加強空間感知 提升想象能力

江蘇省南京市行知實驗中學 徐 敏

加強空間感知 提升想象能力

江蘇省南京市行知實驗中學 徐 敏

空間幾何是中學數學的重點，其著重培養了學生的空間想象能力，也是核心素養之一——直觀想象素養最有效的體現。加強空間感知教學，有助于提高學生的想象能力，也為其頭腦中建立空間概念奠定基礎。

立體幾何；數學；空間感知；直觀想象；空間想象能力

眾所周知，直觀想象素養是數學課程標準提出的六大核心素養之一，其要求學生通過幾何直觀培養想象能力。在傳統的公理化體系下的歐式幾何中，四大公理托起了整個立體幾何的大廈，讓我們的空間認知全部建立在這個公理之上，從而形成了空間想象能力。但是近年來，因為空間向量的引入已經大大降低了學生對于立體幾何空間感知的依賴性，在一定程度上降低了思維的難度，也降低了思維的樂趣。筆者認為，空間向量的確可以解決空間幾何問題，但是過于使用其代數化的本質而疏遠了幾何特征，從而降低了思維含量，這也在近年的高考試卷中體現出命題不斷向傳統公理化方式傾斜，以求不同方法的公正性。

一、三視圖注重感知

三視圖是空間幾何初學的必備知識，三視圖將一個完整的空間幾何結構體用平面圖形完整地展示出來，其具備了空間幾何平面化的基本思路。對于學生而言，特別是偏文類的學生，其頭腦中基本感知模型欠缺，造成了認知的不足。教學中建議以基本圖形為主，輔以平面和空間的轉換，加強空間感知，提升想象能力。

分析：本題是容易題，初學者對其的認知尚不具備完整的想象，教學建議從某一圖形出發，輔以其他視圖進行，以提高空間感知。觀測俯視圖可知，底面圖形以正方形為研究對象，輔以正視圖中的垂線和側視圖中的等腰形態，不難發現其原幾何體結構是四棱錐，問題迎刃而解。

二、對定理的理解運用

空間幾何傳統解決方案中，四大公理是立體幾何大廈的基本，而后平行垂直的八大定理則是空間幾何傳統大廈的支柱。要培養空間感知，恰恰是從各種圖形結構中獲取定理使用的情境，以模型為載體，抽象出定理使用的基本，從而獲取空間想象能力。

問題2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是正三角形，且A1A=AB，頂點A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心。（1）求證：AA1⊥BC；（2）求直線A1B與平面BCC1B1所成角的大小。

分析：斜棱柱的解決是學生提升空間想象能力的關鍵。對于本題涉及的斜三棱柱來說，我們最想去尋找的依舊是存在于幾何結構體中的線面垂直，思考本題不難發現，射影恰恰是一種線面垂直。有了這樣的依托，要解決第（1）問自然

水到渠成。設O為△ABC的中心，連接AO，所以BC⊥AO，又AA1⊥BC，所以BC⊥面A1AO，因此BC⊥A1A。

對于第（2）問來說，研究線面角是傳統幾何的常態，也是熱點問題。從公理化體系的解決方式中，我們一般使用兩種方式，其一是獲取斜線在平面中的射影，這一般需要找到線面垂直作為支撐；其二是利用等體積法獲取高度。觀察本題斜三棱柱，因為有第（1）小題的線面垂直支撐，所以從第一種傳統方式入手思考更便捷。取BC、B1C1的中點E、F，連接AE、A1F、EF。由（1）知BC⊥面A1AEF，從而面A1AEF⊥面C1CBB1，在面A1AEF內作A1G⊥EF，垂直為G，連接GB，則∠A1BG是直線A1B與平面B1BCC1所成的角。設A1A=2，在平行四邊形A1AEF中，

本題的線面角求解過程中的“找——證——算”是典型的傳統方案，對于學生而言，最困難的是找！線面角在傳統方法中怎么尋找？前面已經講述了兩種常用方式，就第一種方式而言，找到線面垂直的方法又具備一定的模式化：一般來說，往往找斜線與面中某一直線垂直，進而轉化為證明面的垂線。教師還要對學生加以合理的命題意圖的引導：一般這種垂直往往在某些線上，不太可能在“荒郊野嶺”，這就鼓勵學生大膽往特殊位置上嘗試，從空間感知來講，這樣的位置是可以實現的。將線面垂直的判定定理運用到具體情境中，體現了定理與現實抽象的結合，實現了想象能力的提高。

總之，加強空間幾何教學需要進一步加強傳統方式的教學，這是因為傳統方式提升了學生的空間感知，筆者建議教學首先還是需要關注傳統方式，而空間向量始終適宜作為傳統公理化教學的補充，這樣的方式才有助于培養具備合理空間想象能力的學生，從而獲得直觀想象的素養。

[1]沈恒.浙江七年高考立體幾何自主命題回顧與前瞻[J].數學通訊，2010（10）.

[2]薛彬.高中立體幾何改革的回顧與前瞻[J].中學數學教學參考（上旬），2014（3）.

[3]戴海林.立體幾何教學中的轉化策略——15年高考閱卷隨想[J].中學數學月刊，2015（11）.