理解數學準確定位

何宏杰+劉博涵

摘要：2016年11月，在浙江四明中學舉行了同課異構活動，課題是人教A版高中數學必修一的《方程的根與函數的零點》，針對課堂教學中出現的“不準”“不精”“不簡”問題，現從“理解數學”入手對這部分數學知識作教材分析及教學建議，力求對本節的核心概念、思想方法的結構體系及其教學設計有一個準確定位。

關鍵詞：教材 定位 建議

一、教材分析

（一）概念的背景及外部聯系

理解數學就是了解數學概念的背景，把握概念的多元聯系。人們在研究函數的零點時，會發現一個問題，在一段連續的曲線上，曲線上的每個點都有相對應的橫坐標，而當曲線的兩個端點處于X軸的上下區間時，曲線上的點必定會落在X軸上。

初中在研究一次函數和二次函數時，教材上對一次函數y=kx+b和一元一次方程kx+b=0的關系，二次函數和一元二次方程的根的關系進行了較為系統的研究，這些為學習這節課奠定了基礎。

《方程的根與函數的零點》是新課標教材必修一新增內容第三章《函數與應用》中第一節《函數與方程》的第一部分，出現在連續函數的性質——零點存在性命題之中，是為后續內容“用二分法求方程的近似解”服務的，通過用二分法求方程近似根將函數思想以及方程的根與函數零點之間的聯系具體化.旨在加強對函數概念、函數思想的認識與了解，同時也可使學生了解函數的算法，可以為學生今后的學習打下基礎，有利于學生理解和吸收。在函數零點教學中，需要通過函數圖像來表現，主要是因為當時還沒有連續函數的概念。所以只能依靠直觀圖像來“講道理”，在大學《數學分析》中函數零點存在性定理有嚴格的證明，它是證明介值定理的依據，也可以說是介值定理的特殊情形.因此這部分內容是聯結初等數學和高等數學的橋梁。

幾何直觀是理性認識的基礎，可以通過函數圖像直觀表示函數零點的內容，相比于函數零點求根公式來說要更重要，因此，在進行函數零點教學時，需要將函數圖象、性質、導數、不等式等內容有機結合，來考查學生分析問題解決問題的能力及學生的創新意識。

（二）內容的地位與作用

理解數學就是掌握概念的邏輯意義，從而展現思想的準確性。本章節內容的教學，主要包括函數零點的存在性定理、函數零點與方程根的關系以及函數零點的概念這三方面的內容。

在本章節教學中，函數零點的概念并不是主要的教學內容，只是為了學生能更加深刻的了解函數與方程之間的關系。從而進一步理解函數的圖像和性質。

教材通過兩個問題將三個內容進行呈現。首先，教材以“思考”的欄目上提出第一個問題：“一元二次方程ax?+bx+c=0（a≠0）的根與二次函數y=ax?+bx+c的圖象有什么關系？”，這個問題教材利用三個不同的一元二次方程，對其進行求根，并制成函數圖像，表明與X軸之間的關系，歸納到一般情形。然后，給出函數零點概念，并將上述結論推廣到一般情形，符合從特殊到一般的認識規律。

這個問題對學生來說，并不陌生，以北師大版九年級下冊數學教材為例，在《二次函數和一元二次方程》這節中，已經通過三個具體的二次函數及相對應的一元二次方程得出結論：“二次函數y=ax?+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點.與此相對應，一元二次方程ax?+bx+c=0的根也有三種情況：兩個不相等的實數根、有兩個相等的實數根、沒有實數根.二次函數y=ax?+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程ax?+bx+c=0的根”。因此，這段內容的學習，學生學習并不困難.但是要注意的是給出函數零點之后，學生往往將“函數零點”和“方程的根”混為一談，認為方程的根就是函數的零點，在此要讓學生分清二者的區別和聯系。

教材用“探究”欄目提出第二個問題：“計算f（-2）和f（1）的乘積，你能發現這個乘積有什么特點？在區間[2，4]上是否也具有這種特點呢？”，得到結果為負值，并再次對學生進行提問“同學們任意畫幾個圖象，觀察圖象，看看是否能得出同樣的結果”；從而得出討論結果。

這種教學方法就是利用二次函數圖像，使學生了解函數零點與函數圖像之間的關系，并通過學生進行自主舉例、自主研究，從而得出函數零點的存在性定理。

在問題的設置上要緊緊圍繞課標要求，從學生熟悉的二次函數來進行研究，把方程根與函數圖像聯系起來，在教學中，將原有知識與新知識形成聯系，研究的步驟是：具體函數——畫圖象——概括結論，研究的方法是“數形結合思想”及“轉化與劃歸思想”，這種研究的步驟和方法具有一般性，是我們研究數學問題中比較常見的方法之一，其教學效率也比較高。

教材僅有一道例題，本道例題要通過函數的性質——單調性及函數的零點存在性定理來解決問題。

在本節習題A、B組8道題中僅有一道習題涉及到函數零點的存在性定理，其余7道題涉及到二分法求方程的近似解.這種習題的配制體現了人教A版《函數與方程》內容的編寫意圖：將重點放在“通過“二分法”求方程的近似解”上，零點存在性定理這個性質是為“用二分法求方程近似解”服務的.這是人教A版教材和其它版本在處理《函數與方程》內容上最本質的區別，如人教B版將本節重點放在“理解函數零點的概念，判定二次函數的零點，會求函數的零點。”，因此在習題配制上，9道題中有8道是關于函數零點問題，僅有一道涉及到二分法求方程的近似解。從以上可以看出，人教A版教材更注重培養學生用函數的觀點處理問題的意識及用聯系的觀點理解有關學習內容。

（三）課標要求及解讀

理解數學就是理解課標所要求核心概念、思想方法結構體系的構建，及核心概念、思想方法的教學設計。

高中數學課程標準對這部分的要求是：在教學中要利用二次函數圖像，根據圖像來了解一元二次方程根的特點，并對函數零點與方程根之間的聯系進行了解。

課標要求要由淺入深、循序漸進的建立函數與方程的關系，遵循這個原則，需要通過以下幾點來展開教學：一是，從學生認為較為簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立二者的聯系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數與其相應方程的情形。二是，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數圖像和性質研究方程的解，體現函數與方程的關系。三是，在函數模型的應用過程中，通過建立函數模型以及模型的求解，更全面地體現函數與方程的關系，建立起函數與方程的聯系。endprint

同時，課標強調了通過函數圖象的直觀展示，讓學生了解有關原理和方法.因此，課標引入本節課的內容，旨在讓學生學習用函數的性質解決問題，體會函數與方程之間的聯系性，而在數學原理上沒有過高要求.

（四）教學目標及重難點

理解數學就是合理挖掘，適當拓展數學知識所蘊含的科學方法，理性精神等價值觀資源，以此制定教學目標。

1.通過本課教學，要求學生理解并掌握方程的根與相應的函數零點的關系；在此基礎上，學會將求方程根的問題轉化為求相應的函數零點問題；理解零點存在性定理，初步確定具體函數存在零點的區間。

2.正確理解函數零點存在性定理，了解函數圖像連續不斷的意義；知道定理是函數存在零點的充分條件，了解函數零點可能不止一個。

3.能利用函數圖像與性質判斷某些函數的零點個數。

4.能順利將一個方程求解問題轉化為求相應的函數零點問題，并會判斷存在零點的區間（可使用計算器）。

本節的教學重難點是：方程的根與函數零點的關系、函數零點存在性定理。

二、準確定位教學內容

教師“理解數學”的目的是讓學生“理解數學”，促使學生“理解數學”主要通過課堂教學來完成，而有效的課堂教學的前提是準確定位教學內容，從教學核心和重點上構建教學過程、設計問題來引導學生的學習，是提高課堂教學質量的關鍵。

（一）整體把握學習內容

準確定位教學內容首先要對所學知識進行整體把握，從不同角度認識高中數學知識，用全面的眼光去看待教學中的每一個知識點，了解其存在的意義和價值，只有這樣才有助于削枝強干，掌握通性通法，抓住本質，明確本節的重心.很多老師在授課時，常常將重點過多放在大量習題或課件及視頻的制作上，進而產生了很多問題，這就是對內容把握不到位造成的。

同時，本節課作為章節起始課，要在引入上下功夫，讓學生整體了解所要學習的內容，明確學習要達成的目標、認識所學內容的價值和作用，對全章內容有一個整體的認識，有助于建構學生的知識結構。

（二）重點突出，忌舍本求末

在進行函數應用教學時，要著重對函數零點與方程根之間的聯系和函數零點的存在性定理這部分內容的講解。函數思想是本章的一個主線，而函數零點的概念的作用是服務于進一步認識二者之間關系的.有些老師在設計問題時，往往設置一系列求函數零點的問題，把函數的零點問題轉化成方程求解，以鞏固函數零點的概念.這種設計偏離了教材的意圖和本節課的目的.另外，還有些老師常把教材上有關函數零點和方程根的關系改成“方程有幾個根，函數就有幾個零點。”一元二次方程有兩個相等的實數根，相應的二次函數是一個還是兩個零點，說法不一，人教B版指出“有一個二重的零點或說有二階零點”。因此不要隨意改變教材的結論，也不要在此過分糾纏。

（三）關注問題的探究過程

數學思想方法蘊含于數學知識之中，數學知識的形成過程是進行數學思想方法教學的重要載體.教材中的兩個問題，在教學中要讓學生進行交流和探究，尤其是作為難點的函數的零點存在性定理問題的探究，如何引導學生把“函數f（x）的圖象在區間（a，b）內經過x軸”轉化為f（a）f（b）<0，并得到函數存在性定理，明確定理是函數零點存在的充分不必要條件，這需要教師精心設計一系列問題，引導學生進行思考和探索，并在這個過程中還要讓學生自己動手操作，畫一些函數的圖象，通過對函數圖象的觀察、猜測、推理及學生之間交流和反思來得到結論。讓學生經歷定理的形成過程，學會數學地思考問題的方式，來提高學生的數學素養。

（四）發揮課本例題和習題的功能

課本的習題和練習題的設計都有深刻的用意，在進行教學時要引起重視。

教材中的例1，求函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數.是要讓學生利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數，這是本節課的課時目標之一。

教材配制的練習題第一題要求利用函數圖象判斷方程根的情況，四個小題都是一元二次方程，但作用各不相同，第（1）小題是直接轉化為相應的函數零點問題，（2）（3）（4）要讓學生會將一個方程求解問題通過等價變形轉化為一個函數零點問題，這應作為本節課的教學目標。這個過程中學生可能轉化的函數會不相同，同時這三個小題分別對應方程有兩個不同的實數根、兩個相等的實數根和無實數根的情形.涵蓋了二次函數圖象的每一種情況。

練習第二題需借助信息技術作圖象，并指出函數零點所在區間，目的旨在利用函數零點存在定理解決問題，也為下一節“二分法求方程的近似解”進行鋪墊，起到了承上啟下的作用。這兩個練習都要求利用圖象來解決問題，讓學生感受圖形在解決問題中的作用。

（五）重視信息技術的作用

利用信息技術畫出函數圖象，使復雜和抽象的函數解析式得到直觀體現，有助于幫助學生把握數學的本質。本節課例1和練習2的設置，都需要使用計算器和計算機來解決問題。在教學中，要讓學生動手操作，使用計算器獲取數據，有條件還可以讓學生使用圖形計算器來畫出函數圖象，來提高學生收集數據、提出信息、進行分析得出結論的能力及利用圖象直觀，分析數學問題，解決數學問題的能力。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學1（B版）[M].北京：人民教育出版社，2014.endprint