導數(shù)、微積分知識結(jié)構(gòu)與拓展

■鄭州一中 潘瑩慧

導數(shù)、微積分知識結(jié)構(gòu)與拓展

■鄭州一中 潘瑩慧

一、知識結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

函數(shù)是兩個數(shù)集間的一種特殊對應,是兩個變量間的變化規(guī)律,函數(shù)的導數(shù)和定積分是函數(shù)知識的提升,它們都是特殊類型的極限,極限是研究變量在無限變化中的變化趨勢,本質(zhì)是靜止中認識運動,有限中認識無限,量變中認識質(zhì)變,前者的對應是偏靜態(tài)的,后者是偏動態(tài)的。而高中教材淡化了極限,從數(shù)形結(jié)合角度,結(jié)合曲線切割線斜率以及曲邊梯形面積的實際背景,描述了這種動態(tài)的對應,這種處理,能使我們更清楚導數(shù)與積分的原始作用,理解微積分基本定理,確定導數(shù)與定積分為互逆運算,從而簡化了麻煩的定義運算。從這個意義上講,導數(shù)、微積分的考查內(nèi)容,還是以工具性為主。對定義的理解是熟練運用導數(shù)求單調(diào)性、極值、最值,以及利用積分求面積的前提。

三、實例分析

例 1 (1)若f'(x0)=2,求

分析:(1)導數(shù)定義。(2)合理運用逆向思維。由求導公式(xn)'=n xn-1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)。關鍵要抓住數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu)。

例2 已知f(x)=a x3+b x2+c x(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=-1。

(1)試求常數(shù)a、b、c的值;

(2)試判斷x=±1時的值是函數(shù)的極小值還是極大值,并說明理由。

分析:利用一階導數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù),也是導數(shù)應用的關鍵知識點,通過對函數(shù)極值的判定,可加深對函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)關系的理解。考查函數(shù)f(x)是實數(shù)域上的可導函數(shù),可先求導確定可能的極值,再通過極值點與導數(shù)的關系,建立由極值點x=±1所確定的相等關系式,運用待定系數(shù)法求值。

解:(1)f'(x)=3a x2+2b x+c,因為x=±1是函數(shù)f(x)的極值點,所以x=±1是方程f'(x)=0,即3a x2+2b x+c=0的兩根。

當x＜-1或x＞1時,f'(x)＞0;當-1＜x＜1時,f'(x)＜0。所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數(shù),在(-1,1)上是減函數(shù)。

所以當x=-1時,函數(shù)取得極大值f(-1)=1;當x=1時,函數(shù)取得極小值f(1)=-1。

小結(jié):本題難點是在求導之后,不會應用f'(±1)=0的隱含條件,因而造成了解決問題的思維障礙。

例3 求下列各曲線圍成的平面區(qū)域的面積:

(2)y=x-2,x=y2。

分析:用定積分計算平面區(qū)域的面積,首先,確定已知曲線圍成的區(qū)域;其次,由區(qū)域

小結(jié):(1)如果函數(shù)f(x)在點x=x0的一個δ區(qū)域:(x0-δ,x0+δ)內(nèi)有定義,對任意的x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)總有f(x)＜f(x0)(f(x)＞f(x0)),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極大(小)值,x0稱為極大(小)值點。

(2)注意極值與最值的區(qū)別,極值是相對于領域而言,它僅是極值點附近的局部范圍內(nèi)的相對大小,而最值是相對于閉區(qū)間而言,它是函數(shù)在給定的閉區(qū)間上的全部函數(shù)值中最大(小)的值。

(責任編輯 劉鐘華)