正本清源量率重構(gòu)

胡小妹

一、再設(shè)計(jì)的背景

《分?jǐn)?shù)的意義》是人教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第四單元《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》的起始課。它是在學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。之前學(xué)生認(rèn)識(shí)了整數(shù)、小數(shù)，而分?jǐn)?shù)更為抽象，因此有人說(shuō)：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，才是學(xué)生真正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的開始。對(duì)于分?jǐn)?shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難到底在哪里？我們做了一個(gè)簡(jiǎn)單的前測(cè)。教師將教材《整理和復(fù)習(xí)》練習(xí)二十第1題稍作修改后讓學(xué)生回答：把一根2米長(zhǎng)的木條鋸成同樣長(zhǎng)的4段，每段是這根木條的[（ ）（ ）]，每段長(zhǎng)[（ ）（ ）]米。由于學(xué)生還未學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”，僅憑對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解作答。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)混淆率竟高達(dá)84.8%！這類問(wèn)題的錯(cuò)誤率總是居高不下，有很多學(xué)生到了六年級(jí)再做這樣的題時(shí)仍會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

史寧中認(rèn)為：“就整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)主要有兩個(gè)作用：一個(gè)是作為有理數(shù)出現(xiàn)的一種數(shù)，它能和其他的數(shù)一樣參與運(yùn)算；另一個(gè)是以比的形式出現(xiàn)的數(shù)。而后者是小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)的重點(diǎn)。因此，最重要的分?jǐn)?shù)應(yīng)該是真分?jǐn)?shù)，它代表一個(gè)事物或一個(gè)整體的一部分，其本質(zhì)在于它的無(wú)量綱性。”長(zhǎng)期以來(lái)，我們?cè)诮虒W(xué)中過(guò)分強(qiáng)調(diào)了分?jǐn)?shù)的“無(wú)量綱性”，而忽略了“有量綱性”的特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)也因此走入了“偏重‘率、無(wú)視‘量”的誤區(qū)。“實(shí)際上，無(wú)論是整數(shù)，還是分?jǐn)?shù)、小數(shù)，都可以帶上單位用來(lái)表示數(shù)量，也可以不帶單位用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系。也就是說(shuō)，一切實(shí)數(shù)，在應(yīng)用時(shí)，都是有量綱、無(wú)量綱兩種情況并存。”雖然“量”并不是培養(yǎng)數(shù)感的唯一途徑，但在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，若采取與整數(shù)、小數(shù)完全割裂的方法，一味突出‘率而放棄‘量，那么勢(shì)必使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解殘缺，運(yùn)用起來(lái)也會(huì)錯(cuò)誤百出。

因此，在《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們應(yīng)該兼顧“率”與“量”的認(rèn)識(shí)，先教學(xué)表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生像認(rèn)識(shí)自然數(shù)那樣“自然地”認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；再教學(xué)表示兩個(gè)量之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生拓展對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)，突出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)及意圖

1.教學(xué)“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”

師：課前同學(xué)們通過(guò)自學(xué)、上網(wǎng)查詢，了解到分?jǐn)?shù)是怎樣產(chǎn)生的？

學(xué)生匯報(bào)，教師小結(jié)：人們?cè)谶M(jìn)行測(cè)量、分物和計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)結(jié)果，這時(shí)候就需要用一種新的數(shù)來(lái)表示——分?jǐn)?shù)。（揭示并板書課題：分?jǐn)?shù)）

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)，也初步認(rèn)識(shí)過(guò)分?jǐn)?shù)，你能用恰當(dāng)?shù)臄?shù)來(lái)表示下面分物的結(jié)果嗎？

一包餅干24塊，平均分給2位同學(xué)，每人分得（ ）塊，每人分得（ ）包。

讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)這里的“[12]包”表示什么含義。

出示課本45頁(yè)圖中其他幾個(gè)測(cè)量和分物的結(jié)果：剩余的一段繩長(zhǎng)（假定為半米）、半塊月餅、半個(gè)蘋果……提問(wèn)：這幾個(gè)結(jié)果都可以用[12]表示嗎？為什么？

小結(jié)：[12]就表示一半，就像自然數(shù)“1”——1個(gè)蘋果、1棵樹、1個(gè)人、1米……都可以用數(shù)“1”表示。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)順應(yīng)了分物的結(jié)果表示“量”，運(yùn)用類比的方法從整數(shù)自然而然過(guò)渡到分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到“[12]包”是看得見、摸得著的事物的具體量，充分感悟到分?jǐn)?shù)與整數(shù)一樣，可以用來(lái)表示物體的個(gè)數(shù)，是對(duì)自然界中具體量的抽象與概括。

2.教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”

①數(shù)形結(jié)合，量率統(tǒng)一。

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們知道了分?jǐn)?shù)起源于“分”，下面我們就圍繞“分什么”“怎么分”“多少份”“是多少”這幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題來(lái)研究分?jǐn)?shù)。以[14]為例，試一試，四人小組用不同的方法表示出[14]。

小組內(nèi)每個(gè)學(xué)生在練習(xí)紙上任選一幅圖（1個(gè)正方形、1個(gè)圓形、1條線段、4根香蕉、8個(gè)面包……），動(dòng)手分一分、圈一圈、畫一畫，表示出它的[14]。然后填寫報(bào)告單，小組內(nèi)交流一下。

（3）關(guān)于[14]，你有什么發(fā)現(xiàn)？

完成后請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)展示、講解，教師適時(shí)追問(wèn)：圖形中空白部分可以用幾分之幾表示？2個(gè)面包為什么不是[18]而是[14]？為什么不是[24]而是[14]？

設(shè)計(jì)意圖：借助分?jǐn)?shù)“形”的特征，通過(guò)實(shí)踐操作既凸顯了1份的實(shí)際大小，又實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)意義由“量”到“率”的擴(kuò)展，從而揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，使學(xué)生在“求同存異”的過(guò)程中理解分?jǐn)?shù)、接受分?jǐn)?shù)：“求同”——[14]的意義在表示“4份中的1份”時(shí)相同；“存異”——表示的具體數(shù)量不同。

②組織比較，抽象“單位1”。

仔細(xì)觀察這幾幅圖，想一想，在表示[14]的過(guò)程中，有什么相同的地方？（平均分。）

有什么不同的地方？（有的是將一個(gè)物體或計(jì)量單位平均分，有的則是將許多物體看作一個(gè)整體來(lái)平均分。）

引出單位“1”的概念。“1”為什么要加引號(hào)？還有什么可以看作單位“1”？（使學(xué)生明確：“1”不僅可以表示1個(gè)，還可以表示許多；大到整個(gè)宇宙，小到一粒砂，都可以看作單位“1”。）

師：分?jǐn)?shù)表示的具體大小與單位“1”有直接關(guān)系，單位“1”不同，分?jǐn)?shù)表示的具體數(shù)量也不同。4個(gè)面包的[14]是幾個(gè)面包？8個(gè)面包的[14]呢？16個(gè)面包的[14]呢？……

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)挝弧?”的理解是分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中的難點(diǎn)之一，傳統(tǒng)教學(xué)中往往是直接告訴學(xué)生，不僅可以將一個(gè)物體或計(jì)量單位看作單位“1”，還可以將許多物體組成的整體看作單位“1”。課程改革后整體呈現(xiàn)1個(gè)和多個(gè)，有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。抽象出單位“1”后，學(xué)生不僅擴(kuò)展了對(duì)整數(shù)的認(rèn)識(shí)、與先前“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”教學(xué)首尾響應(yīng)，而且對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)也更加深刻了，之前在探究[14]過(guò)程中種種不清晰的“發(fā)現(xiàn)”和疑惑也得到了解釋：?jiǎn)挝弧?”不同，一個(gè)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量也就不同。

③抽象概括分?jǐn)?shù)的意義。

（1）教師說(shuō)幾個(gè)分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生答出分?jǐn)?shù)。例如：把一塊餅平均分成4份，表示其中的3份。（[34]）這學(xué)期在校時(shí)間共有5個(gè)月，已經(jīng)過(guò)了2個(gè)月。（[25]）endprint

（2）教師說(shuō)分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生說(shuō)出這個(gè)分?jǐn)?shù)的意義。例如：[45]米；在我國(guó)的小學(xué)生中有[310]的學(xué)生戴眼鏡；一般人腳的長(zhǎng)度是他身高的[17]。

（3）現(xiàn)在你能試著總結(jié)出分?jǐn)?shù)的意義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合具體情境，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，加深對(duì)分?jǐn)?shù)概念內(nèi)涵與外延的理解，提高學(xué)生的歸納概括能力。同時(shí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系作好鋪墊，為分?jǐn)?shù)意義的再次擴(kuò)展（如[45]米既可以表示1米的[45]，又可以表示4米的[15]）打下基礎(chǔ)。

3.鞏固練習(xí)，內(nèi)化提升

①完成教材“做一做”和練習(xí)十一1～5題。

②變式練習(xí)。

這節(jié)課你有什么收獲？

教師對(duì)學(xué)生本節(jié)課的表現(xiàn)作出評(píng)價(jià)和激勵(lì)，并請(qǐng)今天第一個(gè)發(fā)言的同學(xué)起立，提問(wèn)：他占全班人數(shù)的幾分之幾？他占小組人數(shù)的幾分之幾？他占全校人數(shù)的幾分之幾？同樣是一個(gè)人，為什么一會(huì)兒是[145]，一會(huì)兒是[14]，一會(huì)兒又是[11200]？

設(shè)計(jì)意圖：寓課堂小結(jié)于變式練習(xí)之中，增強(qiáng)練習(xí)的趣味性。使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到單位“1”的變化對(duì)分?jǐn)?shù)量值的影響，深化了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義“量”“率”并存的認(rèn)知。

三、點(diǎn)評(píng)與反思

《分?jǐn)?shù)的意義》是小學(xué)數(shù)學(xué)重要而經(jīng)典的教學(xué)內(nèi)容。在提倡培養(yǎng)學(xué)生“核心素養(yǎng)”的今天，老內(nèi)容必須貫徹新理念——回歸數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心。

1.重視學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。”布魯姆也說(shuō)過(guò)：對(duì)教學(xué)影響最大的是學(xué)生已有的知識(shí)。事實(shí)證明，五年級(jí)下學(xué)期的學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)并非一張白紙。上課伊始，教師通過(guò)讓學(xué)生展示課前收集的有關(guān)分?jǐn)?shù)的資料，用適當(dāng)?shù)臄?shù)表示分物的結(jié)果，從而建立與分?jǐn)?shù)的“親切感”，找準(zhǔn)分?jǐn)?shù)與整數(shù)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)與生長(zhǎng)點(diǎn)，激起學(xué)生新、舊知識(shí)的認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究的積極性。看似教學(xué)“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”，實(shí)則為分?jǐn)?shù)的意義鋪路搭橋，將“量率并存”的理念有效滲透給學(xué)生。

2.重視讓學(xué)生“經(jīng)歷過(guò)程”

新課標(biāo)指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程；要讓學(xué)生“經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)及簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的過(guò)程”。數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程實(shí)際上是掌握一類事物的共同本質(zhì)屬性的過(guò)程。因此，在分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)中應(yīng)注意為學(xué)生提供足夠的實(shí)際例證，讓學(xué)生在具體情境中感知和理解每個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的具體含義；在充分感知的基礎(chǔ)上，對(duì)本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象概括，從而形成概念。本課中，教師設(shè)計(jì)了讓學(xué)生自主選擇學(xué)習(xí)材料，用不同的方法表示這一教學(xué)環(huán)節(jié)。“分什么”“怎樣分”“多少份”“是多少”等關(guān)鍵問(wèn)題的思考提示直指分?jǐn)?shù)概念的核心，關(guān)乎“量”，切乎“率”。在大量、具體的充分感知的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)進(jìn)行比較、抽象，“求同存異”，使分?jǐn)?shù)的概念一步步逐漸清晰起來(lái)。

3.重視教材的深度開發(fā)

教材在呈現(xiàn)“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”時(shí)，特別突出了分?jǐn)?shù)的“有量綱性”：[12]個(gè)蘋果、[12]塊月餅、[12]包餅干……這些帶有單位名稱的分?jǐn)?shù)，就是要幫助學(xué)生完善分?jǐn)?shù)“量”的概念，為“有量綱性”的先入為主作好了鋪墊。教師從“量”的角度尋找分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的突破口，將學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)與教材編寫意圖有效整合，從“量”逐步過(guò)渡到“率”，促進(jìn)教學(xué)過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程深度融合。

教材在呈現(xiàn)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，讓學(xué)生舉例說(shuō)明[14]的含義，除了讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的思維過(guò)程外，還蘊(yùn)含了多重目的：擴(kuò)展對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)；感知分?jǐn)?shù)的大小是由事物原本大小決定的；滲透分?jǐn)?shù)的等值性，為學(xué)習(xí)“約分”等知識(shí)作準(zhǔn)備……因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要注重問(wèn)題的開放性，讓學(xué)生自主嘗試、自主發(fā)現(xiàn)。如《活動(dòng)報(bào)告單》中讓學(xué)生觀察、比較，交流“關(guān)于[14]，你有什么發(fā)現(xiàn)”就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)操作的結(jié)果進(jìn)行深入思考，大膽表達(dá)對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解。有的小組發(fā)現(xiàn)分的圖形不同，每一份的形狀、大小也不相同；有的小組發(fā)現(xiàn)無(wú)論是一個(gè)物體或計(jì)量單位，還是多個(gè)物體，都可以看成一個(gè)整體；有的小組發(fā)現(xiàn)面包圖中[28]與[14]大小相等……從而激勵(lì)了學(xué)生開展個(gè)性化學(xué)習(xí)，真正實(shí)現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展”。

（作者單位：黃石市湖濱路小學(xué)）

責(zé)任編輯 陳建軍endprint