環狀粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼的振動特性研究

王 宇，翟敬宇，李 昌，宋 華

（1.遼寧科技大學 機械工程學院，遼寧 鞍山 114051；2.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024）

環狀粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼的振動特性研究

王 宇1，翟敬宇2，李 昌1，宋 華1

（1.遼寧科技大學 機械工程學院，遼寧 鞍山 114051；2.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024）

文章采用傳遞矩陣法分析了懸臂邊界條件下環狀局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼的振動特性。基于樂甫薄殼理論，結合粘彈性阻尼的變形協調關系和層間作用力關系，建立了基層和約束層薄壁圓柱殼的一階狀態微分方程，利用傳遞矩陣法推導了結構的整體傳遞矩陣，并通過高精度的精細積分方法進行求解，得到了固有頻率、損耗因子和三維振型，探討了約束阻尼層位置變化時對振動特性的影響，并通過有限元法進行了比較，通過算例驗證了傳遞矩陣法對模態特性分析的有效性，前25階模態以周向振動為主，最低階固有頻率對應的三維模態振型為(1，5)，并且在懸臂端的振動位移最大，約束阻尼層覆蓋位置對薄壁圓柱殼振動特性的影響較大。

粘彈層合薄壁圓柱殼；懸臂邊界條件；環狀覆蓋；三維振型

0 引 言

薄壁圓柱殼構件在船舶、潛艇和航空航天等機械領域中應用廣泛，在外部復雜載荷等實際工況條件下，容易發生共振、失穩和疲勞損傷等故障，在服役過程通常使用敷設阻尼層對其進行減振降噪處理，由于實際管系布置和結構優化等因素，有時采用局部覆蓋約束阻尼層的方式，近年來其振動控制一直是研究的熱點問題之一[1-2]。對于懸臂邊界條件（即固支—自由約束條件）的薄壁圓柱殼構件，在基頻激勵作用下，作者對發生共振時的振動響應特征進行了研究，說明了對殼體結構進行模態振型、模態數量和振動特征分析的關聯和重要性[3-4]。然而，在懸臂邊界條件下，對帶有局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼的高階振動問題，例如約束阻尼層位于殼體不同位置時的三維模態振型等方面，尚缺少相應的研究成果，因此，對其振動特性進行深入研究，具有重要的理論意義和工程應用價值[5-8]。

利用粘彈性材料的高阻尼性能對薄壁圓柱殼構件進行振動抑制處理，改善薄壁圓柱殼構件的動力學性能，很多學者進行了這一領域的研究，并取得了眾多成果，具有代表性的文獻如下：Wang和Chen[9]利用模態假設法研究了局部覆蓋約束阻尼層圓柱殼的動力學問題，結果表明結構阻尼隨著約束層厚度和剛度的增大而增加，當約束層厚度達到一定值時阻尼效果并不明顯。Chen和Huang[10-11]研究了固定大小的帶狀被動約束阻尼層個數對圓柱殼振動衰減的影響。Sainsbury[12]和Mastib[13]采用有限元法研究了部分覆蓋約束阻尼層圓柱殼應變能強度的分布規律和減振方法。Mohammadi等[14]根據粘彈性層厚度方向上的位移變化關系，推導了約束阻尼層合殼的有限元模型，研究得到了其振動特性。李恩奇等[15]基于唐奈爾薄殼理論和哈密頓原理，推導出局部覆蓋約束層阻尼圓柱殼的運動方程，并通過Laplace變換和傳遞函數法得到了對邊固支邊界條件下的固有頻率、損耗因子和頻響曲線。楊少紅和王安穩[16]應用混合分層理論，推導出兩端簡支粘彈性層合圓柱殼的動力學方程，得到了結構的振動頻率和損耗因子。王祖華等[17]利用模態展開和Green函數法，分析了兩端簡支邊界條件下敷設阻尼層環肋圓柱殼在流場中的聲輻射特性。曹雄濤等[18]利用桑德斯薄殼理論和波傳播法，求解了兩端簡支被動約束層阻尼圓柱殼的自由振動特性。李超等[19]建立了圓柱殼阻尼材料的優化模型，對約束阻尼和自由阻尼材料布局進行了優化研究。王淼等[20]基于哈密頓變分原理，獲得了懸臂夾層圓柱殼的運動微分方程，采用譜有限元法研究了長徑比和徑厚比對固有頻率和損耗因子的影響。

本文針對懸臂邊界條件下的環狀局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼，基于薄殼理論和粘彈性理論，采用傳遞矩陣法進行了振動特性研究，求解得到了結構的高階固有頻率、三維模態振型和模態損耗因子，并通過有限元方法進行了比較，最后分析了約束阻尼層位置對整體結構振動特性的影響。

1 整體結構的模態特性分析

1.1 環狀覆蓋粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼模型

如圖1所示為局部環狀覆蓋粘彈性層合懸臂薄壁圓柱殼的模型，在柱坐標系Oxθz中，基層長度、中面半徑和壁厚表示為L、R1和H1，粘彈性阻尼層和約束層的長度均為L2-L1，阻尼層的中面半徑和壁厚表示為R2和H2，約束層的中面半徑和和厚度表示為R3和H3，uj、vj和wj表示基層和約束層在x、y和z方向上的振動位移。

圖1 局部覆蓋粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼模型Fig.1 Model of a partially covered viscoelastic laminated cantilever cylindrical shell

1.2 變形協調關系和層間作用力

粘彈性阻尼層通過基層和約束層的彎曲變形，起到振動耗能減振，由基爾霍夫平面假定和樂甫殼體理論[21]，假設分別表示基層和約束層的中面沿x、θ和z方向上的振動位移，阻尼層內沿x和θ方向的剪應力為：

圖2 層間徑向相互作用力和阻尼層內的剪切力Fig.2 Radial interactions between layers and shear force in damping layer

如圖2所示，對于粘彈阻尼層，當僅考慮法向慣性力時的平衡方程為

1.3 振動特性求解

首先，對基層（即j=1）進行分析，忽略任一區段的下角標i，振動微分方程表示為

內力與內力矩和中面位移間的關系為：

式中：E1為楊氏模量，μ1為泊松比，K1為薄膜剛度，D1為彎曲剛度。

對于面內剪力、橫向剪力和中法線繞θ軸的轉角，表達式分別為：

令m表示軸向半波數，n表示周向波數，ωmn表示固有頻率，定義位移解的形式為：

定義任一截面ξi上狀態向量中的8個元素為：

則位移、轉角、內力和內力矩表示為：

整理得到一階狀態向量微分方程組為：

同理，對于約束層薄壁圓柱殼，任一截面上狀態向量為：

一階狀態向量微分方程組表示為：

對于基層和約束層，傳遞矩陣的關系為：

消除變量后，定義狀態向量中的12個元素為：

將變形協調關系式（1）和法向平衡方程式（2），代入基層與約束層的振動微分方程中，對變量進行整理，推導得到一階微分方程組為：

式中：U是12×12階的矩陣。

如圖1所示，對整體結構進行求解時，可沿縱向分成a、b、c三段，將狀態向量式（14）進行處理，令

對于a段和b段的薄壁圓柱殼采用（10）式和（12）式描述，對于覆蓋區域采用（14）式描述。在軸向截面x=0、L1、L2和L位置，狀態向量之間存在關系為：

式中：Ta、Tb和 Tc分別為 a、b和 c段的傳遞矩陣。

消去 Y1（La）和 Y1（Lb），整理得

對于某一階模態，整合各個變量后可以得到ξ0層的徑向位移，然后利用每個區段的子傳遞矩陣關系，可以得到任一截面處的振動位移關系，最后求出整體結構的模態振型。

則固有頻率和模態損耗因子分別為：

2 算例求解與分析

在懸臂邊界條件下，通過算例對模態特性進行求解，選取構件的幾何參數與材料參數為：L=0.3 m，L1=0.1m，L2=0.2 m，R1=0.3 m，H1=0.003 m，H2=0.001 m，H3=0.002 m，基層和約束層的彈性模量為 E1=E3=70 GPa，密度為 ρ1=ρ3=2 700 kg/m3，泊松比為 μ1=μ3=0.3，粘彈性層的復剪切模量為 G2=0.896泊松比 μ2=0.498，ρ2=999 kg/m3。

（1）中部覆蓋阻尼層薄壁圓柱殼的振動特性

對于中部覆蓋約束阻尼層的薄壁圓柱殼，求得的固有頻率和模態損耗因子如表1所示，三維模態振型圖如表2所示，并通過有限元程序ANSYS的結果進行比較，其中單元類型取三維高階實體單元SOLID186，采用VROATA命令從截面繞軸旋轉生成模型，從相鄰面掃掠體的方法生成網格，包括2 400個單元和14 580個節點。

由表1可以看出，隨著階次的增加，利用傳遞矩陣法和有限元法得到的前25階模態振型變化關系一致，以周向模態振型變化為主，軸向模態振型出現在m=1、2和3，周向振型最高階出現在n=14，其中，前4階三維模態振型依次出現在m=1和n=5、6、4、7；第1階模態振型發生在軸向半波數為1和周向波數為5，對應的固有頻率分別為350.36 Hz和347.8 Hz，模態損耗因子分別為0.013 44和0.016 5，通過誤差比較可知，固有頻率的最大誤差值小于2%，模態損耗因子的最大誤差值小于7%，說明了采用傳遞矩陣法對固有頻率和模態損耗因子求解的有效性。

表1 局部覆蓋粘彈性層合薄壁圓柱殼的固有頻率和模態損耗因子Tab.1 Natural frequencies and modal loss factors of a partially covered viscoelastic laminated cylindrical shell

由表1可知，前4階模態發生在軸向半波數為m=1和周向波數為n=4、5、6、7，則由兩種方法求解m=1、2和n=4、5、6、7得到的三維模態振型如表2所示，整體結構的振動位移變化關系一致，反映了構件在懸臂端的振動狀態，即在懸臂端處節點的振動位移最大，其中最低階（1，5）對應的三維模態振型表現為懸臂端周向波數為5的花瓣形狀，說明了使用傳遞矩陣法對三維模態振型求解的有效性。

（2）約束阻尼層位置對振動特性的影響

當基層、阻尼層和約束層的尺寸參數和材料參數不變時，僅改變阻尼層的軸向覆蓋位置，當軸向半波數為1時振動特性如圖3～5所示。由圖3和圖4可知，隨著周向波數的增加，當約束阻尼層位于薄壁圓柱殼下部時固有頻率值最高，固有頻率值減小的順序依次為約束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋阻尼層時的固有頻率值最低，同時上部覆蓋阻尼層和全覆蓋阻尼層的固有頻率值比較接近，固有頻率最低的一階均出現在第（1，5）階；對于模態損耗因子，當阻尼層位于薄壁圓柱殼下部時模態損耗因子最小，模態損耗因子增加的順序依次為約束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋約束阻尼層時的模態損耗因子最高，損耗因子越高時減振效果越好。這是由于約束阻尼層的影響，對基層薄壁圓柱殼起到了約束和耗能作用，當約束阻尼層在下側時對于整體結構剛度和阻尼影響不大，在上側時導致了固有頻率降低和損耗因子升高，也就更接近于全覆蓋約束阻尼層時的情況。

表2 局部覆蓋粘彈性層合薄壁圓柱殼的模態振型Tab.2 Three-dimensional modal shapes of a partially covered viscoelastic laminated cylindrical shell

圖3 約束阻尼層位置對固有頻率的影響Fig.3 The influence of constrained damping layer’s position to natural frequencies

圖4 約束阻尼層位置對模態損耗因子的影響Fig.4 The influence of constrained damping layer’s position to modal loss factors

圖5 約束阻尼層位置不同時整體結構的三維模態振型Fig.5 Three-dimensional modal shapes with different position of constrained damping layer

當約束阻尼層分別位于薄壁圓柱殼的上部、中部、下部和全覆蓋時，以最低階固有頻率對應的振型（1，5）為例，如圖5和表2所示，三維模態振型均表現為懸臂端周向波數為5的花瓣形狀，這是由于下端是固定的，對于結構有較強的約束，而對于上部約束的影響較小，引起懸臂端的振動位移最大，這一階也是整體結構最容易發生共振的一階。

3 結 論

在懸臂邊界條件下，通過算例求解得到了環狀局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼的模態振動特性，并通過有限元法進行了比較，主要結論如下：

（1）對于中部覆蓋約束阻尼層的薄壁圓柱殼，隨著階次的增加，采用兩種方法得到的固有頻率的誤差值小于2%，模態損耗因子的誤差值小于7%，三維模態振型的變化關系一致，并且以周向模態的振動為主，前4階三維模態振型依次出現在m=1和n=5、6、4、7，固有頻率最低的（1，5）階三維振型表現為周向波數為5的花瓣形狀，在懸臂端的振動位移最大，說明了采用傳遞矩陣法對于此類結構模態振動特性分析的有效性。

（2）當約束阻尼層的覆蓋位置不同時，當位于下部時固有頻率值最高，固有頻率依次減小的順序為約束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋時固有頻率最低，固有頻率最低階模態振型均出現在（1，5）階；對于模態損耗因子，當約束阻尼層位于下部時損耗因子最小，數值結果依次增加的順序為約束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋時模態損耗因子最高。因此，從結構優化設計和減振效果的角度出發，當約束阻尼層位于上部時的減振效果比較好，應根據實際情況對構件進行減振處理。

[1]黃志誠,秦朝燁,褚福磊.附加粘彈阻尼層的薄壁構件振動問題研究綜述[J].振動與沖擊,2014,33(07):105-113.Huang Zhicheng,Qin Zhaoye,Chu Fulei.A review about vibration problems of thin-walled structures with viscoelastic damping layer[J].Journal of Vibration and Shock,2014,33(07):105-113.

[2]俞孟薩,劉延利,廖彬彬.腔室內部聲場與結構振動耦合特性及噪聲控制研究綜述[J].船舶力學,2012,16(1-2):191-201.Yu Mengsa,Liu Yanli,Liao Binbin.Summarization on the research of coupling character between cavity acoustics and structure vibration together with noise control[J].Journal of Ship Mechanics,2012,16(1-2):191-201.

[3]王 宇,羅 忠.薄壁圓柱殼構件受迫振動的響應特征研究[J].振動與沖擊,2015,34(07):103-108.Wang Yu,Luo Zhong.Study on response characteristics for forced vibrations of thin cylindrical shell[J].Journal of Vibration and Shock,2015,34(07):103-108.

[4]王 宇,翟敬宇,李 暉,等.模態數量對薄壁短圓柱殼振動響應分析的影響[J].噪聲與振動控制,2014,34(02):50-55.Wang Yu,Zhai Jingyu,Li Hui,et al.Influence of modal numbers of short thin cylindrical shell on its forced vibration response[J].Noise and Vibration Control,2014,34(02):50-55.

[5]韓清凱,王 宇,李學軍.旋轉薄壁圓柱殼的高節徑振動特性以及篦齒結構的影響[J].中國科學:物理學 力學 天文學,2013,43(04):436-458.Han Qingkai,Wang Yu,Li Xuejun.High nodal diameter vibration characteristics of rotating shell and the effects of its sealing teeth[J].Scientia Sinica Physica,Mechanica＆Astronomica,2013,43(04):436-458.

[6]解妙霞,陳花玲,吳九匯.圓柱殼高頻彎曲振動的能量有限元分析[J].西安交通大學學報,2008,42(09):1113-1116.Xie Miaoxia,Chen Hualing,Wu Jiuhui.Energy finite element analysis to high-frequency bending vibration in cylindrical shell[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,2008,42(09):1113-1116.

[7]漆萬鵬,侯 磊.正交各向異性圓柱殼的軸對稱和梁式振動分析[J].船舶力學,2010,14(8):908-914.Qi Wanpeng,Hou Lei.Axisymmetric and beamlike vibration of orthotropic circular cylindrical shell[J].Journal of Ship Mechanics,2010,14(8):908-914.

[8]李 暉,孫 偉,許 卓,等.基于激光旋轉掃描的約束態薄壁圓柱殼模態振型測試新方法[J].振動與沖擊,2014,33(16):155-159.Li Hui,Sun Wei,Xu Zhuo,et al.Experimental method of laser rotating sanning to measure mode shapes of constrained thin cylindrical shell[J].Journal of Vibration and Shock,2014,33(16):155-159.

[9]Wang H J,Chen L W.Finite element dynamic analysis of orthotropic cylindrical shells with a constrained damping layer[J].Finite Elements in Analysis and Design,2004,40(7):737-755.

[10]Chen L H,Huang S C.Vibrations of a cylindrical shell with partially constrained layer damping(CLD)treatment[J].International Journal of Mechanical Sciences,1999,41(12):1485-1498.

[11]Chen L H,Huang S C.Vibration attenuation of a cylindrical shell with constrained layer damping strip treatment[J].Computers and Structures,2001,79(14):1355-1362.

[12]Sainsbury M G,Mastib R S.Vibration damping of cylindrical shells using strain-energy-based distribution of an add-on viscoelastic treatment[J].Finite Elements in Analysis and Design,2007,43:175-192.

[13]Mastib R S,Sainsbury M G.Vibration damping of cylindrical shells partially coated with a constrained viscoelastic treatment having a standoff layer[J].Thin-Walled Structures,2005,43:1355-1379.

[14]Mohammadi F,Sedaghati R.Linear and nonlinear vibration analysis of sandwich cylindrical shell with constrained viscoelastic core layer[J].International Journal of Mechanical Sciences,2012,54:156-171.

[15]李恩奇,李道奎,唐國金,等.基于傳遞函數方法的局部覆蓋環狀CLD圓柱殼動力學分析[J].航空學報,2007,28(6):1487-1493.Li Enqi,Li Daokui,Tang Guojin,et al.Dynamic analysis of cylindrical shell with partially covered ring-shape constrained layer damping by the transfer function method[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2007,28(6):1487-1493

[16]楊少紅,王安穩.基于混合分層理論的粘彈層合圓柱殼的阻尼振動和層間應力研究[J].工程力學,2008,25(3):38-42.Yang Shaohong,Wang Anwen.Damping vibration and interlaminar stresses atudy using mixed layerwise theories for viscoelastic laminated cylindrical shell[J].Engineering Mechanics,2008,25(3):38-42.

[17]王祖華,彭 旭,謝官模.部分敷設阻尼層的有限長環肋圓柱殼聲輻射計算方法研究[J].船舶力學,2010,14(4):430-438.Wang Zuhua,Peng Xu,Xie Guanmo.Sound radiation from submerged finite ringstiffened cy-lindrical shells,partially covered with compliant layers[J].Journal of Ship Mechanics,2010,14(4):430-438.

[18]曹雄濤,張志誼,華宏星.約束層阻尼圓柱殼的自由振動[J].應用數學和力學,2011,32(4):470-482.Cao Xiongtao,Zhang Zhiyi,Hua Hongxing.Free vibration of circular cylindrical shell with constrained layer damping[J].Applied Mathematics and Mechanics,2011,32(4):470-482.

[19]李 超,李以農,施 磊,等.圓柱殼體阻尼材料布局拓撲優化研究[J].振動與沖擊,2012,31(4):48-52.Li Chao,Li Yinong,Shi Lei,et al.Topological optimization for placement of damping material on cylindrical shells[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(4):48-52.

[20]王 淼,孟 光,方之楚,等.夾層圓柱殼振動的譜有限元分析[J],應用力學學報,2009,26(4):715-720.Wang Miao,Meng Guang,Fang Zhichu,et al.Spectral finite element analysis for vibration of sandwiched shell[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,2009,26(4):715-720.

[21]Soedel W.Vibrations of shells and plates[M].CRC Press,2004.

[22]向 宇,黃玉盈,黃健強.一種新型齊次擴容精細積分法[J].華中科技大學學報(自然科學版),2002,3(11):74-76.Xiang Yu,Huang Yuying,Huang Jianqiang.A method of homogenization of high precision direct integration[J].Journal Huazhong University of Science and Technology(Nature Science Edition),2002,30(11):74-76.

Study on vibration characteristics of a ring covered viscoelastic laminated cantilever thin cylindrical shell

WANG Yu1,ZHAI Jing-yu2,LI Chang1,SONG Hua1
(1.School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Liaoning,Anshan 114051,China;2.School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Vibration characteristics of a ring covered viscoelastic laminated cantilever thin cylindrical shell are studied by transfer matrix method.A first-order ordinary differential equations for the host shell and the constraining layer are established based on Love’s shell theory combining with deformation coordination of viscoelastic damping layer and interactional forces,and an integrated transfer matrix of the whole component is derived by transfer matrix method.Then,the natural frequencies,loss factors and three-dimensional shapes are derived by high-precise integration method,and its vibration characteristics are discussed when the covered position is different.Finally,the results are compared with results of finite element method.The example results show that transfer matrix method is effective to solve the vibration characteristics of the ring covered viscoelastic laminated cantilever thin cylindrical shell,and the main modal vibration occurs in the circumferential direction.The three-dimensional modal shape corresponding to the lowest order natural frequency is(1,5),and the cantilever’s vibration displacement is maximum.At the same time,the covered location of constrained damping layer has obvious impact on modal characteristics of the thin cylindricalshell.

viscoelastic laminated thin cylindrical shell;cantilever boundary condition;ring covered;three-dimensional modal shape

O326 TH113.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.009

1007-7294（2017）11-1393-11

2017-05-18

遼寧省科技廳博士科研啟動基金項目（201601295）；遼寧省教育廳自由探索重點項目（2016TSZD07）；遼寧科技大學優秀人才項目

王 宇（1979-），男，博士，講師，E-mail：wangyu435@126.com；

翟敬宇（1983-），男，博士，講師。