非對稱區間上調和函數的Schwarz引理

李孟華, 陳行堤

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

非對稱區間上調和函數的Schwarz引理

李孟華, 陳行堤

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

研究單位球到給定一般區間上的實調和函數的Schwarz型引理.運用調和函數的平均值定理，將像域在對稱區間[-1,1]上的調和函數的Schwarz引理推廣到在一般區間[a,b]上.作為一個應用，改進了Partyka和Sakan的一個結果，得到實調和函數的下界估計.

調和函數; Schwarz引理; Poisson核; 平均值定理

1 預備知識

由于在單位球Bp上的調和函數滿足平均值定理和Fatou定理[1]，因此,對于0lt;clt;1，可記

為了方便,記

式(6)，(7)中：v=1；μ=p/2.

Heinz運用Schwarz引理得出單位圓盤到自身上的調和函數的Heinz不等式[2].基于此理論，Partyka等[3]用擬從屬技巧，將Schwarz引理從條件|ReF(z)|lt;1推廣為帶形區域a≤ReF(z)≤b的情形[4]，有

并對其加以應用[5-6].許多學者對Schwarz引理進行深入研究[7-9].Kalaj等[9]研究單位球上實調和函數的模，并給出了相應的Schwarz引理.Burgeth[10]給出了單位球Bp上實調和函數滿足條件-1≤h(x)≤1下的偏差估計.

2 主要結果及證明

命題1設h為單位球Bp上的實調和函數，且a,b∈R,alt;b.若a≤h(x)≤b，h(0)=d,則對于c=(d-a)/(b-a)和任意的x∈Bp，有

證明 首先，對于任意的t∈R+，x∈Bp測度函數σ(Pxgt;t)在R+上連續且是關于t的嚴格單調遞減函數.因此，對任意的c∈[0,1]，都存在唯一的tc∈R+，使得σ(Pxgt;tc)=c·σ(Sp).從而有

).

由式(5)知：χ{Pxgt;tc}∈Kc.令x∈Bp,y∈Sp,|x|=r，則單位球Bp上的Poisson核為

由于x·y=rcos(x,y)，因此，對固定的x,Px(y)的單調性由cos(x,y)確定，其中，(x,y)表示y到x的轉角，從而當Px(y)gt;tc時,y的取值范圍是以ex為中心的球S(c,ex)，即

由上式及χSp-χS(1-c,ex)=χS(c,ex)，可得

定理1假設h為單位圓盤D上滿足h(0)=0的調和映照，令a,b∈R且alt;b.若a≤h(x)≤b，則

同理計算可得

而文獻[2]中所得結論為

[1] AXLER S,BOURDON P,RAMEY W.Harmonic function theory[M].New York:Springer Verlag，2000.

[2] HEINZ E.On one-to-one harmonic mappings[J].Pac J Math,1959,9(1):101-105.

[3] PARTYKA D,SAKAN K.On a variant of Heinz′s inequality for harmonic mappings of the unit disk onto bounded convex domains[J].Bull Soc Sci Lett,2009,52(2):25-36.

[4] DUREN P.Harmonic mappings in the plane[M].Cambridge:Cambridge University Press,2004：75-77.

[5] PARTYKA D,SAKAN K.Three variants of Schwarz lemma for harmonic mappings[J].Bull Soc Lett,2006,51(2):27-34.

[6] PARTYKA D,SAKAN K.Quasiconformal and Lipschitz harmonic mappings of the unit disk onto bounded convex domains[J].Anna Acad Scie Fenn Math,2014,39(2):811-830.

[7] KALAJ D.Schwarz lemma for harmonic mappings in the unit ball[J].Proc Amer Math Soc,2010,140(1):161-166.

[8] PAVLOVIC M.A Schwarz lemma for the modulus of a vector-valued analytic function[J].Proc Amer Math Soc,2011,139(3):969-973.

[9] KALAJ D,VUORINEN M.On harmonic functions and the Schwarz lemma[J].Proc Amer Math Soc,2010,140(1):161-166.

[10] BURGETH B.A Schwarz Lemma for harmonic and hyperbolic-harmonic functions in higher dimensions[J].Manu Math,1992,77(1):283-291.

[11] DUREN P.Theory of-space[M].New York:Dover Publications,2000.

(責任編輯： 陳志賢英文審校： 黃心中)

SchwarzLemmaforHarmonicFunctionsinAsymmetricInterval

LI Menghua, CHEN Xingdi

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

In this paper, we investigate the Schwarz lemma for real harmonic functions of the unit ball into a general interval. By appealing to the method of mean-value theorem of harmonic functions, we obtain the Schwarz lemma of harmonic functions with their image domains generalized from the symmetric interval [-1,1] to a general interval [a,b]. As an application of this result, we improve the upper bound estimate given by Partyka and Sakan. Moreover, a lower bound for this class of harmonic functions is also given.

harmonic mapping; Schwarz lemma; Poisson kernel; mean-value theorem

10.11830/ISSN.1000-5013.201612009

O 174.55

A

1000-5013(2017)06-0898-05

2016-12-04

陳行堤(1976-)，男，教授，博士，主要從事函數論的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11471128); 福建省自然科學基金計劃資助項目(2014J01013); 華僑大學青年教師科研提升計劃資助項目(ZQN-YX110)； 華僑大學研究生科研創新能力培育計劃資助項目(1511313002)