函數極值點偏移的判定和應用

尹愛國

(湖南省長沙市明德中學,湖南 長沙 410000)

函數極值點偏移的判定和應用

尹愛國

(湖南省長沙市明德中學,湖南 長沙 410000)

綜述函數的極值條件，結合極值點偏移的性質，提出極值點偏移的判定方法.

函數極值點；判定方法；應用

問題引入：(2016·全國卷Ⅰ·理21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求實數a范圍；

(Ⅱ)設x1、x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2

解析(Ⅰ)答案：a>0.

筆者在多年的教學中發現類似問題在高考壓軸題中頻頻出現，因此對此類問題進行了研究，找出了解決此類問題的一種通法，供大家參考.

一、極值點偏移的判定方法.

設已知函數y=f(x)，在區間x∈D上滿足：x=a是函數的唯一極值點，x1,x2∈D,x1≠x2，f(x1)=f(x2)

第一步：判斷曲線在D上的開口方向.

類似于拋物線，若曲線f(x)在D上存在唯一極值點，則曲線在D上存在開口方向問題.若x=a為y=f(x)的極小值點，則f(x)在D上的開口向上；若x=a是曲線y=f(x)的極大值點，則y=f(x)在D上的開口向下.

第二步：構造函數F(x)=f(x)-f(2a-x)或F(x)=f(a-x)-f(a+x).運用導數判定x

下面結合上述步驟解決文首提出問題的第二問.

(Ⅱ)解由(Ⅰ)有：a>0,x=1為y=f(x)的唯一極值點，且為極小值點，函數定義域為R，∴f(x)的圖象在R上開口向上.構造函數F(x)=f(x)-f(2-x)=xe2-x+(x-2)ex.

求得F′(x)=(x-1)(ex-e2-x).x=1時，F′(x)=0,x≠1時，F′(x)>0，∴F(x)R上遞增.

又F(1)=0，∴x<1時，F(x)

二、極值點偏移的性質

三、例題展示

例(2014·江蘇南通二模·20題)設函數f(x)=ex-ax+a(a∈R),其圖象與x軸交于點A(x1,0),B(x2,0)(x1

(Ⅰ)求a的取值范圍;

解析(Ⅰ)定義域為x∈R,f′(x)=ex-a.

當a≤0時，f′(x)>0,f(x)在R上遞增，函數不可能有兩個極值點.當a>0時,∵當x∈(-∞,lna)時，f′(x)<0,x∈(lna,+∞)時，f′(x)>0.

∴f(x)在(-∞,lna)上單調遞減，在(lna,+∞)上單調遞增.

∴當x=lna時，f(x)min=f(lna)=elna-alna+a=2a-alna.

∵f(x)的圖象與x軸有兩交點,

∴f(x)min=2a-alna<0,

∴a>e2.

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知：a>e2，x=lna為y=f(x)的唯一極值點，且為極小值點. ∴f(x)的圖象開口向上.

∴x10,∴0

∴F(x)在(0,+∞)上單調遞減，∴F(x)

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]譚琨.多元函數極值的研究與應用[J].安慶師范學院學報，2005.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

尹愛國，男，中學一級教師，碩士，長沙市骨干教師，從事高中數學教學研究.

G632

A

1008-0333(2017)28-0027-02