導數，物理解題的一把利器

馮云周

(河北隆堯第一中學，河北 邢臺 055350)

導數，物理解題的一把利器

馮云周

(河北隆堯第一中學，河北 邢臺 055350)

運用數學知識處理物理問題是當今高考對學生的能力考查之一，而導數又是現行高中數學教材中的一項新增內容，因此，如何把導數知識很好地運用到高中物理解題的實際中去，已經成為了很多人正在積極探索和研究的一項新課題.本文在這方面做出了一些初步的嘗試.

導數；高中物理；解題

現行的高中數學課本中新增了對導數等內容的學習，為中學生應用高等數學知識來解決問題奠定了知識基礎.實際上，許多高中物理題如果用導數來分析和求解，就會顯得思路簡捷，便于理解和接受，解題效果也會不同凡響.下面是我在平時的教學實踐中，嘗試運用導數來解中學物理題的一些初步的探索和體驗，現分享給大家，希望能給您帶來一些啟迪！

一、巧用導數，豁然開朗

題1 一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為8cm，頻率為0.5Hz，在t=0時位移是4cm，且向x軸負方向運動，試寫出用正弦函數表示的振動方程.

這是最近我的學生們所做的一道練習題，所附解答如下：

設簡諧運動的表達式為：x=Asin(ωt+φ)

冥思苦想了一會兒，我忽然靈光一閃：“物體向x軸負方向運動”，說明此時速度為負，而位移對時間的一階導數不正是速度嗎！于是我得出了下面的解釋：

如此稍加點撥，是否有豁然開朗的感覺呢？

二、耳目一新，教學相長

題2 如圖1所示，為一單擺的共振曲線，該單擺的擺長約為多少？共振時單擺的振幅是多大？共振時擺球的最大速度和最大加速度各為多少？(g取10 m/s2)

圖1

這是在學習共振時我給學生們講解的一道例題，這道題的重點和難點在最后一問，一般解法如下：

從共振曲線可知，單擺發生共振時，振幅A=8cm.設單擺的最大偏角為θ，擺球所能達到的最大高度為h，由機械能守恒定律得：

擺球在最大位移處加速度最大，有mgsinθ=mam

那么，這道題有沒有其他更好的解法呢？當我在辦公室里深入思考的時候，一向學習認真、善于思考的張同學輕聲打報告走了進來，向我展示了他的做法.整理如下：

單擺共振時做簡諧運動，若從平衡位置開始計時，則振動的位移x=0.08sin(2πft)=0.08sinπt，振動的速度v=x′(t)=0.08πcosπt，可見速度的最大值vm=0.08π=0.25 m/s；

振動的加速度a=v′(t)=-0.08π2sinπt，可見加速度的最大值am=0.08π2=0.80 m/s2.

這種解法怎樣？是否有耳目一新的感覺呢？所謂“教學相長”，我們這些當老師的是不是也應該感謝我們的學生呢？

三、腦洞大開，躍躍欲試

位移x對時間t求導是速度

速度v對時間t求導是加速度

由此想開去——

功W對時間t求導是什么？是功率P！

功W對位移x求導又是什么？是力F！

還有——

動量的變化△p對時間t求導等于合力F

角度θ對時間t求導等于角速度ω

電荷量q對時間t求導等于電流I

磁通量Φ對時間t求導等于感應電動勢E

繼續——

電勢φ對距離d求導等于電勢差U

電勢差U對距離d求導等于場強E

勢能Ep對距離r求導等于相應的保守力F

……

總之，只要一個物理量是相對于另一個物理量的變化率，那么這個物理量就可以運用導數來分析求解.

怎么樣？腦洞大開了吧！是否有種躍躍欲試的沖動呢？那好，心動不如行動！下面再做兩題：

題3 如圖2所示，矩形線圈匝數為n，在勻強磁場中繞OO＇軸轉動，設線圈的兩個邊長分別是L1和L2，轉動時角速度是ω，在磁場的磁感應強度為B.

圖2

試證明：在圖示位置時，線圈中的感應電動勢為E=nBSω，其中S=L1L2，為線圈面積.

本題一般做法如下：

線圈繞OO＇軸轉動，線圈中長為L2的邊都在切割磁感線，根據公式E=Blvsinθ可得：E=nBL2vsinθ，而圖示位置θ=90°，切割速度為v=ωL1，代入可得：E=nBSω，其中S=L1L2，為線圈面積.

下面再用求導的方法來做：

當線圈在磁場中轉動時，若從圖示位置開始計時，則穿過線圈平面的磁通量瞬時值表達式為：φ(t)=Φmsinωt=BL1L2sinωt

每匝線圈中產生的感應電動勢e0(t)=φ′(t)=BL1L2ωcosωt

故n匝線圈中產生的總的感應電動勢e(t)=nBL1L2ωcosωt

圖示位置t=0，E=nBSω，其中S=L1L2，為線圈面積.證畢.

兩種方法相比，你不覺得用求導的方法顯得更加簡捷而暢快嗎？

[1]張維善.普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-2[M].北京：人民教育出版社，2010(4):18.

[2]任滿紅翰元設計系列.高二物理.四[M].北京：現代教育出版社，2016(6):15.

[責任編輯：閆久毅]

2017-07-01

馮云周，1970年2月，男，河北隆堯，河北隆堯一中 ，中學高級，本科，物理教育.

G632

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1008-0333(2017)28-0050-02