一種改進的適用于不同地形的GPS高程擬合模型

田 曉，鄭洪艷，許明元，張 超

(中國地震局第一監測中心，天津 300180)

一種改進的適用于不同地形的GPS高程擬合模型

田 曉，鄭洪艷，許明元，張 超

(中國地震局第一監測中心，天津 300180)

根據GPS高程擬合中不同擬合模型的特點，利用多面函數較好的整體擬合性和移動法靈活的局部擬合性，提出了一種基于多面函數和移動法的綜合模型。3種不同地形的算例表明，本文提出的綜合模型在不同地形條件下較其他兩種綜合模型擬合效果更好，即擬合精度更高，殘差更穩定。

GPS高程擬合；不同地形；多面函數；移動法；綜合模型

目前，人們能夠利用GPS在10-7乃至更高的精度上，經濟而快速地獲得所測點位的平面坐標，但是一直不能以相應的精度獲得點位的海拔高程。GPS測量獲得的高程是以WGS-84橢球面為基準面的大地高H，而我國的高程系統采用的是以似大地水準面為基準面的正常高h，兩者的轉換關系為

ξ=H-h

(1)

式中，ξ為似大地水準面到參考橢球面的距離，稱為高程異常。由于WGS-84橢球面與似大地水準面之間關系非常復雜，導致高程異常值不能用某個數學函數準確表達，因此GPS高程在實際應用中受到很大限制。要想利用GPS測得的高程代替常規的水準測量，獲得高精度的水準高程，其中高程異常的擬合是關鍵。

常用的GPS高程異常擬合方法有二次曲面擬合法、多面函數擬合法、移動曲面擬合法、Shepard擬合法、Kriging法、最小二乘配置法和BP神經網絡法等[1-5]。不同的方法具有不同的特點，適應性也不同。單一模型往往存在一定的模型誤差，擬合效果不是很穩定。文獻[6—8]研究了幾種綜合模型，并得出了綜合模型優于單一模型的結論。本文在以上研究的基礎上，提出基于多面函數和移動法的綜合模型，并與其他兩種綜合模型進行比較。通過不同地形的算例表明，該模型在不同地形條件下的擬合效果都優于其他兩種綜合模型。

1 GPS高程擬合數學模型

1.1 多面函數擬合法

多面函數擬合法是由Hardy教授提出的，其基本思想是：任何數學表面和不規則圓滑表面，總可用一系列規則的數學表面的和以任意精度逼近。其一般形式為

(2)

式中，aj為待定系數；Qx,y,xj,yj是多面函數的核函數。核函數有多種類型，常用的是具有對稱性的距離型核函數和錐面函數，其中具有對稱性的距離型核函數表達式為

(3)

式中，δ為平滑因子，通常可取一小正數或0；μ一般取1/2或-1/2。μ=1/2時，核函數稱為正雙曲面函數；μ=-1/2時，核函數稱為倒雙曲面函數。

錐面函數表達式為

(4)

式中，c為待定參數。

設有m個已知GPS水準點xi,yi，選取其中nn≤m個點作為核函數的中心點xj,yj，令Qij=Qxi,yi,xj,yj，則各數據點應滿足

(5)

由此可列出誤差方程

V=QX-ξ

(6)

根據最小二乘原理可求得待定系數X，即

(7)

待定系數求出后，根據式(5)可計算測區各待定點的高程異常值。

需要注意的是，應用多面函數擬合高程異常時，要根據測區大小和地形情況確定合適的核函數、平滑因子和中心點個數。

1.2 移動曲面擬合法

移動曲面擬合法的基本原理是以每一個待定點為中心，選取待定點周圍適量的已知點，擬合出一個多項式曲面，進而內插出待定點上的函數值，是一種特殊的局部函數逼近法。采用此方法擬合，在每個待定點上都可單獨求定一個擬合函數，直接得到待定點上的擬合值，計算比較靈活。

為了選取鄰近的數據點，以待定點Pxp,yp為圓心、R為半徑作圓，凡落在圓內的數據點即被選用。所選擇的點數根據所采用的局部擬合函數來確定，若是二次曲面擬合，則要求選用的數據點個數ngt;6，若選擇的點數不夠時，則應增大半徑R，直至數據點的個數n滿足要求。因此實際應用時要根據情況選擇合適的半徑R。

根據已知點與待定點間的距離進行定權，權的引入是為了確定各已知點對待定點的影響程度，兩點間距離越近影響程度越大，這與測量平差中權根據誤差來定義是不同的。常采用的權有以下幾種形式

在進行擬合計算前，可以先將參與擬合的各數據點坐標進行中心化處理，即將各點坐標減去待定點P的坐標，這樣轉換以后就變成以P為原點的坐標。

(8)

(9)

2 基于多面函數和移動法的綜合模型

多面函數擬合法對整體性變化的擬合效果較好，但需要確定合適的模型參數，對局部變化擬合效果較差；而移動擬合法是以待定點為中心，以一定距離為半徑，用一個多項式曲面擬合中心點函數值的局部擬合法，此處移動多項式多為平面模型或二次曲面模型。為此，可以結合兩者優點，采用先進行多面函數擬合，再對剩余殘差進行移動法擬合的綜合模型擬合高程異常。這很類似于組合法確定似大地水準面中的“移去-恢復法”，具體步驟如下:

(2) 求出m個GPS水準點上的擬合殘差v

v=ξN-ξ

(10)

(11)

由于Shepard擬合法也可較好地體現出局部高程異常的變化規律，文獻[6]中的多面函數與Shepard插值綜合模型和文獻[7]中的基于二次曲面的Shepard擬合模型都將上述步驟中的第2次擬合采用Shepard擬合法擬合殘差v′。兩者都采用了函數模型加隨機模型構建綜合模型的思路，移動擬合法雖然是函數模型，但它具有很好的局部擬合性質，加上其本身具有函數模型的趨勢性變化，因而可更好地進行局部擬合。本文將該綜合模型與文獻[6]和文獻[7]中的綜合模型進行了比較研究。

3 試驗算例與分析

為了得出比較可靠的結論，本文選取3個區域進行擬合計算，并將各個模型進行比較。

區域1位于東經119.1°—120.1°，北緯31.1°—31.9°，總面積約8500 km2。該區域平均海拔10.5 m，屬平原地區。在該地區共測得142個GPS控制點，并進行三等水準聯測，所有點經粗差探測后均不含粗差。對142個GPS水準點進行分組，選取其中均勻分布的110個點作為擬合點，其余32個點作為檢核點，進行擬合計算。點位分布如圖1所示。

圖1 平原地區點位分布

區域2位于東經114°—116°，北緯26°—28°，總面積約44 000 km2。該區域屬山地，平均海拔200多米，在該區域共獲得112個GPS水準點，均聯測了四等水準，所有點經粗差探測均不含粗差。選取其中均勻分布的87個點作為擬合點，其余25個點作為檢核點，進行擬合計算。點位分布如圖2所示。

圖2 山地地區點位分布

區域3位于東經113.6°—114.8°，北緯22.4°—23°，總面積約8300 km2。該區域屬丘陵，平均海拔50多米，在該區域共獲得80個GPS水準點，并利用三等水準測量進行聯測，所有點經粗差探測均不含粗差。選取其中均勻分布的60個點作為擬合點，其余20個點作為檢核點，進行擬合計算。點位分布如圖3所示。

圖3 丘陵地區點位分布

對上述3種地形的數據分別采用4種單一函數模型和3種綜合模型進行擬合計算，并根據檢核點的外符合精度m對不同擬合方法進行評價

(12)

方案1：將文獻[6]中的綜合模型與相應單一模型擬合比較，擬合精度見表1。

表1 多面函數+Shepard綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案2：將文獻[7]中的綜合模型與相應單一模型擬合比較，擬合精度見表2。

表2 二次曲面+Shepard綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案3：將基于多面函數和移動法的綜合模型與相應單一模型擬合比較，擬合精度見表3。

表3 多面函數+移動法綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案4：將基于多面函數和移動法的綜合模型與文獻[6]和文獻[7]中的綜合模型進行比較，擬合精度見表4。

表4 3種綜合模型擬合精度比較 cm

上述比較中，各個模型在不同地形條件下采用的參數不同，都是經過多次試算選取的最佳參數。如多面函數在本文中的平原地區選取錐面函數作為核函數，其中參數c取100，采用48個點作為核函數中心點；在山地地區選取倒雙曲面函數作為核函數，平滑因子取0.5，采用45個點作為核函數中心點；在丘陵地區選取正雙曲面函數作為核函數，平滑因子取0.3，采用25個點作為核函數中心點。移動法根據不同地形條件選取最優的擬合多項式、擬合半徑及權函數。Shepard擬合法根據不同地形條件選取最優的擬合半徑。

為了直觀地看出3種綜合模型的擬合效果，下面給出3種綜合模型在3種不同地形中的檢核點殘差圖，如圖4—圖6所示。

圖4 平原地區3種綜合模型檢核點殘差

圖6 丘陵地區3種綜合模型檢核點殘差

由表1—表3可以看出，無論是平原、山地還是丘陵地區，3種綜合模型都比對應的單一模型擬合精度高。其中最明顯的是基于二次曲面的Shepard擬合模型，這是因為二次曲面和Shepard擬合法單獨擬合時精度都不是很高，而綜合模型可以將兩者的優點有機地結合。其他兩種綜合模型都是基于多面函數的綜合模型，多面函數在理論上可以任意精度逼近任意不規則曲面，只要選取最優的參數(核函數、平滑因子和中心點個數)組合，應用多面函數模型就能取得良好的擬合效果，想在此基礎上提高很大的精度比較困難，因此這兩種綜合模型都比多面函數擬合精度稍高。不過在大面積的山地地區，這兩種綜合模型還是表現出了較大的優勢。

由表4可以看出，3種綜合模型中，本文提出的基于多面函數和移動法的綜合模型在三種地形條件下的擬合精度都最高。從圖4—圖6的殘差圖可以看出，基于多面函數和移動法的綜合模型殘差震蕩最小，擬合的殘差最穩定。而基于二次曲面的Shepard擬合模型殘差震蕩較大，說明該模型擬合殘差不穩定。綜上，本文提出的綜合模型優于其他兩種綜合模型。

4 結 論

(1) 3種綜合模型在3種不同地區都比對應的單一模型擬合精度高。

(2) 多面函數模型只要選取最優的參數組合就能取得良好的擬合效果。基于多面函數的綜合模型在擬合精度上比多面函數略有提高，但是在大面積的山地地區優勢明顯。

(3) 3種綜合模型中，本文提出的基于多面函數和移動法的綜合模型在3種地形條件下的擬合精度都最高，擬合殘差也最穩定，有一定的實踐參考意義。

[1] 徐紹銓，李振洪，吳云孫.GPS高程擬合系統的研究[J].武漢測繪科技大學學報，1999，24(4):336-339.

[2] 陶本藻，蔡鳳萍.大范圍GPS水準擬合模型的選取及其實驗研究[J].工程勘察, 2005(1): 47-49.

[3] 陶本藻. GPS水準似大地水準面擬合和正常高計算[J].測繪通報, 1992(4): 15-19.

[4] 李曉桓. GPS水準擬合模型的優選[J].測繪通報, 2003(7): 11-13.

[5] 徐紹銓，張華海，楊志強，等.GPS測量原理及應用[M].武漢：武漢大學出版社，2006.

[6] 陳克杰，黃觀文，劉站科.基于多面函數與Shepard插值的高程異常綜合擬合法[J].工程勘察，2010(5):50-52.

[7] 侯本軍，鐘波，王文慶.基于二次曲面的Shepard擬合法在GPS水準中的應用[J].測繪工程，2007，16(1):36-38.

[8] 董書曉，甘淑.不同地形條件下多種GPS高程擬合模型的適應性研究[J]. 大地測量與地球動力學, 2014, 34(6): 126-130.

[9] 金時華.多面函數擬合法轉換GPS高程[J].測繪與空間地理信息，2005，28(6): 44-47.

[10] 于小平.GPS高程擬合轉換正常高的研究[J].測繪科學，2007，32(2):40-41.

AnImprovedGPSElevationFittingModelforDifferentTerrain

TIAN Xiao，ZHENG Hongyan，XU Mingyuan，ZHANG Chao

(First Crust Monitoring and Application Center, CEA, Tianjin 300180, China)

According to the characteristics of different fitting models in GPS height fitting, a synthetic model is created which combines a better overall fitting of multi-surface function and a flexible partial fitting of movement method. The synthetic model of this paper has a better fitting effect with higher precision and more stable error comparing with other two synthetic methods in three different terrain conditions.

GPS elevation fitting; different terrain; multi-surface function; movement method; synthetic model

P228.4

A

0494-0911(2017)01-0035-04

田曉，鄭洪艷，許明元,等.一種改進的適用于不同地形的GPS高程擬合模型[J].測繪通報，2017(1)：35-38.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0008.

2016-03-01；

2016-05-27

中國地震局第一監測中心科技創新主任基金(FMC2016007)；中國地震局2016年度監測、預測、科研三結合課題(163302)

田 曉(1988—)，男，碩士，助理工程師，主要從事精密水準和跨斷層數據處理工作。E-mail：tx_yice@163.com