最小二乘法在泵試驗臺數據測量曲線擬合中的作用*

江海蛟 常明偉 劉志偉 朱京恩

(北京航天動力研究所流體與旋轉機械事業部)

最小二乘法在泵試驗臺數據測量曲線擬合中的作用*

江海蛟 常明偉 劉志偉 朱京恩

(北京航天動力研究所流體與旋轉機械事業部)

為了保證高精度的數據測量，泵試驗臺所有的測量儀表均由相關檢定單位進行了檢定，并出具了相應的檢定證書，但是一部分檢定證書里的檢定數據是離散的、未經處理的，這直接導致了檢定數據無法應用到測控系統中去。針對這一情況，提出了兼顧整個量程精度的最小二乘法擬合直線的方法來處理這些數據，以方便測控系統應用這些檢定數據并保證數據測量足夠的精度。在泵試驗臺，還需要測量試驗泵的輸入功率即泵配電機的輸出功率，這通常需要安裝扭矩儀一類的設備，但是這類設備的安裝調試工作量太大，針對這一情況，提出了最小二乘法擬合拋物線的方法，僅僅通過分析電機的輸入功率就可以得到電機的輸出功率。

泵試驗臺 數據測量 離散 最小二乘法 精度

在利用泵試驗臺做試驗時，為了得到準確的測量數據，所有的測量儀表都是經過精確校準的，有相應的檢定證書，但問題是，有一部分檢定證書里只有離散的數據而沒有這些數據擬合的曲線，這導致檢定證書無法應用到測控系統中，更談不上保證測量數據的精度，這就涉及到如何處理、擬合這些數據的問題。泵試驗臺存在的另外一個比較大的問題是每次試驗時均需要測量試驗泵的輸入功率，即泵配電機的輸出功率，這通常是通過在電機和試驗泵之間安裝扭矩儀一類的設備來實現的，即通過測量電機的輸出扭矩和輸出轉速來得到電機的輸出功率(扭矩和轉速的乘積)。這種測量方法帶來的問題是安裝調試工作量過大，嚴重降低了工作效率，必須采取新的辦法來計算得到電機的輸出功率，這個新辦法就是通過分析電機的輸入功率和輸出功率之間的關系，通過對電機輸入功率數據的擬合來計算得到電機的輸出功率。這二者均涉及到數據擬合成曲線的問題。在數據擬合成曲線的過程中，為了保證擬合的曲線在整個量程范圍內都有比較好的精度，曲線擬合都采用了最小二乘法，即各個擬合點的誤差平方和最小的方法。

1 擬合曲線的作用

通常現場的各物理量大多都是采用4～20mA的直流電流來傳送的，所測物理量值的大小與傳送電流的大小是一次線性關系，一部分檢定機構會直接給出物理量和傳送電流之間的一次線性關系式，例如，有一臺壓力變送器，檢定機構給出的擬合曲線為[1]：

Y=1.334667p+1.001300

其中，Y是4～20mA直流電流在250Ω精密電阻上產生的電壓降，單位是V；p是變送器所測量的壓力，單位為MPa。這個公式很好地反映了被測量與傳送電流之間的關系，并且有足夠的精度，精度為0.2級。

將這個電流信號接入到測控系統中進行A/D轉換，A/D轉換過程中電流信號與轉換所得到的數字量之間也是一次線性關系，在本測控系統中對應關系是這樣的：4mA轉換成數字0，20mA轉換成數字27 648。在測控系統軟件中編制公式y=ax+b，y是被測物理量的數值，x是變送器傳輸電流進行A/D轉換后的數值，這里就是要確定a、b兩個系數，準確地在測控軟件中將被測量物理量計算出來。

由曲線擬合公式Y=1.334667p+1.001300可以計算出：當Y為1(即電流為4mA，A/D轉換為0)時，p為-0.000 974；當Y為5(即電流為20mA，A/D轉換為27 648)時，p為2.996 028,由此可以列出下面兩個方程式：

-0.000974=a×0+b

2.996028=a×27648+b

由此可以計算出a、b的值，a=0.000108398，b=-0.000974。將計算得到的a、b的值輸入到測控軟件相應的內存中。

通過這個擬合曲線的辦法，變送器就能準確地將被測物理量傳送到測控系統中，并保證足夠高的精度。

2 最小二乘法擬合直線

不是所有的儀表檢定證書都能給出擬合曲線，有的只是給出了幾個離散的點。例如，某計量檢定機構給出的轉矩轉速儀的轉速校準結果就沒有擬合曲線，而是簡單地給出了如下數據，見表1[2]。

表1 轉矩轉速儀轉速校準數據

表1中的標準頻率值是檢定機構給出的標準值，其中的被測儀器顯示平均值是被測儀表自帶的液晶顯示屏上顯示的轉速值。這套轉矩轉速儀是通過4～20mA的直流電流來傳送信號的，不過檢定機構卻并沒有檢定這套設備輸出的直流電流與標準頻率值之間的關系。 必須采取一個妥善的辦法才能準確地將數據傳送到測控系統。將這套轉矩轉速儀接入測控系統，利用現場的設備調整測量的轉速，使轉矩轉速儀液晶顯示屏上依次出現表格中的被測儀器顯示平均值，記錄下測控系統內存中A/D轉換的數值(表2)。

表2 轉矩轉速儀的轉速顯示平均值的A/D轉換

4～20mA直流電流傳送信號的一般規則是電流大小和被測物理量的大小成一次線性關系，所以這里按一次線性方程來擬合這些數據。

設有方程y=ax+b，為保證被測物理量在整個量程內都有比較好的精度，通過最小二乘法來確定系數a、b的值。

整理得：

解這兩個方程可得：

這個計算公式比較復雜，為了方便，編制了Excel計算表格，只需要將幾組數據輸入進去，就會自動計算出a、b的值。

利用這個公式來擬合轉矩轉速儀的轉速值，但是并不是擬合表2中的數據，而是將被測儀器顯示平均值相對應的標準頻率值與A/D轉換值相擬合，這樣能得到更高的擬合精度，被測儀器顯示平均值在這里只是起到了一個建立標準頻率值和A/D轉換值之間聯系的作用。擬合數據見表3。

表3 轉矩轉速儀的轉速擬合數據

將這6組數據輸入到編制好的Excel計算表格，可以計算得到：a=0.130211156，b=0.229070938，即擬合公式為y=0.130211156x+0.229070938，將這些數據放在一起對比并計算絕對誤差、相對誤差和引用誤差(絕對誤差與滿量程的比值，這里滿量程為3 600r/min)，結果見表4。

表4 轉矩轉速儀的轉速數據擬合和誤差計算

從表4可以看出，經過最小二乘法擬合的直線造成的精度損失還是非常小的。對這個表格略作分析就可以給出擬合后儀表的精度等級，這個精度等級可以滿足試驗臺精密測量試驗數據的要求。

這種最小二乘法擬合直線的方法，除了應用在轉矩轉速儀的轉速擬合方面，還可以應用在轉矩轉速儀的轉矩擬合方面以及其他類似儀表的數據擬合上。

3 最小二乘法擬合拋物線和拋物線、直線擬合對比

聯系電機輸入功率與輸出功率的參數是電機效率，由于泵試驗通常采用的電機是YBXn高效率電機，所以分析YBXn高效率電機的效率。

表5是某防爆集團有限公司出版的YBXn系列高效率隔爆型三相異步電動機樣本中的效率數據。可以看出，當電機功率較小的時候，在電機負載逐漸從0.50增加至1.00的過程中，電機效率有一個逐漸增加然后又逐漸減小的過程，即有一個“駝峰”，這是比較明顯的拋物線的特征。隨著電機功率的增大，盡管“駝峰”逐漸變平，拋物線有變成直線的趨勢，但是這個拋物線仍然存在。所以，在通過電機輸入功率數據來擬合電機輸出功率的過程中，為提高精度，選擇最小二乘法擬合成拋物線，而不是直線，但是也將試驗數據擬合成直線的結果給出來，以便進行擬合精度對比。

表5 YBXn系列高效率隔爆型三相異步電動機的效率

可解得：

同樣通過編制Excel表格，計算出a、b、c的值。

由于是通過電機的輸入功率數據擬合出電機的輸出功率數據，所以需要先行知道電機的輸入功率。在泵試驗臺，所有的電機都是由變頻器拖動的，變頻器內存中有變頻器輸出功率即電機輸入功率這一項，可以直接讀取過來使用。但需要注意的是，所有的進口變頻器均將這一項翻譯成電機輸出功率。例如，西門子G120變頻器，內存r32的標準中文翻譯就是“電機軸上輸出的功率”，這是一個非常奇怪的翻譯，按照GB/T 1032-2012《三相異步電動機試驗方法》中的電機效率的確定方法[4]，電機的輸入功率可以通過功率表測量等方法很容易地得到，但是電機的輸出功率僅僅通過理論分析而不輔助以試驗手段是無法得到的，這就是這個翻譯奇怪的地方：變頻器不可能知道電機的輸出功率，只會知道電機的輸入功率。

查詢r32的外文資料，其英文注釋為“Power delivered at the motor shaft”，直譯成“輸送給電機軸的功率”更合適些，這在字面意思上更接近“電機的輸入功率”而不是”電機軸上輸出的功率”，也可以查詢一下德文資料。

在泵試驗臺上選取G120變頻器拖動某一型號的電機做泵試驗，測量得到的數據見表6。

表6 泵試驗功率數據

利用最小二乘法擬合拋物線y=ax2+bx+c來擬合這組數據，分兩次擬合，每次均有一組數據未參與擬合，然后觀察參與擬合的數據和未參與擬合的數據的精度差異。同時為了對比，也用直線來擬合這組數據，觀察一下拋物線擬合和直線擬合的差異。

將序號為2的數據排除在外，不參與擬合，其余6組數據參與擬合，將這6組數據輸入到編制好的Excel計算表格，可以求得a=-0.008751581，b=1.206496721，c=-2.318187622，即y=-0.008751581x2+1.206496721x-2.318187622。

然后進行直線擬合，將相同的數據輸入到編制好的Excel計算表格，可以得到a=0.9440607，b=-0.45616927，即y=0.9440607x-0.45616927。

將這幾組數據放在一起對比并計算絕對誤差、相對誤差，見表7。

表7 拋物線擬合和直線擬合數據對比一

將序號為6的數據排除在外，不參與擬合，其余6組數據參與擬合，將這6組數據輸入編制好的Excel計算表格，可以求得a=-0.008118483，b=1.182864869，c=-2.117617769，即y=-0.008118483x2+1.182864869x-2.117617769。

然后進行直線擬合，將相同的數據輸入編制好的Excel計算表格，可以得到a=0.938378032，b=-0.39035924，即y=0.938378032x-0.39035924。

將這幾組數據放在一起對比并計算絕對誤差、相對誤差，見表8。

表8 拋物線擬合和直線擬合數據對比二

分析表7、8的數據，可以得出如下結論：

a. 拋物線擬合方法得到的電機輸出功率與扭矩儀直接測量得的數據在大范圍負載內非常接近，誤差非常小，這種擬合方法得到的功率數據完全可以替代扭矩儀測量得到的功率數據用于泵的出廠水力試驗；

b. 未參與擬合的數據在擬合曲線中同樣能得到高精度的數據復現，表明了這種擬合方法的正確性和可靠性；

c. 直線擬合方法得到的數據在某一小段范圍內精度非常高，但是在比較大的范圍內誤差比較大，精度不如拋物線高，故不適宜在大范圍負載內采用；

d. 通常電機的輸入功率輸出功率的關系測量(即效率)是在額定頻率、額定電壓并且是正弦波電源條件下得到的，這樣得到的對應關系可靠、穩定，但是就本試驗來看，在小范圍的變頻條件下(試驗頻率在45～50Hz之間變化，v/f恒定控制方式)輸入功率與輸出功率之間的對應關系也是穩定的。

第1次采用變頻器拖動某臺電機做泵的水力試驗時，需要記錄下變頻器的輸出功率(電機的輸入功率)和相對應的扭矩儀測量得到的電機的輸出功率，通過記錄下來的幾個點擬合出系數，下次再有相同的變頻器和電機配置時，就可以通過這種擬合方法得到電機的輸出功率，在保證比較高的測量精度的情況下省掉扭矩儀安裝調試的工作。

4 結束語

最小二乘法擬合數據的優點在于能夠兼顧各個擬合點，在一個比較大的測量范圍內保證在每個測量點上都能獲得比較高的測量精度，而不是在某些測量點上精度很高，而在另外一些測量點上精度又太低。所有的未擬合數據的測量儀表檢定證書在泵試驗臺均采用這種最小二乘法擬合直線的方法來重新處理，很好地保證了泵試驗臺在數據測量方面的高精度。而最小二乘法擬合拋物線的方法，很好地解決了在不安裝扭矩儀的情況下測量電機輸出功率的問題，這減輕了泵試驗臺安裝調試設備的工作量，提高了工作效率。

[1] 劉魯,施儀升.壓力變送器檢定報告(2016050401)[R].北京：北京航天動力研究所，2016.

[2] 白杰,杜磊.轉矩轉速儀校準報告(LScs2015-1444)[R].北京：中國計量科學研究院，2015.

[3] 索振,宮愛玲.最小二乘法與灰度重心結合實現圓度檢測[J].化工自動化及儀表，2016，43(9)：910～912.

[4] GB/T 1032-2012,三相異步電動機試驗方法[S].北京：中國質檢出版社,中國標準出版社,2012.

2017-05-12，

2017-06-14)

聲明

本刊現入編“萬方數據——數字化期刊群”和“中國核心期刊(遴選)數據庫”，作者著作權使用費與本刊稿酬一次性給付，不再另行發放。作者如不同意將文章入編，投稿時敬請說明。

EffectofLeastSquareMethodinCurveFittingofDataMeasurementofPumpTestBench

JIANG Hai-jiao, CHANG Ming-wei, LIU Zhi-wei, ZHU Jing-en

(LiquidandRotatingMachineryDepartment,BeijingAerospacePropulsionInstitute)

In order to ensure accuracy of the data measurement, all measurement meters equipped for the pump test bench are certificated and issued certificates by relevant verification offices. Considering the fact that lots of verification data in verification certificates are discrete and untreated, and failed to be applied to the control system, the method of making use of the least square method to fit straight line which giving consideration to the whole range accuracy was proposed to benefit the measurement system in adopting these verification data and to ensure the accuracy in data measurement. At the pump test bench, the output power of the pump motor has to be measured and the conventional method is to install torque meter or other similar equipment and the workload of such equipment installation and adjustment can become too heavy and the method of least square method fitting parabola was put forward and the motor output power can be got only through the analysis of the motor input power.

pump test bench, data measurement, discrete, least square method, accuracy

江海蛟(1982-)，高級工程師，從事高速泵的機械設計、電控設計，以及破渣機、泵試驗臺的電控設計工作，jianghj@calt11.cn。

TH3；TP301.6

A

1000-3932(2017)10-0953-06