) ∈(0,π/2)。則簡單計算可得：

(19)

其中

(20)

設(shè)g1(x)= ln[4sin(x)/sin(2x)+2x]，g2(x)=1-xcot(x)。那么，簡單計算導致：

(21)

(22)

不難證明函數(shù)x→x/sin(x)在(0,π)是嚴格單調(diào)上升，從而等式(22)導致的結(jié)果是g'1(x)/g'2(x)在(0,π/2)是嚴格單調(diào)下降；那么，從引理2.1和等式(21)協(xié)同g'1(x)/g'2(x)的單調(diào)性，可以清楚地看到函數(shù)g(x)在(0,π/2)是嚴格單調(diào)下降。注意到：

(23)

(24)

所以，容易從不等式(17)，(18)和等式(19)，(20)，(23)，(24)協(xié)同函數(shù)g(x)的單調(diào)性得到定理2.3。

[3] NEUMAM E.On a new bivariate mean,Aequationes[J].Mathematicac,2014(3).

[6] CHU Y M,QIU Y F,WANG M K,etc.The optimal convex combination bounds ofarithmetic and harmonic means for the

Seiffert’s mean[J].Journal of Inequalities and Applications,Article ID 436457,7 pages,2010.

[7] CHU Y M,QIAN W M,WU L M,etc.Optimal bounds for the first and secondSeiffert means in terms of geometric,arithmetic and

contra-harmonic means[J].Journal of Inequalities and Applications,2015(44).

[9] YANG Z H,WU L M and CHU Y M.Sharp power mean bounds for Sándor mean[J].Abstract and Applied Analysis,Article ID

172867,5 pages,2014.

[10] ANDERSON G D,VAMANAMURTHY M K and VUORINEN M.K.Conformal Invariants,Inequalities,and Quasiconformal Maps,

Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts[J].New York:John Wiley & Sons,1997.

TwotheDoubleInequalitiesInvolvingSeiffertandNeumanMeans

SHEN Lin-chang1， WANG Jun-li2

(1.Huzhou Shanlian Adult School, Huzhou 313000, China;2.School of Adult Education, Taizhou Vocational College of Science & Technology, Taizhou 318020, China )

In this paper, we apply the method of real analysisand and find the best possible parameterα1，α2，β1，β2∈(0,1) such that the double inequalities:

hold for alla,b>0 anda≠b, whereP(a,b)，NGA(a,b)，X(a,b)andA(a,b) are the fires Seiffert, Neuman, Sándor and arithmetic means of two positive numbersaandb, respectively.

first Seiffert mean; Neuman mean; Sándor mean; arithmetic mean; inequalities

2016-12-08

1.沈林昌(1961-)，男，浙江湖州人，中學一級，主要從事解析不等式研究；2.王君麗(1972-)，女，浙江臺州人，副教授，主要從事凸函數(shù)與解析不等式研究。

O151.23

A

1672-2388(2017)03-0074-04