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導數,物理解題的一把利器

2017-11-23 03:01:22馮云周
數理化解題研究 2017年28期
關鍵詞:解題物理

馮云周

(河北隆堯第一中學,河北 邢臺 055350)

導數,物理解題的一把利器

馮云周

(河北隆堯第一中學,河北 邢臺 055350)

運用數學知識處理物理問題是當今高考對學生的能力考查之一,而導數又是現行高中數學教材中的一項新增內容,因此,如何把導數知識很好地運用到高中物理解題的實際中去,已經成為了很多人正在積極探索和研究的一項新課題.本文在這方面做出了一些初步的嘗試.

導數;高中物理;解題

現行的高中數學課本中新增了對導數等內容的學習,為中學生應用高等數學知識來解決問題奠定了知識基礎.實際上,許多高中物理題如果用導數來分析和求解,就會顯得思路簡捷,便于理解和接受,解題效果也會不同凡響.下面是我在平時的教學實踐中,嘗試運用導數來解中學物理題的一些初步的探索和體驗,現分享給大家,希望能給您帶來一些啟迪!

一、巧用導數,豁然開朗

題1 一物體沿x軸做簡諧運動,振幅為8cm,頻率為0.5Hz,在t=0時位移是4cm,且向x軸負方向運動,試寫出用正弦函數表示的振動方程.

這是最近我的學生們所做的一道練習題,所附解答如下:

設簡諧運動的表達式為:x=Asin(ωt+φ)

冥思苦想了一會兒,我忽然靈光一閃:“物體向x軸負方向運動”,說明此時速度為負,而位移對時間的一階導數不正是速度嗎!于是我得出了下面的解釋:

如此稍加點撥,是否有豁然開朗的感覺呢?

二、耳目一新,教學相長

題2 如圖1所示,為一單擺的共振曲線,該單擺的擺長約為多少?共振時單擺的振幅是多大?共振時擺球的最大速度和最大加速度各為多少?(g取10 m/s2)

圖1

這是在學習共振時我給學生們講解的一道例題,這道題的重點和難點在最后一問,一般解法如下:

從共振曲線可知,單擺發生共振時,振幅A=8cm.設單擺的最大偏角為θ,擺球所能達到的最大高度為h,由機械能守恒定律得:

擺球在最大位移處加速度最大,有mgsinθ=mam

那么,這道題有沒有其他更好的解法呢?當我在辦公室里深入思考的時候,一向學習認真、善于思考的張同學輕聲打報告走了進來,向我展示了他的做法.整理如下:

單擺共振時做簡諧運動,若從平衡位置開始計時,則振動的位移x=0.08sin(2πft)=0.08sinπt,振動的速度v=x′(t)=0.08πcosπt,可見速度的最大值vm=0.08π=0.25 m/s;

振動的加速度a=v′(t)=-0.08π2sinπt,可見加速度的最大值am=0.08π2=0.80 m/s2.

這種解法怎樣?是否有耳目一新的感覺呢?所謂“教學相長”,我們這些當老師的是不是也應該感謝我們的學生呢?

三、腦洞大開,躍躍欲試

位移x對時間t求導是速度

速度v對時間t求導是加速度

由此想開去——

功W對時間t求導是什么?是功率P!

功W對位移x求導又是什么?是力F!

還有——

動量的變化△p對時間t求導等于合力F

角度θ對時間t求導等于角速度ω

電荷量q對時間t求導等于電流I

磁通量Φ對時間t求導等于感應電動勢E

繼續——

電勢φ對距離d求導等于電勢差U

電勢差U對距離d求導等于場強E

勢能Ep對距離r求導等于相應的保守力F

……

總之,只要一個物理量是相對于另一個物理量的變化率,那么這個物理量就可以運用導數來分析求解.

怎么樣?腦洞大開了吧!是否有種躍躍欲試的沖動呢?那好,心動不如行動!下面再做兩題:

題3 如圖2所示,矩形線圈匝數為n,在勻強磁場中繞OO'軸轉動,設線圈的兩個邊長分別是L1和L2,轉動時角速度是ω,在磁場的磁感應強度為B.

圖2

試證明:在圖示位置時,線圈中的感應電動勢為E=nBSω,其中S=L1L2,為線圈面積.

本題一般做法如下:

線圈繞OO'軸轉動,線圈中長為L2的邊都在切割磁感線,根據公式E=Blvsinθ可得:E=nBL2vsinθ,而圖示位置θ=90°,切割速度為v=ωL1,代入可得:E=nBSω,其中S=L1L2,為線圈面積.

下面再用求導的方法來做:

當線圈在磁場中轉動時,若從圖示位置開始計時,則穿過線圈平面的磁通量瞬時值表達式為:φ(t)=Φmsinωt=BL1L2sinωt

每匝線圈中產生的感應電動勢e0(t)=φ′(t)=BL1L2ωcosωt

故n匝線圈中產生的總的感應電動勢e(t)=nBL1L2ωcosωt

圖示位置t=0,E=nBSω,其中S=L1L2,為線圈面積.證畢.

兩種方法相比,你不覺得用求導的方法顯得更加簡捷而暢快嗎?

[1]張維善.普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-2[M].北京:人民教育出版社,2010(4):18.

[2]任滿紅翰元設計系列.高二物理.四[M].北京:現代教育出版社,2016(6):15.

[責任編輯:閆久毅]

2017-07-01

馮云周,1970年2月,男,河北隆堯,河北隆堯一中 ,中學高級,本科,物理教育.

G632

A

1008-0333(2017)28-0050-02

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