彈性邊界剛度對充液圓柱殼耦合頻率的影響分析

梁 斌，陳金曉，李 戎，劉林霞

（河南科技大學 土木工程學院，河南 洛陽 471023）

彈性邊界剛度對充液圓柱殼耦合頻率的影響分析

梁 斌，陳金曉，李 戎，劉林霞

（河南科技大學 土木工程學院，河南 洛陽 471023）

研究了彈性邊界剛度對充液圓柱殼的振動特性影響。基于Flügge理論并考慮流體的影響，根據波動法建立彈性邊界條件下充液圓柱殼的耦合振動特征方程，采用一種改進傅里葉級數的計算方法得到彈性邊界條件下的軸向波數，將求得的軸向波數代入耦合方程并利用牛頓迭代法求解方程得到耦合頻率。通過與兩種邊界條件下充液圓柱殼的計算結果進行對比，驗證了文中研究方法的有效性和正確性。通過算例，分析了在邊界約束剛度變化過程中，充液圓柱殼的耦合頻率在不同軸向波數、殼體尺寸等因素下的變化規律。

彈性邊界；圓柱殼；充液；波動法；耦合頻率

0 引 言

圓柱殼結構是一種在航空航天、海洋工程等領域廣泛應用的結構形式，這類結構通常會在非常復雜和極端的環境下應用，如強空氣動力作用、流體作用。因此，研究復雜環境下的圓柱殼在不同情況下的動力學行為特性，對這類結構在實際工程中的安全應用具有非常重要的意義。

目前，圓柱殼在不同條件下的動力學性能研究已經取得一些研究成果。Li等[1]在波動法的基礎上，研究了圓柱殼在不同邊界條件下的自由振動特性，并將波動法與其它方法進行對比，發現了波動法在計算上的優越性。Liang等[2]利用Love薄殼理論，研究了殼體尺寸、環向波數、邊界條件、旋轉速度等因素對旋轉功能梯度材料（FGM）圓柱殼固有頻率的影響。Sheng等[3]利用一階剪切變形理論研究了盛有流體的FGM圓柱殼的振動特性。伊克巴爾等[4]在波動法的基礎上，考慮流體的影響，研究了液體、環向波數、邊界條件等因素對充液FGM圓柱殼耦合振動的影響。Zhou[5]對充液環肋圓柱殼的振動特性和穩定性進行了研究。Liang等[6]研究了殼體尺寸、邊界條件等因素對充液FGM圓柱殼耦合頻率的影響。劉等[7]把靜水壓力作為預應力計入殼體振動方程當中，研究了內部流體靜壓力對充液圓柱殼振動的影響。Zhu等[8]基于Flügge理論，運用波動法研究了水下圓柱殼的耦合振動特性。馬旭等[9]基于波動法，采用改進傅里葉級數方法建立彈性約束邊界條件下圓柱殼的振動模型，研究了圓柱殼在彈性約束邊界條件下的自由振動和強迫振動特性。李文達等[10]在Sanders薄殼理論的基礎上，根據改進的傅里葉級數方法，并結合Rayleigh-Ritz法，研究了彈性邊界條件下旋轉薄壁圓柱殼的自由振動特性，分析了邊界約束剛度、轉速、殼體尺寸等因素對固有頻率的影響。但是由于彈性邊界及充液耦合作用的復雜性，尚未發現考慮彈性邊界條件下，充液圓柱殼振動特性的研究文獻。

本文在Flügge理論的基礎上，采用波動法和改進傅里葉級數方法建立彈性邊界條件下充液圓柱殼振動頻率的特征方程，運用計算軟件MATLAB求解特征方程得到圓柱殼在彈性邊界下的耦合頻率。通過退化計算，將兩端固支和兩端簡支的充液圓柱殼的耦合頻率的計算結果進行對比，驗證本文計算的有效性和正確性。最后通過算例，探討三種邊界約束條件下，周向波數和軸向半波數對充液圓柱殼耦合振動的影響，同時研究在三種約束剛度下，耦合作用、殼體尺寸等因素對圓柱殼耦合振動的影響。

1 力學模型

圖1所示為圓柱殼的力學模型，R表示平均半徑，L表示圓柱殼長度，h表示圓柱殼壁厚，本文在圓柱殼的中面上建立正交坐標系（x，θ， ）z ，其中x，θ和z分別為圓柱殼的軸向、環向和徑向坐標。

圖1 圓柱殼模型Fig.1 Geometry of cylindrical shell

圖2 彈性邊界Fig.2 Elastic boundary supports

圖2中所示為彈性邊界約束模型，k0，k1為徑向約束剛度，K0，K1為扭轉約束剛度。通過不同的剛度值組合可以實現所有的邊界條件。例如，當剛度值均為0時，代表自由邊界條件；當扭轉剛度值為0，徑向剛度值為無窮大時，代表兩端簡支邊界條件；當剛度值均為無窮大時，代表兩端固支邊界條件。

2 理論推導

根據Flügge理論[11]，圓柱殼的運動方程為：

用波動法表示的圓柱殼振動位移方程如下：

其中：Um，Vm，Wm分別表示x，θ，z方向的波幅，ω表示固有角頻率，km的大小與約束邊界的約束剛度有關，文獻[12]中采用改進傅里葉級數的計算方法求km。

采用波動法，在圓柱殼的彎曲振動分析中，相應邊界條件下的圓柱殼的軸向波數km可以用梁的彎曲振動波數來替代。

梁的運動微分方程為：

其中：DL，ρL，AL代表梁的剛度，密度和橫截面面積。

p（x）是為了克服余弦級數的不連續性而引入的輔助函數。

其中：

將（4）式代入（3）式得到：

將（10）式進行推導，最終可以化為標準的矩陣求解特征值問題，求解方程可以得到相應的軸向波數。

計算中需要考慮流體與圓柱殼結構的耦合效應，在流體中用柱坐標表示的聲壓場為：

其中：Jn（）表示n階Bessel函數，軸向波數km和徑向波數kr滿足的關系表達式為：

其中：ρf表示流體密度，Jn′（）表示函數對變量krR的一階導數。 將相應的軸向波數代入（2）式，將（2）式代入（1）式，并結合方程（11）得到用矩陣表示的耦合系統運動方程：

其中：FL表示流體聲場作用所產生的流體荷載項，

將方程（16）代入到方程（15）中求解方程，可以得到：

3 數值計算及分析

3.1 有效性及收斂性分析

為了驗證本文研究方法的正確性和有效性，表1和表2分別給出了兩端固支條件下和兩端簡支條件下充液圓柱殼耦合頻率的計算結果，并與參考文獻[13]和參考文獻[6]的計算結果進行了對比，結果表明了本文求解彈性邊界條件下充液圓柱殼耦合頻率的計算方法的正確性和有效性。表中計算參數均與參考文獻中的計算參數相同。m表示軸向半波數，n表示周向波數。在運用傅里葉級數的方法求解軸向波數km時，截取M=10，就可以得到基本收斂的計算結果。

表1 兩端固支條件下充液圓柱殼的耦合頻率計算結果對比Tab.1 Comparison between the results of calculation of the coupled frequencies for fluid-filled cylindrical shells with C-C

表2 兩端簡支條件下充液圓柱殼的耦合頻率計算結果對比Tab.2 Comparison between the results of calculation of the coupled frequencies for fluid-filled cylindrical shells with SS-SS

3.2 邊界剛度對充液圓柱殼耦合頻率的影響

本文通過多組算例研究了彈性邊界條件下充液圓柱殼的耦合振動特性，在不同邊界約束的情況下，通過改變約束剛度、周向波數、殼體尺寸等因素，分析了圓柱殼耦合頻率的變化規律，計算結果見圖3-11。 本文算例中，選用的圓柱殼幾何參數為：E=2.077 88×1011，υ=0.317 756，ρ=8 166，h/R=0.002，L/R=20。

圖3 不同m值下耦合頻率變化規律曲線 （邊界約束A） Fig.3 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints A)

圖4 不同m值下耦合頻率變化規律曲線 （邊界約束B）Fig.4 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints B)

為了便于分析，計算過程中均采用無量綱約束剛度（約束剛度值除以彎曲剛度 DL），即：k0′=k0/DL，k1′=k1/DL，K0′=K0/DL，K1′=K1/DL。計算中選用三種邊界約束情況，第一種為 K0′，K1′為 0、k0′，k1′同時從1增大至100 000，即邊界條件從兩端自由到兩端簡支中變化，視為邊界約束A；第二種為k0′，k1′為無窮大、K0′，K1′同時從 1 增大至 100 000，即邊界條件從兩端簡支到兩端固支中變化，視為邊界約束 B；第三種為 k0′，K0′為無窮大、K1′=0、k1′從 1增大至100 000，即邊界條件從一端固定、一端自由到一端固定、一端簡支中變化，視為邊界約束C。計算過程中無窮大均取1010。圖3-11中，約束剛度值均取對數值 log k0′，log k1′，log K0′，log K1′表示，其余情況下的約束剛度值均用實際值表示。

圖5 不同m值下耦合頻率變化規律曲線（邊界約束C）Fig.5 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints C)

圖3-5給出了三種邊界約束條件下，充液圓柱殼耦合頻率在不同n值情況下隨著約束剛度增大的變化規律曲線。計算中取n=2。可以看出，隨著m值的增大，三種邊界約束條件下的耦合頻率均增大；隨著約束剛度的增大，不同m值情況下耦合頻率的變化規律相似，即均是先增大之后趨于平緩；對比三幅圖可以發現，三種邊界約束條件下，耦合頻率增大過程中的約束剛度的范圍明顯不同：邊界約束A時，m=1和m=2情況下，約束剛度在10～100之間，m=3情況下，約束剛度在10～10 000之間；邊界約束B時，約束剛度在1～100之間；邊界約束C時，m=1時，約束剛度在1～100之間，m=2時，約束剛度在10～1 000之間，m=3時，約束剛度在10～10 000之間。當m=1時，三種邊界條件下的耦合頻率的增大幅度都很小。

圖6 不同n值下耦合頻率變化規律曲線 （邊界約束A) Fig.6 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number (boundary constraints A)

圖7 不同n值下耦合頻率變化規律曲線 （邊界約束B）Fig.7 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number(boundary constraints B)

圖8 不同n值下耦合頻率變化規律曲線（邊界約束C）Fig.8 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number(boundary constraints C)

圖9 不同約束剛度下的固有頻率變化 規律曲線Fig.9 Variation of coupled frequency with different elastic boundary stiffness

以下取m=1。圖6-8給出了三種邊界約束條件下，充液圓柱殼耦合頻率在不同n值情況下隨著約束剛度增大的變化規律曲線。可以看出，隨著n值的增大，三種邊界約束條件下的耦合頻率變化規律不同：邊界約束A時，耦合頻率均隨著n值的增大而增大；邊界約束B時，耦合頻率均隨著n值的增大先減小后增大；邊界約束C時，在約束剛度為1～10的情況下，耦合頻率均隨著n值的增大而增大，在約束剛度為100～100 000的情況下，耦合頻率均隨著n值的增大先減小后增大，兩個不同的變化規律是在約束剛度為10～100之間過渡的。隨著約束剛度的增大，三種邊界約束條件下的耦合頻率的變化規律也表現出明顯的不同：邊界約束A和邊界約束C時，約束剛度對耦合頻率的影響主要體現在n=2的情況下，隨著約束剛度的增大，耦合頻率先增大后趨于一個定值，且耦合頻率的增大主要在約束剛度為1～1 000之間；邊界約束B時，n=2和n=3時，耦合頻率隨著約束剛度的增大先增大后趨于一定值，且耦合頻率的增大主要在約束剛度為1～100之間；隨著n值的增大，約束剛度對耦合頻率的影響越來越小。

以下取n=2。圖9給出了邊界約束B條件下，考慮耦合作用和不考慮耦合作用下的充液圓柱殼固有頻率隨著約束剛度增大的變化規律曲線。從圖中可以看出，不考慮耦合作用的固有頻率顯著大于考慮耦合作用的固有頻率。隨著約束剛度的增大，兩種情況下的頻率均是先增大后趨于穩定，但是考慮耦合作用的耦合頻率的增大幅度比較小。

圖10給出了邊界約束B條件下，三種約束剛度情況下耦合頻率隨著L/R增大的變化規律曲線。從圖中可以看出，隨著L/R的增大，三種約束剛度下的耦合頻率的變化規律相似，均為不斷減小，且下降幅度也在在不斷減小。

圖11給出了邊界約束B條件下，三種約束剛度情況下耦合頻率隨著h/R增大的變化規律曲線。從圖中可以看出，三種約束剛度下的耦合頻率變化規律相似，隨著h/R的增大，耦合頻率均增大，且增大幅度比較均勻，而約束剛度的變化只是改變了耦合頻率的大小。

圖10 不同L/R下的耦合頻率變化規律曲線 Fig.10 Variation of coupled frequency with different length-radius ratio of the shell

圖11 不同h/R下的耦合頻率變化規律曲線Fig.11 Variation of coupled frequency with different thickness-radius ratio of the shell

4 結 論

（1）隨著m值的增大，耦合頻率顯著增大。不同邊界約束條件下，隨著約束剛度的增大，耦合頻率的反應靈敏度不同。

（2）不同邊界約束條件下，耦合頻率隨著n值的增大的變化規律不同。約束剛度對耦合頻率的影響只表現在n值較小的情況下：隨著約束剛度的增大，耦合頻率先增大之后趨于一個定值。

（3）不考慮耦合作用的固有頻率顯著大于考慮耦合作用的固有頻率，耦合作用的存在弱化了約束剛度對固有頻率的影響。

（4）殼體尺寸對耦合頻率的影響比較明顯：隨著L/R的增大，耦合頻率不斷下降；隨著h/R的增大，耦合頻率不斷增大。改變約束剛度，耦合頻率隨殼體尺寸變化的變化規律并不發生改變，改變的只是耦合頻率的大小。

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Influence of elastic boundary stiffness on the coupling frequency of fluid-filled cylindrical shells

LIANG Bin,CHEN Jin-xiao,LI Rong,LIU Lin-xia
(Civil Engineering School,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

The coupled vibration characteristics of fluid-filled cylindrical shells under elastic boundary conditions are studied.Based on the Flügge theory and considering the influence of the fluid,the coupled characteristic equations of fluid-filled cylindrical shells are derived by wave method,the axial wave number obtained by the Fourier series method is substituted into the coupled characteristic equation and the coupled frequency of fluid-filled cylindrical shells under elastic boundary conditions obtained by Newton iterative method.The present analysis is validated by comparing results with fluid-filled cylindrical shells with clamped supported-clamped supported(C-C).By numerical examples,the vary regular of coupled frequency for fluid-filled cylindrical shells under different axial wave number and shell size with the constantly changing of elastic boundary stiffness is analyzed.

elastic boundary;cylindrical shell;fluid-filled;wave method;coupled frequency

O32

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.011

1007-7294（2017）11-1414-08

2017-08-22

國家自然科學基金資助項目（U1604135；11402077）

梁 斌（1963-），男，教授，博士生導師，E-mail：liangbin4231@163.com；

陳金曉（1991-），女，碩士研究生，E-mail：chenjinxiao0520@163.com。