深入挖掘教材 探究橢圓定義

王丙森

人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》（A版）選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”第2.2節“橢圓”給出了橢圓的定義：平面內與兩個定點的距離和等于常數（常數大于兩定點間距離）的點的軌跡叫做橢圓.通過研究教材筆者發現，在教材中還隱藏著一些橢圓的其他定義方法，值得我們去發現和發掘.

定義1：如圖1，教材中通過探究固定兩點，用繩畫橢圓的方法給出橢圓第一定義：平面內與兩個定點F1，F2距離的和等于常數（常數大于│F1F2│）的點的軌跡叫做橢圓.定點F1，F2叫做橢圓的焦點，焦點的距離│F1F2│叫做橢圓的焦距.

定義2：如圖2，教材P47例6和教材P50“信息技術應用”部分“用幾何畫板探究點的軌跡”給出了橢圓第二定義：若點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到直線l：x=■的距離的比是常數■（a>c>0），則點M的軌跡是橢圓.定點F（c，0）是橢圓的一個焦點，直線l：x=■稱為相應于焦點的準線.

定義3：如圖3，在教材P42“探究與發現”部分閱讀材料“為什么截口是橢圓”中，給出了橢圓的截面定義：用一個不與圓錐底面平行的平面去截一個圓錐，若截口是封閉的曲線則為橢圓，這也解釋了為什么圓、橢圓、雙曲線、拋物線叫圓錐曲線，書中用數學家旦德林的方法給予了證明，使橢圓的第一定義與橢圓的截面定義完美結合.

定義4：如圖4，由教材P41例2能得到橢圓的壓縮定義：橢圓可以由圓上的點“均勻壓縮”得到，這體現了圓與橢圓的關系.

定義5：如圖5，通過教材P41例3可得出橢圓的斜率定義：設點A（-a，0），B（a，0），直線AM、BM相交于點M，且它們斜率之積是-■，則動點M的軌跡方程是■+■=1（x≠±a）.

定義6：如圖6，教材P49習題2的2B組可由直線相交得到橢圓：作一個矩形長為2a，寬為2b，如圖建系，若在線段OF上任取點R，在CF上取點R'，滿足■=■，則直線ER和GR'的交點L的軌跡為橢圓的一部分，其方程為■+■=1（x≥0，y≥0）.

定義7：教材P49習題2的2A組：若點M（x，y）在運動變化過程中總滿足■+■=10，則點M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程.

方程可以看成一個動點到兩個定點的距離和為定值的點的軌跡，且距離之和大于兩個定點間距離，所以點M的軌跡是橢圓，方程為■+■=1.

通過此習題推廣到一般，可得到橢圓第一定義的等價式：

│MF1│+│MF2│=2a（M（x，y），定點F1（0，C）， F2（0，-C）， 2a>│F1F2│），

？圳■+■=2a

？圳■+■=1（b2=a2-c2）.

由此可以得到橢圓的文字語言、幾何語言和數學符號語言，使代數與幾何圖形完美地結合，體現了解析幾何的基本思想：利用條件建立曲線的方程，通過方程研究曲線的性質，同一種曲線可以有不同的產生和形式.

定義8：如圖7，教材P49習題2的2A組：圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q 的軌跡是什么？為什么？點Q的軌跡是橢圓，根據條件可得│QO│+│QA│=r（r>OA），所以由橢圓的定義：點Q的軌跡是橢圓.

由上述對教材中橢圓定義的探究和發掘，可知教材的重要性，并得到以下啟示：

1.教師教學要立足于教材

高中數學知識有很強的系統性，從教材目錄開始，到每一章的全部內容，再到每個知識點的引入、定義的產生、公式的形成，教材中都有完整的展示.教師要準確地把握教材，體會教材的編寫意圖，掌握教材的整體框架，讓學生在教材中學習數學知識的系統性和邏輯性，掌握數學思想和數學方法，清楚數學的本質.

2.教師要超越教材

在人教版《數學》教材中，每一節都設置有“觀察”“探究”“思考”“課后閱讀”“例題”“習題”，教師要學會優化教材結構，對教材進行創造性的整合和加工，將教材變成學生易于接受的數學知識.對例題、習題進行適當變式，培養學生思維的發散性和靈活性.

3.教師要把握考點

高考考點在書中，課本是試題之源，試題在書外，教師要在掌握教材方法的基礎上向外拓展，提高學生的數學能力，使其順利解答各種題目.教師要深入挖掘教材和高考的關系，讓學生從書山題海中解脫出來，使學生的數學邏輯思維水平得到真正的提高.

總之，教材是知識的載體，教師的教學內容來源于教材，同時又要高于教材.教材是高考命題之本，教師要學會對教材進行挖掘和整合，學會全面審視教材，理解和掌握數學的本質，通過教材激發學生學習數學的興趣，為學生提供豐富的數學思想和方法，培養學生學好數學，用好數學的意識.endprint