翻邊開孔對矩形板振動頻率的影響

王文勝，魏豪杰，侯中華，王占磊，梅 群

（河南科技大學 工程力學系，河南 洛陽 471023）

翻邊開孔對矩形板振動頻率的影響

王文勝，魏豪杰，侯中華，王占磊，梅 群

（河南科技大學 工程力學系，河南 洛陽 471023）

研究了帶有翻邊長圓開孔矩形板的振動特性。利用ANSYS軟件建立翻邊開孔矩形板的參數化有限元模型，獲得不同開孔參數（開孔率、翻邊高度、開孔位置及轉動）情況下結構的前兩階固有頻率。在此基礎上數值分析翻邊開孔參數對矩形板前兩階固有頻率的影響，發現翻邊開孔能顯著改變矩形板的固有頻率，且與板的邊界約束條件有很大關系。研究結果為實際結構的翻邊開孔設計提供了參考。

翻邊；長圓孔；矩形板；固有頻率

0 引 言

在實際工程結構中，為了實現結構的方便觀測、維修以及減重或者性能優化等方面的需求，在船舶、航空、建筑工程等領域，經常需要在板上開通風孔、管線過孔或減重孔等。結構開孔后會在孔周邊出現應力集中現象，降低了構件的靜強度。而且開孔后結構的質量和剛度分布特性會發生改變，對結構的固有頻率或振型等力學性能有較大影響。因此開孔后結構的力學性能分析一直是研究熱點問題[1-6]，在工程結構設計中具有重要意義。

開孔矩形板的振動問題受到國內外學者的廣泛關注，主要考慮了帶有圓形、橢圓或矩形等開孔形狀矩形板的動力性能分析[7-9]。而實際工程中如果采用沖壓開孔的方法在結構上開孔，產生開孔的同時可以在孔邊形成一定高度的翻邊，對于帶有翻邊開孔的矩形板動力性能分析的研究工作似未見報道。本文以帶有翻邊長圓形開孔的矩形板為研究對象，采用ANSYS軟件建立翻邊開孔矩形板的參數化模型，分析不同開孔參數（開孔率、翻邊高度、開孔位置及開孔轉動）對矩形板第一、第二階固有頻率的影響及變化規律，為實際結構的翻邊開孔設計提供參考。

1 薄板振動理論

根據瑞雷—里茨能量理論[10]，假設薄板自由振動時的頻率為ω及振形為（x，y ），其瞬時撓度可表示為：

由（1）式可得振動速度為：

而對于存在自由邊約束的開孔薄板，則由下式計算其應變能：

當薄板振動位于其平衡位置時，應變能為零，動能達到最大值KBmax：

其中：稱為薄板的彎曲剛度，E為彈性模量，μ為泊松比，A0=A1-A2，A1為整個矩形板的面積，A2為孔口部分的面積，為開孔薄板每單位面積內的質量。

根據能量守恒定理可知，薄板在距平衡位置最遠時的應變能需要等于它在平衡位置時的動能。若選定薄板的振形函數（x， ）y 滿足位移邊界條件，則按（3）至（5）式求出最大應變能及動能，命UBmax=KBmax，即可求得薄板的最低固有頻率。

對于用肋條加強了的薄板，仍然可以用能量法求解薄板的固有頻率，但須按照肋條的彎曲剛度、質量分布和設定的振形函數求解出肋條的最大應變能ULmax及動能KLmax，并分別計入結構總應變能Umax和總動能Kmax，然后再利用Umax=Kmax計算結構振動頻率。

以圖1所示加肋板結構為例，肋條在薄板平面內的慣性效應和扭轉剛度與其橫向抗彎剛度相比可以忽略[11]，因此可以只考慮肋條的橫向彎曲振動。同時考慮到肋條的偏心，其剛度的計算以整個薄板橫截面的彎曲中性面為參考。

圖1 加肋板結構圖示Fig.1 Structure of the stiffened plate

x方向某一肋條的應變能和動能可分別表示為

同理y方向某一肋條的應變能和動能可分別表示為

式中：EIy和EIx分別為x、y方向肋條對加肋板中性面的抗彎剛度，x和y分別為x、y方向肋條單位長度上的質量。利用（6）式及（7）式可求出板上肋條的應變能及動能，在此基礎上進行疊加即可得到所有肋條的最大應變能ULmax及動能KLmax。在極坐標系下，對（6）式及（7）式做坐標變換即可求解環形加肋的應變能及動能。

對于本文要研究的翻邊長圓孔矩形板，由薄板振動理論可知開孔面積及翻邊對薄板的固有頻率均有影響，下面將利用ANSYS軟件分析不同邊界條件及翻邊長圓孔參數下矩形板的前兩階固有頻率，進而分析翻邊開孔對其動力性能的影響。

2 翻邊開孔模型

定義矩形板開孔率為：

圖2 具有翻邊長圓孔的矩形板Fig.2 A rectangular plate with circle-rectangular flanged cutout

表1 開孔參數的取值Tab.1 Values of flanged-cutout parameters

選取矩形薄板邊界條件為固支（Clamped）、簡支（Simply supposed）或自由（Free）。做如下規定：從矩形板左邊（x=-L/2）邊界開始按逆時針順序，用4個字母分別表示矩形板四個邊界的約束條件。利用ANSYS軟件APDL程序實現矩形板翻邊開孔的參數化建模與分析，選用SHELL181作為模型單元，根據表1中各組開孔參數，對開孔矩形薄板進行振動分析。

3 開孔率對矩形板振動頻率的影響

開孔率與大圓半徑R及孔直邊長度L1有關。首先考慮大圓半徑R的影響，在矩形板中心開孔，取直邊長度L1=80 mm，翻邊高度h=8 mm。表2給出了中心開孔后，一端固支（CFFF）矩形板前兩階固有頻率值。為便于比較，對無孔板在一端固支條件下的固有頻率進行了模擬，ANSYS分析結果為：f1=8.364 Hz，f2=28.204 Hz。由表2可知：矩形板翻邊開孔后，板的固有頻率發生了變化，其影響效果與開孔的開孔面積（或開孔率）有關。與未開孔時矩形板的固有頻率相比，隨著開孔率的增大第一階頻率持續增加；對于第二階頻率，開孔較小時頻率不斷上升，但隨著開孔率的增加而不斷降低，而且會出現開孔板的第二階頻率將低于無開孔時板的第二階頻率的情況（φ＞0.023）。

圖3給出了其余不同邊界約束條件下，矩形板前兩階固有頻率隨開孔率的變化情況。由圖3可知，隨著開孔率的增加，這幾類邊界約束條件下矩形板前兩階頻率不斷增大，且均大于開孔前板的相應固有頻率。翻邊開孔對矩形板頻率的影響程度與邊界條件有關，四邊固支（CCCC）條件下的影響程度最高。

圖3 不同約束條件，矩形板前兩階頻率隨開孔率變化情況 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.3 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various area(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

保持開孔圓尺寸不變和翻邊高度不變的情況下，分析直邊長度L1對矩形板頻率的影響。取R=90 mm，r=85 mm，翻邊高度h=8 mm，在矩形板中心開孔。表3給出了一端固支（CFFF）矩形板前兩階固有頻率值隨L1的變化情況。由表3可知隨著直邊長度L1的增加，第一階頻率持續增加，均大于未開孔時的頻率；第二階固有頻率則不斷降低，均小于未開孔時的結果。與表2中所示頻率變化趨勢一致（φ≥0.023時）。

圖4給出了其余幾種邊界約束條件下矩形板前兩階固有頻率隨直邊長度L1的變化情況。由圖4可知，隨著直邊長度L1的增加，除CSCS約束條件外，這幾類邊界約束條件下矩形板前兩階頻率不斷增大，且均大于開孔前板的相應固有頻率。而對于CSCS約束條件，第一階頻率隨著L1的增加不斷升高，第二階頻率呈現先增加后降低的趨勢（φ≥0.295）。

表3 長度L1對一端固支開孔矩形板的頻率影響Tab.3 Influence of L1on the first two frequencies of a clamped-free plate

圖4 不同約束條件，矩形板頻率隨直邊長度L1變化情況 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.4 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various L1(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

圖5給出了CSCS約束條件下開孔矩形板的第二階振型，表現為反對稱于坐標x軸。分析認為在CSCS約束條件下，增大R保持L1不變的開孔方式將結構質量向固支邊（矩形板左右兩邊）集中，增大L1保持R不變的開孔方式則將結構質量向簡支邊集中，前一種情況下結構的振動頻率較大。由此可見開孔形狀變化對于矩形板的振動頻率也有較大影響。

4 翻邊高度對矩形板頻率的影響

圖5 CSCS約束條件下矩形板的第二階頻率振型Fig.5 The second vibration mode of rectangular plate in CSCS

為研究翻邊高度對矩形板振動頻率的影響，在開孔位置沿圖1所示坐標y軸方向截取一矩形板截面，如圖6所示。

假設翻邊與矩形板平面的夾角為α，當角α發生變化時，翻邊開孔矩形板的結構形式及振動頻率均會發生變化。由圖6可知角α的大小與翻邊高度h以及圓半徑的差值（R-r）有關，下面分別研究這二者對矩形板振動頻率的影響。

首先取 R=90 mm，r=85 mm，L1=80 mm，即開孔率φ=0.295，研究不同翻邊高度對矩形板頻率的影響。開孔位置依然位于矩形板中心。

圖6 矩形板翻邊開孔截面圖Fig.6 Section of a rectangular plate with flanged-cutout

表4 翻邊高度h對一端固支開孔矩形板前兩階頻率值的影響Tab.4 Influence of h on the first two frequencies of a clamped-free plate

表4列出了一端固支矩形板前兩階頻率隨翻邊高度的變化。由表4中數據可知，翻邊高度變化對一端固支（CFFF）矩形板頻率的影響很大。隨著翻邊高度的增加，一端固支矩形板前兩階頻率值不斷增大。與未開孔板的對應頻率相比較可以發現當翻邊高度較小時，開孔后板的頻率值均小于未開孔時的情況。當翻邊高度增大到一定情況，開孔后板的頻率值則大于未開孔板，如h≥4 mm時，開孔后矩形板第一階頻率值大于相應未開孔情況。對于第二階頻率，則需要翻邊高度h≥16 mm。

其余幾類約束條件下，翻邊高度對矩形板振動頻率的影響如圖7所示。由圖7可知，隨著翻邊高度h的增加，這幾類邊界約束條件下矩形板前兩階頻率變化總體呈現增大的趨勢。與無翻邊的開孔板相比，當翻邊達到一定高度時，有翻邊的開孔板前兩階振動頻率均大于無翻邊的開孔板。與加肋板類似，這是由于翻邊的存在提高了矩形板的面外剛度，而矩形板前兩階振動主要表現為面外振動。同時注意到翻邊高度達到一定值時，開孔矩形板頻率變化不明顯，說明翻邊高度對頻率的影響程度在降低。

保持開孔率不變（大圓半徑R和直邊長度L1不變）以及同樣翻邊高度h的情況下，本文還分析了小圓半徑r的變化對矩形板頻率的影響。表5給出了開孔率φ=0.295，翻邊高度h=8 mm時，小圓半徑r變化時一端固支（CFFF）矩形板前兩階固有頻率值。由表5可以發現，隨著小圓半徑r的增加，一端固支矩形板前兩階頻率值均不斷降低，但第一階頻率均大于未開孔前的相應頻率值，當r值達到79 mm時，開孔板的第二階頻率將低于無開孔時板的第二階頻率。

圖8給出了其余約束條件下，矩形板前兩階固有頻率隨小圓半徑r的變化情況。由圖8可知，隨著小圓半徑r的增加，這幾類邊界約束條件下矩形板前兩階頻率呈現增大的趨勢。開孔后的頻率值均大于未開孔矩形板的相應固有頻率。當r達到一定值時，矩形板頻率變化不明顯，小圓半徑r對矩形板頻率的影響程度在降低。

圖7 不同約束條件，矩形板頻率隨翻邊高度h變化情況 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.7 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various h(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

圖8 不同約束條件，矩形板頻率隨小圓半徑r變化情況 （a）一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.8 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various r(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

表5 圓半徑r對一端固支矩形板前兩階頻率值的影響Tab.5 Influence of radius r on the first two frequencies of a clamped-free plate

5 開孔位置變化對矩形板振動頻率的影響

取R=90 mm，r=85 mm，L1=80 mm，翻邊高度為h=8 mm的開孔矩形板。研究開孔中心位置沿x軸正方向移動時矩形板振動頻率的變化情況。

一端固支約束下，矩形板前兩階固有頻率隨開孔中心位置變化時的結果如表6所示。在同樣開孔率的情況下，隨著開孔中心位置沿著x軸正方向移動，固支端分布的質量在不斷增加，由懸臂結構可知矩形板頻率應不斷增加，這與表6中所列數據一致。

表6 一端固支約束，矩形板前兩階頻率值受開孔位置x的影響Tab.6 Influence of x on the first two frequencies of a clamped-free plate

圖9給出了其余幾種邊界約束條件下，開孔矩形板前兩階頻率隨開孔中心位置的變化情況。由圖8可知，隨著開孔位置沿x軸正方向移動，開孔后板的第一階頻率呈不斷下降趨勢。CCCC、SSSS、SCSC這幾類邊界約束條件下矩形板第二階頻率呈現先增大后減小的趨勢，這主要是由于這是因為這幾類約束條件下板中心正是第二階振型的節線位置。對于CSCS、CFCF邊界下的矩形板第二階頻率則隨著開孔位置沿x軸正方向移動而降低，但變化不明顯。而FCFC這類邊界條件下矩形板第二階頻率不斷增加。

圖9 不同約束條件，開孔位置x變化對矩形板頻率的影響 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.9 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various x(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

6 翻邊長圓孔轉動對矩形板振動頻率的影響

取R=90 mm，r=85 mm，L1=80 mm，開孔率φ=0.295，翻邊高度為h=8 mm的開孔矩形板，研究翻邊長圓孔繞開孔中心逆時針轉動對矩形板頻率的影響。一端固支約束時矩形板前兩階固有頻率隨開孔轉角θ變化結果如表7所示。轉角θ的變化對一端固支矩形板前兩階頻率的影響效果明顯不同，第一階固有頻率在θ=0°時達到最大值，而第二階固有頻率則在θ=45°時達到最大值。

其余幾種約束條件時，轉動角度變化對矩形板前兩階固有頻率的影響如圖10所示。對于第一階振動頻率，CCCC和SCSC兩類約束條件下頻率變化較大，隨著角度θ的增加頻率呈現下降趨勢，其余幾類邊界條件下一階頻率變化量小，轉角的影響非常有限。對于第二階振動頻率，CCCC、SSSS、CSCS和SCSC兩類約束條件下頻率變化較大，隨著角度θ的增加頻率呈現下降趨勢，其余兩類邊界條件頻率變化受轉角的影響小。

表7 轉動角度θ對一端固支矩形板前兩階頻率值的影響Tab.7 Influence of θ on the first two frequencies of a clamped-free plate with a central circular cutout

圖10 不同約束條件，轉動角度θ變化對矩形板頻率的影響 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.10 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various θ(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

7 結 論

本文對帶有翻邊長圓孔的矩形板動力性能進行了研究，分析了開孔率、翻邊高度、開孔位置及開孔轉動對矩形板振動頻率的影響。結果發現：

（1）開孔后矩形板的振動特性變化顯著。與無翻邊開孔情況相比，翻邊的存在增加了矩形板的面外剛度，對其振動性能有較大影響。

（2）不同約束條件下，翻邊開孔對矩形板振動頻率的影響效果不同。

（3）實際工程結構設計時需根據不同性能要求選擇合適的開孔參數。

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Influence of flanged-cutout on the natural frequencies of a rectangular plate

WANG Wen-sheng,WEI Hao-jie,HOU Zhong-hua,WANG Zhan-lei,MEI Qun
(Department of Engineering Mechanics,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

The influence of flanged-cutout on the natural frequencies of a rectangular plate is investigated.A general rectangular plate with circle-rectangular cutout is employed and the ANSYS software is used to evaluate the natural frequencies of the structure.Numerical results show that the frequencies are highly dependent upon the size,flanging height,position and orientation of the cutout,and the effect is also related to the different boundary conditions of the plate.The results can provide references for the design of flangedcutouts in engineering.

flangedge;circle-rectangular cutout;rectangular plate;natural frequencies

O327 TB123

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.010

1007-7294（2017）11-1404-10

2017-04-27

國家自然科學基金資助項目（11402077）；河南科技大學科學研究基金資助項目（13350046）

王文勝（1983-），男，副教授，E-mail：wswang@live.cn；

魏豪杰（1980-），男，博士，講師。