迄今最大的梅森素數

邵紅能

2300多年來，人類僅發現49個梅森素數。2016年1月7日，美國數學家庫珀發現第49個梅森素數，即2的74207281次方減1。這個超大素數有22338618位，是目前已知的最大素數。如果用普通字號將它連續打印下來，它的長度可超過65千米！這種素數珍奇而迷人，因此被人們譽為 “數海明珠”。自梅森提出其斷言后，人們發現的已知最大素數幾乎都是梅森素數，因此尋找新的梅森素數的歷程也就幾乎等同于尋找新的最大素數的歷程。

梅森素數是一種特殊的素數。它是數論研究的一項重要內容，也是當今科學研究的熱點與難點之一。自從在一個名為“互聯網梅森素數大搜索”（簡稱GIMPS）項目的幫助下，梅森素數的探究取得了重大進展。其實，在探尋梅森素數上，美國數學教授多次走在世界前列。發現已知的最大梅森素數，是彰顯該國數學實力強盛的一個側面標志。

目前，世界上有180多個國家和地區近27萬人，參加了GIMPS的國際合作項目，并動用超過70萬臺計算機聯網來尋找梅森素數。因此，僅從人力、物力方面來說，梅森素數已足夠火爆。美國天體物理學家、“鄧普頓獎”得主斯坦利·杰基認為，梅森是17世紀早期學術成果優劣的最佳鑒定者。近幾年來，梅森素數又頻頻出現在主流新聞媒體和學術刊物中。

梅森素數的神秘誕生

1588年9月8日，梅森（1588-1648）出生在法國曼恩省瓦茲的一個工人家庭。他16歲時進入耶穌會辦的學校學習，1609年從巴黎的索邦神學院畢業后任神職人員，1619年進入拉農西亞德女修道院教授神學和哲學。梅森具有很高的科學素養，其研究涉及聲學、光學、力學、航海學和數學等多個學科，并有“聲學之父”的美稱。

梅森是17世紀歐洲數學界一位獨特的中心人物，許多數學家都樂于將成果寄給梅森，然后憑借他廣泛的人際關系和熱情誠摯的為人，在更多的人中傳播。梅森起到了科學交流的橋梁作用，被譽為“有定期數學雜志之前的數學交換站”。

1640年6月，法國數學家費馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質。我自信它們將成為今后解決素數問題的基礎。”這封信討論了2n-1的數。數2n-1最早出現在歐幾里得《幾何原本》（公元前300年左右）第九章命題6中。梅森以此作為基礎，花4年時間研究、檢驗了直至的全部數，并于1644年在他的《物理數學隨感》一書中寫道：“總結前人的工作和我個人的研究，可以得到結論：在n小于或等于257的數中，僅當n=2、3、5、7、13、17、19時，2n-1是素數外，并猜想n=31、67、127和257時，2n-1是素數；對于n<257的其它數值，2n-1都是合數。”

梅森提出的大膽猜想， 大大縮短了尋覓最大素數的驗證范圍。梅森素數的驗證工作是十分艱辛與巨大的，n=31、67、127和257這幾個數比較龐大，其中最小的231-1=214748367也是近20多億的大數。正如梅森所推測：“一個人使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使花費終生的時間也是不夠的！”

為了紀念他，在1897年瑞士蘇黎世舉行的首屆國際數學家大會（ICM）上將“2p-1”型的素數稱為“梅森素數”，并以Mp記之（其中為梅森姓氏的首字母）；如Mp果為素數，則稱之為“梅森素數”。素數又稱“質數”，是在大于1的整數中只能被1和其自身整除的數（如2、3、5、7、11等）。2300年前，古希臘數學家歐幾里得就已證明素數有無窮多個。

梅森素數是指形如2p-1的正整數，其中指數P是素數，常記為Mp。這種特殊形式的素數，具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著包括數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代和圖靈在內的眾多數學家。

梅森曾于1644年斷言：“267-1是個素數。”梅森去世后，人們對其斷言深信不疑，連德國大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。也許這是因為梅森的名氣太大了，沒有人敢對其斷言表示懷疑。

不過，1930年在美國數學協會的年會上，數學家科爾作了一次精彩的“演講”，他提交的論文題目是“關于大數的因子分解”。在“演講”過程中，他始終一言不發，只默默地在黑板上進行計算。他先算出267-1的結果，再算出193707721×761838257287的結果，兩個結果完全一樣。科爾是第一個否定了“267-1是個素數”這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結論的人。他的“演講”贏得了全場聽眾起立鼓掌和齊聲喝彩。這個一言不發的演講成了科學史上的佳話。會后，人們問科爾：“你花費了多少時間來研究這個問題？”他靜靜地說：“3年里的全部星期天。”后來，他當選為美國數學協會的會長。他去世后，該協會專門設立了“科爾獎”，用于獎勵作出杰出貢獻的數學家。

科爾的這場無言演講，為人們探索梅森素數提供了有力的精神支持。科爾證明了M67是一個合數，從而否定了梅森說M67是素數的猜想，解放了數學家的思想，并掀起了研究梅森素數的熱潮。

梅森素數的搜尋歷程

在“筆算紙錄”的年代，人們歷盡艱辛才找到12個梅森素數。而計算機的誕生加速了人們探究梅森素數的進程。1946年，世界上第一臺計算機誕生了， 尋覓梅森素數即最大素數的數學家才從“手工作坊”里解放出來。

計算機的誕生和網格技術的出現，加速了梅森素數探究的進程。1952年，數學家魯濱遜等人將魯卡斯-雷默方法編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機，在幾個月內就找到了5個梅森素數：M521、M607、M1279、M2203和M2281。

此后，數學家們利用各種最新計算機產品，在巨大的天文數字運算中，繼續尋覓梅森素數。1983年10月到1985年10月的2年時間里，數學家史諾云斯基用最快的計算機又求得3個梅森素數：M86243、M132091和M216091。1991年，有數學家又發現史諾云斯基漏掉的梅森素數M110503。1992年3月，英國數學家宣布，在一臺巨型計算機Cray-2上又發現一個梅森素數M796839，它有227832位數字，是當時已經發現的最大一個素數。若把這些數字印成書，可達180頁左右，不過這將是一本十分枯燥的書。

截至1992年，從1644年起的348年中，數學家共找到32個梅森素數，平均每10年發現一個，其中在40年間利用計算機找到的有20個，與手工耗時308年才找到12個比，計算機是多么神速！

1996年初，美國數學家、程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，并把它放在網頁上供全球數學家和業余數學愛好者免費使用，這就是舉世聞名的GIMPS項目。

1999年，為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術發展，總部設在美國的電子新領域基金會（EFF），設立了專項獎金懸賞參與GIMPS項目的梅森素數發現者。它規定向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元。后面的獎金依次為：找到超過1000萬位數的頒發10萬美元；找到超過1億位數的頒發15萬美元；找到超過10億位數的頒發25萬美元。不過，絕大多數人參與該項目并不是為了金錢，而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

2000年4月6日，住在美國密歇根州普利茅茨的那揚·哈吉拉特瓦拉得到了一筆5萬美元的數學獎金，因為他找到了當時已知的最大素數：26972593-1。可是，哈吉拉特瓦拉先生并不是一個數學家，他甚至很可能對尋找梅森素數的數學理論都一無所知。他所做的一切，就是從互聯網上下載了一個程序。這個程序在他的這臺奔騰II350型計算機的空置時間悄悄地運行。在經過111天的計算后，這個梅森素數被發現了。2008年8月，美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯發現了第46個，即243112609-1，它有12978189位數。如果用普通字號將這個巨數連續寫下來，它的長度超過50千米！這一成就被美國的《時代周刊》評為“2008年度50項最佳發明”的第29位。2009年6月15日，第47個梅森素數被發現了，該素數為“2的42643801次方減1”。這是一個巨大的數字，共有12837064位數。假設我們每一秒鐘寫一個數字的話，要連續寫近150個晝夜才能寫完。

梅森素數的遠景展望

人們為什么要尋找梅森素數？作為人類智慧的結晶，梅森素數的定義簡單，卻又如此神秘莫測。2000多年來，經過無數代人的辛勤工作，才收集到49個梅森素數。對于數學家來說，收集梅森素數和收藏家收集鉆石一樣富有樂趣。理論上的突破， 會帶來實踐的騰飛，解決梅森素數猜想的過程中，可能誕生新學科、新數學思想方法；同時， 驗證梅森素數的工作，標志著一個國家計算機的發展程度和功能的先進性。

數論問題中有許多關于素數的問題， 在吸引人們去探索的同時，又在磨礪著人類的智慧。尋找梅森素數，推動了“數學皇后”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、網格技術和程序設計技術的發展。由于梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，因而許多科學家認為，梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學家馬科斯·索托伊甚至認為，梅森素數的研究進展，標志著科學發展的里程碑。

我國數學家、語言學家周海中是這方面研究的領先者，他運用聯系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月首次給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找這一素數提供了方便。后來，這一重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。國際著名科普雜志《科學美國人（中文版）》2000年第6期刊登的一篇評論文章指出，“周氏猜測”是梅森素數研究中的一項重大突破。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：“‘周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法，其創新性還表現在揭示新的規律上。”

截至2016年9月，人們已經發現了49個梅森素數，其中通過GIMPS項目找到的有15個，發現者來自美國、英國、法國、德國、加拿大和挪威。目前，世界上有180多個國家和地區的超過27萬人參加了這一國際合作項目，并動用了68萬多臺計算機聯網來尋找新的梅森素數。這68萬臺聯網計算機的計算能力已超過當今世界最先進的超級矢量計算機的計算能力，運算速度達到每秒800萬億次。國際頂級雜志《自然》指出，GIMPS項目不僅會進一步激發人們尋找梅森素數的熱情，而且會引起人們對網格技術應用研究的高度重視。

國際著名數學家希爾伯特有一句名言：“我們必須知道，我們必將知道。”尋找梅森素數的大道，必定會越走越輝煌！