巧用列表法分析應用題

胡蝶

摘 要：在列方程解應用題中，用列表法來將題目所給條件和要求反映的基本量用表格呈現，使較為復雜的關系條理清楚、明朗，能較快發現等量關系，準確快速列出方程，降低解題難度。

關鍵詞：應用題；列表法；一元一次方程

新課程改革標準在數學教育的目的中要求數學教育必須重視培養學生的應用意識。很多教育學家都認識到培養學生數學應用的意識和能力是一件不簡單的事情，列方程，用方程思想去解決一些實際問題，不僅體現了學習數學的目的，而且它也是初中數學中的重難點之一。

應用題之所以是難點，因為解決它無一般公式可循。對于七年級的學生而言，特別是中等偏下水平的學生，他們在解應用題時往往失敗較多，因此產生了“畏懼”的心理，面對應用題時會束手無策。究竟是哪些思維障礙影響了學生解應用題？筆者在反思教學實踐中發現，較普遍的思維障礙來自三個方面：對基本的等量關系不理解造成的障礙，對表示的有關的未知量在思維活動中沒有轉化為已知量的思維定勢造成的障礙，應用題中等量關系的復雜性和隱蔽性造成的障礙等。現就如何幫助學生克服這些思維障礙作一分析。

在列方程解應用題之前，首先應找到題目中的已知量、未知量和等量關系，然后根據等量關系，用字母代替未知數，列出需要的代數式和方程，再解這個方程，求出未知數的值。可見，“等量關系”是列方程的依據，又與問題中所有的基本量密切相關，抓住了等量關系就抓住了主要矛盾，就明確了思維的方向。用列表法來分析，將題目給出的條件和要求反映的基本量在一個表格中顯示出來，使那些較為復雜的關系條理清楚、明朗，能較快發現等量關系，準確快速列出方程，大大降低解題難度。

如浙教版七年級數學上冊中一元一次方程的應用題，一般都涉及三個基本量，根據三者的關系可用其中的兩個量表示出第三個量，又有兩種情況之分，一般可列成3×4表格來分析。

一、列表準備

在列表前，教師要引導學生認真審題，尋找等量關系。應用題中出現的等量關系一般有明顯的等量關系和隱含的等量關系兩類。

明顯的等量關系，它是通過題中的一些關鍵詞語表達出來。如多、快、共、提前、提高了、提高到、增加、降低、比……多、比……少等。它們與列方程有直接關系，因此必須弄清其確切意義，并在審題時予以充分注意，著重找出這些關鍵詞語。

隱含的等量關系，其中一種是基本等量關系，比如速度×時間=路程，工作效率×工作時間=工作量，溶液×濃度=溶質，單價×數量=總價，以及周長、面積、體積公式。還有一種是根據題意分析出來的等量關系，如行程問題中的追及與被追及者所行時間或距離相等，同時出發到相遇所用時間相等；如配比中加入溶劑則溶質不變，加入溶質則溶劑不變，等等。這些隱含的等量關系，往往是解題的關鍵所在，都必須通過反復分析題意方能挖掘出來。

二、列表原則

根據題意，設計表型。在設計表型時應注意使表格縱向存在運算關系，橫向存在比較關系；同時，表格力求簡明，且能容納題中所有數量關系。

三、填表順序

從反復讀題開始，邊讀邊填。先填已知量，再填未知量及含未知量的代數式。表格填滿后可根據等量關系列方程。

四、分類舉例

1.調配問題

基本關系：原有量+變化量=現有量

例1.（浙教版七年級數學上冊130頁例5）學校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人。現調20人去支援，使在甲處植樹的人數是乙處植樹人數的2倍，應調往甲、乙兩處各多少人？

分析：此題中有三個基本量：原有人數、增加人數、增加后的人數（三者關系為：原有人數+增加人數=增加后的人數），又有甲處、乙處之分。不妨設應調往甲處x人，則調往乙處（20-x）人，可列表格為：

注：表中①、②……表示填表順序（下同）。

等量關系：甲處增加后的人數=2×乙處增加后的人數

可列方程：20+x=17+（20-x）

從上表可以看出，原有人數是已知的，增加人數是題目要求的，可用來設未知量；增加后的人數是用代數式表示未知量。此題就是用增加后的人數來找等量關系。

綜上所述，運用這種方法來尋找應用題中的等量關系范圍一下就縮小很多，學生是非常容易理解的，這對于教師的應用題教學也將大有益處。

2.行程問題

基本關系：速度×時間=路程

例2.甲、乙兩人從相距為180千米的A，B兩地出發，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛。已知甲的速度為15千米/時，乙的速度為45千米/時，如果甲先行駛1時后乙才出發，問甲再行駛多少時間與乙相遇？

分析：此題中有三個基本量：速度、時間、路程（三者關系為：速度×時間=路程），又有甲、乙之分。不妨設甲再行駛x小時與乙相遇，可列表格為：

等量關系：甲行駛的路程+乙行駛的路程=

180

可列方程15（1+x）+45x=180

從上表可以看出，速度是已知的；時間是題目要求的，可用來設未知量；路程是用代數式表示未知量。此題就是用路程來找等量關系。

對于題目關系復雜、已知數量較多、等量關系不明顯的題目，通過列表法就能很快地找出等量關系，從而列出方程，有效地提高解題效率。

3.工程問題

基本關系：工作效率×工作時間=工作量

例3.（浙教版七年級數學上冊131頁例6）甲每天生產某種零件80個，甲生產3天后，乙也加入生產同一種零件，再經過5天，兩人共生產這種零件940個。問乙每天生產這種零件多少個？

分析：此題中有三個基本量：工作效率、工作時間、工作量（三者關系為：工作效率×工作時間=工作量），又有甲和乙之分。不妨設乙每天生產這種零件x個，可列表格為：

等量關系：甲的工作總量+乙的工作總量=940

可列方程80×（3+5）+5x=940

4.銷售問題

基本關系：進價×（1+利潤率）=售價

例4.甲、乙兩種商品的進價一共是100元。實際出售時，甲商品提價10%，乙商品提價5%。出售后兩種商品所獲利潤是兩種商品進價之和的7%。兩種商品的進價分別是多少？

分析：此題中有三個基本量：進價、利潤率、利潤（三者關系為：進價×利潤率=利潤），又有甲商品、乙商品之分。不妨設甲商品的進價為x元，則乙商品的進價為（100-x）元，可列表格為：

等量關系：甲商品獲得的利潤+乙商品獲得的利潤=7%×甲、乙兩種商品的進價和

可列方程：10%x+5%（100-x）=7%×100

5.年齡問題

例5.（浙教版七年級數學上冊128頁作業題2）今年父親的年齡是兒子年齡的3倍，5年前父親的年齡是兒子年齡的4倍。問今年父親、兒子各幾歲。

分析：此題中有三個基本量：今年的年齡、5年前的年齡（二者關系為：今年的年齡-5=5年前的年齡），又有父親、兒子之分。不妨設今年兒子x歲，可列表格為：

等量關系：5年前父親的年齡=5年后兒子的年齡×4

可列方程：3x-5=4（x-5）

6.售票問題

基本關系：單價×數量=總價

例6.某音樂廳五月初決定在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總票數的■，若提前購票，則給予不同程度的優惠，在五月份內，團體票每張12元，共售出團體票的■。零售票每張16元，共售出零售票的一半。如果在六月份內團體票按每張16元出售，并計劃在六月份內售出全部余票，那么零售票應按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平？

分析：此題中有三個基本量：單價、數量、總價（三者關系為：單價×數量=總價），又有團體票、零售票之分。不妨設總票數為單位1，六月份零售票每張x元，可列表格為：

等量關系：五月份總票價=六月份總票價

可列方程：12×■×■+16×■×■=16×■×■+■×■x

此題數量較多，關系也比較復雜，對于學生來說，理解題意，理清量之間的關系有較大難度，但通過仔細閱讀并列表，這些量及其關系就明朗化了。

通過以上例題可以看到，利用一元一次方程解應用題時，借用列表法來分析題目中復雜的數量關系，可以使題目中的數量關系簡單化、明了化，準確快速列出方程，降低解題難度。

參考文獻：

[1]張慧梅.列分式方程解應用題的方法[J].科技創新導報，2013（20）.

[2]田敏.運用列表法分析應用題[J].基礎教育，2012.

編輯 趙飛飛