穿新靴，走老路
——談數(shù)學(xué)高考題

申學(xué)勤 劉曉東 李 霞 翟金祥

(貴州省務(wù)川中學(xué)，貴州 遵義 564300)

穿新靴，走老路
——談數(shù)學(xué)高考題

申學(xué)勤 劉曉東 李 霞 翟金祥

(貴州省務(wù)川中學(xué)，貴州 遵義 564300)

每年高考題都會(huì)出現(xiàn)一些新鮮、別致，有創(chuàng)新感的題.考生對(duì)這部分題感到束手無策，本文就這部分題進(jìn)行了剖析，并指明了解題思路以及涉及的知識(shí)點(diǎn).

穿新靴走老路；高考題

常言道：穿新靴，走老路是用來形容用舊辦法、老套路去應(yīng)對(duì)面臨的新事物、新情況.靴是新的，代表人是新時(shí)代的人，路是老的，代表依然用舊的思想和辦法去解決新問題.

我們以例子來加以剖析：

例1 在測(cè)量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a1,a2,a3…,an共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)量物理量的“最佳近似值”a是這樣一個(gè)量，與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小.依次規(guī)定，從a1,a2,a3…,an推出的a=____.

解說背景是測(cè)量學(xué)中的最佳近似值問題，既陌生又新穎，但實(shí)質(zhì)上是常見的二次函數(shù)的最值問題，于新穎中見應(yīng)用，用心良苦.此題的文字?jǐn)⑹觯S多考生覺得難以理解，造成了普遍的失分.題目的一個(gè)目的就是考“閱讀理解”，而認(rèn)真理解題意，無非是初中的二次函數(shù)問題.

例2 是否存在常數(shù)a,b,c使得等式：

解說把一個(gè)新的情景納入到“數(shù)學(xué)歸納法證題”的常規(guī)題，實(shí)質(zhì)上是考數(shù)學(xué)歸納法，但“含而不露”.

例3 某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人，全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán).他們的編號(hào)分別為1,2，3…,k，同意的按“1”，不同意(含棄權(quán))的按“0”.

A.a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2k

B.a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2

C.a11a12+a21a22+···+ak1ak2

D.a11a21+a12a22+···+a1ka2k

解說本題具有高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景，對(duì)于高中學(xué)生來說是新概念、新符號(hào).但實(shí)際上為集合中“且”的概念.此高考題是所謂“高觀點(diǎn)試題”就是具有高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景的試題，主要表現(xiàn)為：或以新符號(hào)、新概念出現(xiàn)或以高等數(shù)學(xué)的概念、定理為依托.新符號(hào)如aij(i、j∈N*),新概念如函數(shù)的凹凸性，一致連續(xù)等符號(hào)

ai1,aj2(i=1,2,3……k,j=1,2,3…..k)作為元素可構(gòu)成一個(gè)矩陣：

fλx1+1-λx2λf(x1)+1-λf(x2)

例4 如圖所示，fi(x)(i=1,2,3,4)是定義在0,1上的四個(gè)函數(shù).其中滿足性質(zhì)：“對(duì)0,1中任意的x1和x2，任意λ∈0,1，

A.f1(x)、f3(x) B.f2(x)

C.f2(x)、f3(x) D.f4(x)

解說打破常規(guī)思維，依題意，從左到右旋轉(zhuǎn)每個(gè)號(hào)碼至少要經(jīng)過的步數(shù)分別為4、5、1、2、1，根據(jù)加法原理至少要4+5+1+1+2+1=14步.

例7 如圖，從A到B的路線(規(guī)定向上、向右)有多少？

(0重復(fù)了4次，1重復(fù)了6次)

例11 深夜，一輛馬車被牽涉進(jìn)一起交通事故.該城市有兩家馬車公司——藍(lán)色和綠色.其中，綠色馬車和藍(lán)色馬車公司分別占整個(gè)城市馬車的85%和15%.據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說，事故現(xiàn)場(chǎng)的馬車是藍(lán)色，現(xiàn)對(duì)證人的辨別能力作了測(cè)試，測(cè)試他的正確辨認(rèn)率是80%，于是警察就認(rèn)定藍(lán)色馬車具有較大的肇事嫌疑.由于證人的話具有較高的正確辨認(rèn)能力，因此證人的話具有較大的可信度，試問警察的想法正確嗎？

解說本題是概率問題，我們假設(shè)該城市共有1000輛馬車，那么根據(jù)已知信息可得

藍(lán)色：1000*15%*80%=120 綠色：1000*85%*20%=170

例12 (俄國(guó)大文豪托爾斯泰的一篇短篇小說《人需要很多土地嗎？》)有一個(gè)人要賣地，他規(guī)定太陽(yáng)一出來，來買地的人就可以開始跑，一天內(nèi)跑路圈出來多大地方，這塊地就屬于他，價(jià)格是一千盧布，但太陽(yáng)落山時(shí)必須回到出發(fā)地，否則一千盧布就白花了.

有一個(gè)叫巴霍姆的人去買地，太陽(yáng)一出來他就開始跑，他先向前跑了十俄里，才開始向左直彎拐去，又跑了許多路，再向左拐第二個(gè)直彎，此時(shí)正值中午，烈日當(dāng)空，饑渴難忍，巴霍姆又跑了兩俄里，還有十五俄里趕近路，終于太陽(yáng)落山時(shí)，回到了出發(fā)地，但隨即倒地不省人事，當(dāng)家人告訴他圈出的地方不值一千盧布時(shí)，巴霍姆立刻口吐鮮血而亡.

解說我們按小說的描述可以畫出巴霍姆的路線圖，通過案例分析，學(xué)生自然而然提出了“最佳路線”問題，即跑同樣的路什么時(shí)候圈出的地面積最大？并提煉出下面的數(shù)學(xué)模型：設(shè)周長(zhǎng)為L(zhǎng)的單純閉曲線C，C為何形狀時(shí)面積最大，并證明你的結(jié)論？

講解時(shí)，一開始學(xué)生感到茫然，為了引起學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)生研究問題的欲望，我們可以創(chuàng)設(shè)“小步距”問題情境.

這里涉及兩個(gè)問題：(1)周長(zhǎng)L為定值的n邊形中，以正n邊形面積最大；(2)周長(zhǎng)L為定值的單純閉曲線中，以圓面積最大.這是從生活中的數(shù)學(xué)問題談起，感受數(shù)學(xué)，溝通主觀，數(shù)學(xué)與社會(huì)、周邊生活的密切聯(lián)系.

在上述的例子中我們就實(shí)際例題對(duì)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用，矩陣思想和高中集合交集問題的結(jié)合，琴生不等式及拉格朗日中值定理在中學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用，排列組合思想，笛卡爾直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，線性規(guī)劃，概率思想的實(shí)際應(yīng)用等方面作出了分析.由此可見，高中數(shù)學(xué)不再是簡(jiǎn)單的計(jì)算問題，更多的是實(shí)際應(yīng)用問題，考察學(xué)生的綜合能力，這與各地紛紛研究新課程改革不謀而合，而高考最根本的目的還是為高校選取真正適合自己的人才.

[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書:數(shù)學(xué)必修[M]. 北京:人民教育出版社,2011.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

申學(xué)勤(1961-)，男，貴州省遵義人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué).

劉曉東(1976-)，男，貴州省人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).

李 霞(1973-)，女，貴州省人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).

翟金祥(1990-)，男，江蘇省泰州人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).

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