涉及多邊形數的高考題的再探討

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）42-0143-02

1.真題背景

畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，他們的思想在從幾何向數論轉移，已經有了數論的雛形。如今多邊形數已經走入高中數學課本，出現(xiàn)在高考數學試卷上。之前我探過一道涉及多邊形數的高考題[1]，最近在整理歷年高考題的過程中，發(fā)現(xiàn)湖北省2009年理（文）科高考第10題也跟多邊形數中的平方三角形數有關（既是k邊形數又是正方形數的數即為平方k角數）。由于平方三角形數的歷史文化悠久，它最早可以追溯到阿基米德的群牛問題，在解決的過程中還與佩爾方程（形如x2-Dy2=±1的二元二次不定方程叫Pell方程）有著密切的關系。本文受此高考題啟發(fā)，探討了找出平方三角數、平方六角數的一般方法。

2.真題再現(xiàn)

2009年湖北高考理（文）科第10題

古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：

圖1

圖2

他們研究過圖1中的1，3，6，10，……由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，……這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是（ ）

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

考生可以根據圖形找出規(guī)律，運用數列相關知識得出第n個三角形數為 。第n個正方形數為n2。首先排除D選項，因為1378不是完全平方數，然后就判斷1024沒有奇因數，因此 ≠1024排除B選項，因為289=172，而289的因數只有1.17.289，因此289≠ ≠ 排除選項A。剩下1225=352= = 于是正確選項是C。

3.定理補充

定理1[2] 設D是一個正整數且不是一個完全平方，則方程

x2-Dy2=1 （*）

有無限多組整數解x，y，設x02-Dy02=1，x0>0，y0>0，是所有x>0，y>0的解中使x+y 最小的那組解（x0，y0叫作（*）式的基本解），則（*）式的全部解x，y，由x+y =±（x0+y0 ）n表出，其中n是任意整數。

定理2[2]設D是一個正整數且不是一個完全平方，如果方程

x2-Dy2=-1 （**）

有解，且設a2-Db2=-1，a>0，b>0是所有x>0，y>0的解中使x+y 最小的那組解（a，b叫作（**）式的基本解），則（**）式的全部解（有無窮多組）x，y，由x+y =±（a+b ）2n+1表出，其中n是任意整數，且ε=x0+y0 =（a+b ）2其中x0，y0是x2-Dy2=1的基本解。

4.找出平方三角數的一般方法

設三角形數的第n個為 ，正方形數的第m個為m2，若正整數m，n滿足

m2= （1）

則這樣的 或m2為平方三角數（如這道高考題中的1225，實際上這樣的數有無數個），（m，n）為滿足條件的有序數對（如最小的一對（1，1）再如這道高考題中的（35，49））。

像這樣的有序數對我們可以這樣找出：

將（1）式化簡變形得到[3]（2n+1）2-8n2=1 （2）

令X=2n+1 Y=2m （3）

n= m= （4）

則（2）式可化為

X2-2Y2=1 （5）

（X- Y）（X+ Y）=1

（X- Y）k（X+ Y）k=1k （6）

將已知的兩個數對（m，n）=（1，1）代入（3）式可求出（X，Y）=（3，2）

（3-2 ）k（3+2 ）k=1k （7）

其實（5）式就是一個Pell方程，類似（*）式，考慮到我們討論的平方三角形數都是正整數，我們將定理1中的解集變形如下式

X+Y =（3+2 ）k，k∈N+

在（7）式中

當k=1時X+Y =（3+2 ）1，（m，n）=（1，1）平方三角數為1。

當k=2時X+Y =（3+2 ）2=（17+12 ），（m，n）=（6，8）平方三角數為36。

當k=3時X+Y =（3+2 ）3=（99+70 ），（m，n）=（35，49）平方三角數為1225。

當k=4時X+Y =（3+2 ）4=（577+408 ），（m，n）=（204，288）時平方三角數為41616。

……

5.找出平方六角形數的一般方法

類似的我們也可以找出平方六角形數：

設六角形數的第n個為2n2-n，正方形數的第m個為m2，若正整數m，n滿足

m2=2n2-n （8）

則這樣的2n2-n或m2為平方六角數，（m，n）為滿足條件的有序數對（如最小的一對（1，1））。像這樣的有序數對我們同樣可以這樣找出：

將（8）式化簡變形得到n（2n-1）=2m2 （9）

令X= Y= （10）

n=X2 m=XY （11）

則（10）式可化為

2X2-Y2=1

Y2-2X2=-1 （12）

（Y- X）（Y+ X）=-1

（Y- X）2t+1（Y+ X）2t+1=（-1）2t+1 （13）

將已知的兩個數對（m，n）=（1，1）代入（10）式可求出（X，Y）=（1，1）

（1- ）2t+1（1+ ）2t+1=12t+1 （14）

其實（12）式也是一個Pell方程，類似（**）式，考慮到我們討論的平方六角形數都是正整數，則我們將定理2中的解集變形如下式

Y+X =（1+ ）2t+1，t∈N

當t=0時Y+X =（1+ ）1= +1， （m，n）=（1，1）平方六角數為1。

當t=1時Y+X =（1+ ）3=5 +7， （m，n）=（35，25）平方六角數為1225。

當t=2時Y+X =（1+ ）5=29 +41， （m，n）=（1189，841）平方六角數為1413721。

……

從以上找出的平方三角形數、平方六角形數中可以發(fā)現(xiàn)：1225在這里真是一個奇特的數，1225= =2×252-25=352它既是三角形數又是六角形數，還是正方形數。

參考文獻：

[1]王絢，由兩道涉及多邊形數的高考題引發(fā)的探討[J].數學通訊，2014，02

[2]柯召，孫琦.談談不定方程[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011.03

[3]譚彬.關于平方三角數及相關定理的證明[J].阜陽師范學院學報（自然科學版），2009，04