飽和輸入限制下欠驅動自主水下航行器水平面航跡跟蹤控制

江夢潔， 李家旺， 呂艷芳， 周家煒， 黃漢濤

(寧波大學 海運學院, 浙江 寧波 315211)

飽和輸入限制下欠驅動自主水下航行器水平面航跡跟蹤控制

江夢潔， 李家旺， 呂艷芳， 周家煒， 黃漢濤

(寧波大學 海運學院, 浙江 寧波 315211)

針對控制輸入存在飽和限制的欠驅動自主水下航行器水平面航跡跟蹤問題，提出了一種飽和控制方法。在航跡跟蹤誤差方程基礎上，設計了一種誤差信號觀測器對原有跟蹤誤差進行近似，以避免由于跟蹤誤差直接求導所引起的控制器表達式的復雜化現象；推導得到一種新的誤差動力學方程，通過引入一種光滑有界函數作為輸入飽和條件的近似，以及一種Nussbaum型偶函數，設計了飽和動力學控制器；根據Lyapunov理論證明了該控制器能夠使得自主水下航行器在控制輸入飽和限制下，可以實現對任意光滑水平面航跡的跟蹤控制，并保證跟蹤誤差是全局最終一致有界的。仿真實驗結果驗證了該設計方法是有效的，且對于模型參數誤差具有一定的魯棒性。

控制科學與技術； 欠驅動自主水下航行器； 輸入飽和； 跟蹤控制； 誤差觀測器； Nussbaum型函數

0 引言

自主水下航行器(AUV)已經成為重要的軍用和民用海洋裝備之一。AUV的平面跟蹤自動控制問題也一直是控制領域的研究熱點之一。對于這類問題，其難點主要在于AUV具有明顯的欠驅動特性，即在某些自由度上不存在有效輸入。目前，國內外的研究人員針對該類問題已經獲得了很多研究成果。在這些研究成果中，根據平面參考軌跡生成方式的不同，主要分為兩類：軌跡跟蹤和航跡跟蹤。在軌跡跟蹤問題中，參考軌跡由“虛擬模型”產生，該模型具有和真實的AUV相同的動力學特性，可以同時實現AUV位置和方向角的跟蹤[1-4]，但參考軌跡的形式存在很多限制，且難以提前設定，因此在實際應用時存在很大的局限性。與之不同，在航跡跟蹤問題中，僅要求AUV實現位置跟蹤，使得參考軌跡可以是提前設定的任意平面曲線或一系列航跡點，因此其更能體現實際中AUV的跟蹤需求[5-10]。

需要指出的是，上述研究成果均未考慮控制輸入的飽和限制問題，因此，所設計的控制方法在實際應用中可能無法達到預期的控制性能。為此，文獻[11]研究了存在速度和輸入飽和限制的欠驅動船舶的航跡跟蹤問題，但其未考慮建模誤差與環境干擾的影響。文獻[12]針對某型存在輸入飽和限制的AUV，提出了一種基于線性矩陣不等式(LMI)方法的水平面路點跟蹤策略，但其僅能保證跟蹤誤差的局部穩定性。文獻[13]基于多層神經網絡和自適應魯棒控制方法設計了一種航跡跟蹤控制器以降低建模誤差和環境干擾的不利影響，但其控制器形式較為復雜，且并未從嚴格意義上證明誤差系統的穩定性。

在上述研究基礎上，本文針對帶有飽和控制輸入的欠驅動AUV的水平面航跡跟蹤問題進行了研究。主要工作和創新點包括：1) 基于跟蹤誤差方程，提出了一種誤差觀測器模型，并以觀測值作為新的控制對象，建立了新的誤差動力學方程，從而避免了由于對原始跟蹤誤差信號的直接求導所引起的控制器“膨脹”現象；2) 通過引入一種Nussbaum型偶函數，設計了欠驅動AUV的航跡跟蹤飽和控制器，使得AUV的控制輸入能夠在不觸發飽和情況下，實現對參考航跡的跟蹤。最后通過數值仿真方式對所設計的控制器的有效性和魯棒性進行了驗證。

1 AUV數學模型及問題描述

1.1 AUV水平面運動模型

AUV水平面航跡跟蹤問題的示意圖及相關坐標系定義如圖1所示。

在圖1中：Oxy表示地面坐標系；BxByB表示隨體坐標系，其中點B一般取在AUV的質心或浮心處；Γ表示參考航跡；(xd,yd)表示當前參考航跡點在Oxy中的坐標。

假設AUV具有軸對稱外形，質量均布，且升沉、縱搖和橫滾等運動的影響可忽略不計，則AUV的3自由度水平面運動方程[14]可表示為

(1)

(2)

由(1)式可以看出，AUV在ByB軸方向上不存在控制輸入，因此該AUV是欠驅動的。

在實際情況下，由于AUV的控制輸入始終是有限的，因此(1)式中的τ必然存在飽和限制，即

τi=sat(τi)=sgn (τi)min (|τi|,τimax),i=u,r,

(3)

式中：sat(·)表示飽和函數；sgn(·)表示標準符號函數；τumax和τrmax分別表示對應輸入的最大值。

此外，由實際情況可知(1)式中的干擾項D(t)也是始終有界的。為了方便控制設計，對其作出以下假設。

假設1：環境干擾D(t)滿足|du|

不僅如此，將假設1和(3)式代入(1)式的第2個方程中，通過分析也不難得到，AUV的速度向量U必然是有界的。

此外，考慮到在實際情況下，AUV需要跟蹤的參考航跡隨時間的變化率應為有限值，因此下面對參考航跡(xd,yd)做出限制。

1.2 問題描述

本文所研究的控制問題可描述為：針對由(1)式表示的AUV水平面運動模型，對于給定的任意一條光滑的參考平面航跡(xd,yd)，在由(3)式表示的輸入飽和限制條件下，通過設計螺旋槳推力τu和舵轉矩τr，使得跟蹤誤差(xd-x,yd-y)收斂到原點附近一個有界的鄰域內。

為此，定義以下跟蹤誤差變量：

(4)

式中：xe=xd-x；ye=yd-y；ψd表示AUV相對于參考坐標點的視線角，具體定義為

ψd=0.5π[1-sgn (xe)]sgn (ye)+arctan (ye/xe),

(5)

由(5)式可知ψd∈[-π,π)。

對(4)式求導，可得跟蹤誤差方程如下：

(6)

式中：ξ=[e,ψe]T；U1=[u,r]T；H=diag{cosψe,1}；E=[Ee,Eψ]T，Ee和Eψ分別為

(7)

由(6)式不難得知，上述跟蹤控制問題等價于下述鎮定控制問題，即：通過設計τu和τr，使得跟蹤誤差變量(e,ψe)收斂到原點附近的有界鄰域內。

2 控制設計

針對跟蹤誤差方程式(6)式，常用的控制方法包括反步法[9]和滑模控制法[10]等。但這些控制方法都需要對(6)式進行直接求導，這不僅增加了設計難度，也會使得最終的控制器形式較為復雜而難以應用。為此，本節中將給出一種控制設計方法以避免上述不足。該方法包含兩個部分：1)設計誤差觀測模型對(6)式進行近似，以避免在后續設計中對其直接求導，從而避免出現控制器表達式“膨脹”現象；2) 根據跟蹤誤差變量的觀測值，定義新的誤差向量，并在此基礎上設計飽和動力學控制器，以使得跟蹤誤差能夠收斂至零點附近的有界區域內。

2.1 基于觀測估計的跟蹤誤差模型

針對(6)式，設計以下誤差信號觀測器：

(8)

(9)

其中λH和λE都是正常數。

根據(6)式和(8)式，可知觀測誤差滿足：

(10)

(11)

經過簡單分析不難得知：

(12)

2.2 飽和控制器設計

(13)

式中：kξ>0；e=-δ，δ=[δ0,0]T表示期望的穩態跟蹤誤差，δ0≥0. 對(13)式求導，并結合(1)式、(6)式、(8)式和(9)式，可得新的跟蹤誤差方程為

(14)

考慮到τu和τr滿足(3)式，為了方便設計，定義以下光滑有界函數作為(3)式的近似：

(15)

針對(14)式，為了鎮定新的誤差向量ξm，選擇控制輸入信號τu和τr如下：

(16)

(17)

式中：kχi和λχi均為正常數。

將(15)式～(17)式代入(14)式，可得跟蹤誤差方程為

(18)

以及控制誤差方程為

(19)

(20)

根據假設2，結合(7)式、(9)式和(12)式，利用Young不等式ab≤?a2/2+b2/2?，?a,b≥0，??>0，(20)式可簡化為

(21)

(22)

式中：χi0=χi(0)；χit=χi(t). 由(22)式可知，當χit有界時，V(t)也是有界的。因此，為了證明V(t)的有界性，僅需證明χit是有界的。下面采用反證法進行證明。

(23)

綜上可知，χit是有界的，因此V(t)也是有界的。而根據V(t)和X(t)之間關系，可知X(t)是有界的，進而可知e,i、ξm,i和都是有界的。根據e,i定義，考慮到δ為常向量，因此i是有界的，而根據2.1節中相關結果可知，跟蹤誤差ξ也會收斂至零點附近的一個有界區域內。

3 仿真實驗

為了驗證上述控制方法的性能，以文獻[10]中的“REMUS”AUV模型為對象進行了相關仿真實驗。該AUV模型的動力學方程為

(24)

式中：模型參數為mu=31.41 kg，mv=65.98 kg，mr=38.95 kg·m2，Xu=8.806 5 kg/s，Yv=65.545 7 kg/s，Nr=6.735 2 kg·m2·s；干擾項設定為du=sin (0.05t)，dv=cos (0.05t)，dr=0.5sin (0.05t). AUV的初始狀態設定為η(0)=[-20,80,-8π/9]T，U(0)=[0,0,0]T. 控制輸入的最大值為τumax=40 N和τrmax=20 N·s. AUV的參考水平面路徑設定為

(25)

控制參數設定為λξ=5，λH=1.5，λE=0.5，kξ=2，δ0=1，θ=0.9，kα=2，kζu=kζr=5，λα=15，λ0=100，ku=kr=20，dumax=drmax=10，λχu=λχr=0.1，kχu=107和kχr=104. 仿真結果如圖2所示。

圖2 AUV水平面航跡跟蹤仿真結果Fig.2 Simulated results of path tracking of AUVs on horizontal plane

由圖2可以看出，所設計的控制器能夠使得AUV在較短的時間內跟蹤上參考航跡，并保證穩態跟蹤誤差始終保持在零點附近的一個小范圍內。另外，在整個控制過程中，螺旋槳推力的最大值約為39.36 N，舵轉矩最大值約為7.33 N·m，都未觸發飽和現象。

考慮到在實際情況下，AUV模型參數可能存在一定的誤差，圖2中還給出了AUV模型存在建模誤差時的跟蹤仿真結果。其中，相關模型參數名義值取為mu0=0.5mu，mv0=0.7mv，mr0=1.4mr，Xu0=0.5Xu，Yv0=0.7Yv，Nr0=1.5Nr. 控制參數同前。由圖2可以看出，無論建模誤差存在與否，控制器均具有一致的穩態跟蹤精度，且誤差收斂時間與控制輸入大小都十分接近，證明了所設計的控制器對于AUV建模誤差具有良好的魯棒性。

此外，為了進一步驗證本文控制器的性能，對存在較大初始位置誤差條件下的AUV水平面航跡跟蹤問題進行了數值仿真實驗，并分別與經典PID方法和文獻[13]中方法做了對比，其中AUV的初始狀態設定為η(0)=[-250,100,π/3]T，U(0)=[0,0,0]T. 相關控制器參數的選擇滿足最佳控制性能要求，具體仿真結果如圖3所示。

圖3 較大初始誤差下的AUV水平面航跡跟蹤控制仿真對比Fig.3 Simulated results of path tracking of AUVs on horizontal plane with large initial tracking errors

由圖3可知，當存在較大初始誤差時，本文的控制方法與文獻[13]中方法均實現了對參考航跡的跟蹤，且跟蹤誤差收斂時間與穩態跟蹤誤差均十分接近。而PID方法僅在控制過程后段實現了對參考航跡的跟蹤，但穩態位置跟蹤誤差較大，且角度跟蹤誤差并未收斂。另外，在這3種控制方法中，文獻[13]方法與PID方法均觸發了控制器飽和現象，而本文的控制方法所產生的螺旋槳推力的最大值約為38.79 N，舵轉矩最大值約為17.9 N·m，都未觸發飽和現象。因此，本文的控制方法具有更好的綜合控制性能。

4 結論

本文對帶有飽和輸入限制條件的欠驅動AUV的水平面航跡跟蹤控制問題進行了研究。針對位置和角度跟蹤誤差信號，設計了一種誤差觀測器，以避免由于對原始誤差信號直接求導所引發的控制器表達式“膨脹”現象。在此基礎上，建立了一種新的誤差動力學方程，針對該方程，考慮到控制輸入的飽和限制條件，通過引入一種Nussbaum型函數，設計了相應的飽和控制器，可使得AUV的水平面航跡跟蹤誤差最終收斂至零點附近的一個有界區域內。仿真實驗證明了所提出的方法是有效的，且對于建模誤差具有良好的魯棒性。此外，通過與現有控制方法的對比，也證明了本文方法具有更好的跟蹤精度與抗飽和性。后續的進一步工作包括將本文中的控制方法拓展至AUV的三維空間航跡跟蹤問題以及相關的模型試驗研究等。

References)

[1] Do K D, Jiang Z P, Nijmeijer H. Global output feedback universal controller for stabilization and tracking of underactuated ODIN-an underwater vehicle [C]∥Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas, NV, US: IEEE, 2002: 504-509.

[2] Yan Z P, Yu H M, Zhang W, et al. Globally finite-time stable tracking control of underactuated UUVs [J]. Ocean Engineering, 2015, 107(1): 132-146.

[3] Dong Z, Wan L, Liu T, et al. Horizontal-plane trajectory- tracking control of an underactuated unmanned marine vehicle in the presence of ocean currents [J]. International Journal of Advanced Robotic Systems, 2016, 83(13): 1-14.

[4] Repoulias F, Papadopoulos E. Planar trajectory planning and tracking control design for underactuated AUVs [J]. Ocean Engineering, 2007, 34(11/12): 1650-1667.

[5] Aguiar A P, Pascoal A M. Dynamic positioning and way-point tracking of underactuated AUVs in the presence of ocean currents [J]. International Journal of Control, 2007, 80(7): 1092-1108.

[6] Do K D. Practical control of underactuated ships [J]. Ocean Engineering, 2010, 37(13): 1111-1119.

[7] Bi F Y, Wei Y J, Zhang J Z, et al. Position-tracking control of underactuated autonomous underwater vehicles in the presence of unknown ocean currents [J]. IET Control Theory and Applications, 2010, 4(11): 2369-2380.

[8] 朱齊丹, 于瑞亭, 夏桂華, 等. 風浪流干擾及參數不確定欠驅動船舶航跡跟蹤的滑模魯棒控制[J]. 控制理論與應用, 2012, 29(7): 959-963.

ZHU Qi-dan, YU Rui-ting, XIA Gui-hua, et al. Silding-mode robust tracking control for underactuated surface vessels with parameter uncertainties and external disturbances [J]. Control Theory & Applications, 2012, 29(7): 959-963.(in Chinese)

[9] Li J H. Path tracking of underactuated ships with general form of dynamics [J]. International Journal of Control, 2016, 89(3): 506-517.

[10] Elmokadem T, Zribi M, Youcef-Toumi K. Terminal sliding mode control for the trajectory tracking of underactuated autonomous underwater vehicles [J]. Ocean Engineering, 2017, 129(3): 613-625.

[11] Chwa D. Global tracking control of underactuated ships with input and velocity constraints using dynamic surface control method [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2011, 19(6): 1357-1370.

[12] Kim D W. Tracking of REMUS autonomous underwater vehicles with actuator saturations [J]. Automatica, 2015, 58(1): 15-21.

[13] Shojaei K. Neural adaptive robust control of underactuated marine surface vehicles with input saturation [J]. Applied Ocean Research, 2015, 53(2): 267-278.

[14] Fossen T I. Marine control systems [M]. Norway: Marine Cybernetics, 2002.

[15] Ge S S, Hong F, Lee T H, et al. Adaptive neural control of nonlinear of time-delay systems with unknown virtual control coefficients [C]∥Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas, NV, US: IEEE, 2002: 961-966.

PathTrackingControlofUnderactuatedAutonomousUnderwaterVehiclesonHorizontalPlanewithinInputSaturationLimit

JIANG Meng-jie， LI Jia-wang， LYU Yan-fang， ZHOU Jia-wei， HUANG Han-tao

(Faculty of Maritime and Transportation, Ningbo University, Ningbo 315211, Zhejiang, China)

A saturation controller is designed for the path tracking control of underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) on the horizontal plane within input saturation limitation. A first-order observer is designed to estimate the tracking errors to avoid complicating the controller expressions due to the direct derivation of tracking errors. An improved error dynamic model is derived. A saturated dynamic control strategy for the actual inputs is proposed by utilizing smooth bounded functions as the estimations of the saturated inputs and introducing a Nussbaum-type even function. The stability analysis via the Lyapunov’s theory shows that the proposed controller can achieve the tracking of arbitrary smooth paths of AUVs on horizontal plane within input saturation limit, and the tracking errors are globally ultimately uniformly bounded. Some simulated results are presented to illustrate the effectiveness and robustness of the proposed controller.

control science and technology； underactuated AUV; input saturation; tracking control; error observer; Nussbaum-type function

TP273+.2

A

1000-1093(2017)11-2207-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.11.017

2017-05-08

國家自然科學基金項目(51309133)

李家旺(1981—), 男, 副教授, 碩士生導師。E-mail: lijiawang@nbu.edu.cn