用高等數學方法分析一道高考試題的圖像

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

用高等數學方法分析一道高考試題的圖像

許龍

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

本文針對一道單導體棒切割模型的電磁感應高考題，用高等數學的方法分析各物理量隨時間的變化關系，并討論圖像的幾種可能。

高考物理；電磁感應；高等數學

電磁感應問題歷來是高考物理的重點，尤其是導體棒切割磁感線的模型，此時它既是電路中的電源，又是安培力的受力體，金屬桿速度的變化會影響回路的電流大小，改變安培力大小，安培力又會影響加速度，加速度的變化又制約著桿的速度變化……這是一個相互關聯、相互影響的過程。這類題目綜合了牛頓第二定律、電磁感應、電路的連接和電壓電功率的計算，對考生的要求較高，筆者結合一道高考題，分析單導體棒切割磁感線過程中的物理圖像。

1 真題回放

圖1

2016年四川高考題：如圖1所示，電阻不計，間距為l的光滑平行金屬導軌水平放置于磁感應強度為B、方向豎直向下的勻強磁場中，導軌左端接一定值電阻R。質量為m、電阻為r的金屬棒MN置于導軌上，受到垂直于金屬棒的水平外力F的作用由靜止開始運動，外力F與金屬棒速度v的關系是F=F0+kv(F0、k是常量)，金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好。金屬棒中感應電流為i，受到的安培力大小為FA，電阻R兩端的電壓為UR，感應電流的功率為P，它們隨時間t的變化圖像可能正確的是( )。

2 試題解析

3 問題討論

以上公式中的物理量均是關于自然常數e的指數函數，需對指數b的性質進行討論。

3.1 當blt;0時

因為函數性質由指數決定，電流表達式中前面系數為常量，不會決定圖像性質，所以為方便計算可取b=-1，表達式前面系數取-2，利用軟件Mathematica，由編程語句：Plot[-2(e-t-1),{t,0,8},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“i”}]，得到其電流隨時間變化圖像(如圖2)。

圖2

圖3

由于路端電壓UR=iR，所以電壓-時間圖像與電流-時間圖像變化規律一致，同樣安培力F安=BiL，安培力-時間圖像亦與電流-時間圖像變化規律一致。

對于電功率的表達式稍微復雜，由Mathematica編程語句：Plot[6(e-t-1),{t,0,8},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“P”}]，可得其如圖3所示的電功率-時間圖像。

3.2 當bgt;0時

可取b=1，電流表達式中前面系數取2，利用Mathematica編程語句：Plot[2(e-t-1),{t,0,2},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“i”}]，得到如圖4所示的電流隨時間變化的圖像。

圖4

圖5

同樣的對于路端電壓和安培力僅是在電流前面乘以一定系數，其變化規律與電流變化一致，而對于電功率則是與電流的平方成正比，在最初的一段時間是非常平緩的，隨著時間的推移圖像會變得更陡(如圖5)。

3.3 當b=0時

由此可知對于速度、電流、路端電壓、安培力均為關于時間的正比函數，而電功率圖像則為關于時間的二次函數，由于圖像較為簡單，筆者在此不再作圖模擬。

4 結語

雖然高中生對高等數學知之甚少，不需要對相關問題進行定量計算。但高中教師在研究高考試題時，不但要知其然，還要知其所以然，只有不斷提高自身的專業素養，才能在今后的教學中對許多知識點信手拈來，應用自如。

[1] 林啟順.重視數學滲透 提高物理核心素養[J].物理之友，2017,(4).

[2] 龐芳,崔虹云,馬佳.淺談中學物理中的數學知識及思維方法[J].物理之友，2017,(4).

[3] 王鵬,蔣龍貴.電磁感應中變加速直線運動位移的計算方法[J].物理之友，2017,(6).

[4] 王寶生.數學知識在高考物理中運用賞析[J].物理之友，2016,(8).