對極限概念的剖析

王帥

摘 要：極限概念思想是近代數學領域中的重要思想之一，同時也是數學專業學生必須掌握的數學思維方式之一。隨著整個時代的進步和人類社會的發展，極限概念思想的重要作用也越發在社會中體現出來。而近代數學領域中的數學分析，就是以極限概念思想為基礎，并且以極限概念理論為主要工具進行函數研究的一門學科。極限概念知識的引入，使得這門學科無比神秘。

關鍵詞：極限概念；數學領域；思想

一、引言

在沒有接觸高等數學之前，近代數學領域中的人們熟知的解決日常數學問題的方法大致可以分為代數計算和幾何作圖這兩種，即對數據進行分析的代數運算和通過對圖像分析來研究數學問題。但是進入大學接觸到高等數學后，人們會發現一種更為常見的數學思維方法——極限思想。極限概念理論是從以前的初等數學到現在的高等數學的關鍵轉折點。

初涉獵高等數學和極限概念思想的學生，如果想清楚、靈活地掌握極限的概念，是有些困難的。但是如果從極限思維在整個數學領域的發展歷史中來了解極限的相關知識，并且弄清極限理論的相關概念等難題，這樣會容易一些。通過這種方法，可以有助于學生對極限概念加深理解，對于目前掌握和以后應用極限概念思想都會起到至關重要的作用。

二、極限概念思想的形成與發展

極限概念思想是貫穿整個大學高等數學的一門科學的數學思想。對于數學專業的人來說，極限概念思想不僅僅是數學分析的重要概念之一，也是微積分理論的基礎。因此，要想學好高等數學，首先必須掌握極限概念思想。而了解極限概念思想理論的歷史發展過程，是掌握極限概念思想的有效方法。

1.極限概念思想的由來

在唯物辯證法的演化史中，人們所了解的有關無限與有限的內容知識有著本質的不同，但實際上兩者之間存在著密切的聯系。在一定的程度上，無限是有限的發展，而有限是無限的條件。

廣袤世界上所有的科學的思想方法都是社會實踐的產物，是人們日常生活實踐的產物，數學領域下的極限概念思想也不例外。極限思想源遠流長，提及極限概念的思想，我們不得不提及我國古代的劉徽。而到了近代的16世紀，在荷蘭有一位著名的數學家——斯泰文，他在研究三角形中心課題的過程中，發現并改進了窮竭法。窮竭法在當時的古希臘很流行，人們熟知窮竭法，并且很依賴窮竭法。斯泰文借助幾何直觀地運用極限思想進行了許多問題的思考，但是，受到創立初期經驗不足和歷史條件的局限性等因素，人們對極限思想基本概念的認識還不深刻，造成無法定義許多極限思想的相關概念，尤其是有些定理和公式的推導。

2.極限概念思想的完善

在極限概念思想完善的過程中，后來出現的割圓術是對極限概念思想完善的一種形式，而當時在古希臘流行的窮竭思想，其實也蘊含著極限的思想。到了19世紀初期，波爾察諾寫有《純粹分析的證明》一書，是微積分開始嚴格化的標志，可以說，波爾察諾是微積分開始嚴格化的前驅。

19世紀初期，擁有許多有關微積分和極限思想內容著作的柯西，被公認為是近代分析理論的主要奠基人。柯西在他的著作中創新了微積分理論中長期沿用的、很多模糊的舊的概念，經過反復論證，柯西發現其中的核心理論問題是極限思想。柯西將極限概念理解為潛無限值，這個值一定程度上是個定值，而這個定值就叫做一切其他值的極限。在這個過程中，極限概念思想實現了突破，因為其掙脫了與幾何直觀的、任意的聯系。但是，這種脫離還是會受到一些因素的制約，導致柯西的微積分理論基礎并不牢固。柯西所表達出的極限概念思想沒有規范的數學定義模式，而是僅僅停留在直觀的描述上。

19世紀50年代出現的魏爾斯特拉斯，他經過分析和思考嚴密化方面的理論知識和一系列的努力，改進了波爾察諾和柯西等人的理論。對于柯西的直觀的算數概念，魏爾斯特拉斯提出了有關極思想的純算術定義。自此，極限概念理論才得以充實和完善，進入到一個新的發展時期。

極限思想涉及廣泛，其在現代數學乃至日常生活中都有著廣泛的應用，其揭示了很多對立統一的關系。掌握好極限思想，人們的認識就可以從有限認識擴展到無限認識，進而豐富自己的生活和提高自己的思維縝密度。

三、結論

極限概念的誕生，使許多有關天文學、力學等的難題得到解決，方便了人們的生活，拓展了人們的視野。在數學領域，極限概念理論是數學領域中數學分析相關知識的基礎。數學分析又主要以微分和積分為主要研究對象，而極限又是微積分學這座大廈的基石。總體來說，就是極限概念思想很基礎、很重要。經過漫長的發展和完善，極限概念思想才有了今天的成就和狀態。所以，作為數學專業的學生，每個人務必應學好極限理論知識，并要熟練掌握極限思想，熟知極限思想概念的發展過程，有利于增加對于極限相關理論的認識，進一步增加對于數學分析的學習興趣和樂趣。極限概念的思想沒有數學某些理論的枯燥，其充滿神秘感，值得人們用一生去追求和探索。

參考文獻：

[1]明清河.數學分析的思想與方法[M].濟南：山東大學出版社，2005.

[2]李克典，馬云苓.數學分析選講[M].廈門：廈門大學出版社，2005.

編輯 范昕欣endprint