培養小學生數學建模能力的“四策略”

張榮娣

[摘 要]

模型思想是重要的數學思想之一，對學生數學思維及學習方式有著重大影響。數學教學從廣義上來講是數學模型的教學。培養學生建模能力，在有助于學生理解掌握數學模型，更好地理解數學，提高數學學習效益。基于教學實踐，提出“聯系比較、實踐操作、觀察分析、類比猜想”四種策略，能有效培養學生建模能力，從而促進學生模型思想的形成與發展。

[關鍵詞]

小學數學；建模能力；策略

《數學課程標準（2011版）》在課程內容部分中，明確提出了“初步形成模型思想”并具體解釋為“模型思想的建立，不僅是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，也是建立和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律。求出結果并討論結果的意義，這些內容的學習，有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”模型思想作為一種基本數學思想，表明它不僅僅是學生要掌握某個具體模型，而是學生數學學習的重要思維方式和學習方式。對于學生后續的學習與生活將起著方法論的意義。數學模型從廣義角度講，包括數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系式、圖形等。可見數學教學從某種意義上來說，就是數學模型的教學。那如何落實模型思想，培養學生建模的能力呢？筆者在實踐中總結出以下四種策略，能有效培養學生建模能力。

一、在聯系比較中建模

數學知識之間存在著嚴密的邏輯聯系，舊知是新知的基礎，新知是舊知的延伸與發展。為此，新的數學模型總是建立在舊知識的模型基礎之上。所以在建立新的模型時，要從舊的知識模型入手，通過新舊知識的聯系對比，從而在舊模型中建立起新的模型。如與“除數是兩位數的除法”的計算模型，最直接相關的就是“除數是一位數的除法”的計算模型，所以在教學時就可先復習除數是一位數的除法：256÷5，在計算的基礎上，讓學生說出除數是一位數的算法模型：從高位除起，先看前一位，如果前一位不夠除，就看前兩位；除到哪位商就寫哪位上；余數要比除數小。然后再學習除數是兩位數的除法，在學生掌握除數是兩位數的除法的基礎上，老師引導學生對除數是一位數的計算方法與除數是兩位數的計算方法進行對比，這時學生就會發現，除數是兩位數的除法計算的模型與除數是一位數的計算模型基本上是相通的，區別在于：在除時是先看前一位數還是先看前兩位數。通過創設這樣有聯系對比的情境，學生不僅能很好地理解除數是兩位數的除法計算模型，而且從更高層面理解了整數除法計算的一般模型。有這樣的模型學生在面對除數是三位數的除法時，就生成出除數是三位數算法模型來，這樣的模型就有了生長的力量。

在教學過程中，自覺尋找知識之間的聯系，在學生已有知識模型基礎之上進行新知的教學，立足于舊知模型，抓住新舊知識的聯系，通過聯系溝通、對比深化，是幫助學生不斷建立模型的重要策略。

二、在實踐操作中建模

數學模型一個重要的特點就是抽象概括性，而小學生思維以具體直觀思維為主，這是培養數學建模能力的一對主要矛盾。蘇霍姆林斯基說過：“在手和腦之間有著千絲萬縷的聯系，這些聯系起著兩方面作用，手使腦得到發展，使它更加明智，腦使手得到發展，使它變成創造的、聰明的工具，變成思維的工具和鏡子。”手與腦發展是相互促進的。學生實踐操作是建立在一定思維指導的，是有思維的操作，同時實踐操作會引導思維更深入，可見實踐操作能有效解決這個矛盾。如在教學人教版三年級“周長”時，通過具體實物樹葉，讓學生感知樹葉的邊沿是從哪兒開始，又到哪兒結束的？讓學生理解、感知到這樣是一圈，然后讓學生在準備的吹塑紙樹葉進行比畫，初步建立一周的模型，適時提出除了樹葉的面有一周外，在我們身邊還有哪些物體的表面也有一周，然后呈現三角板、數學書、鐘面等讓學生找一找，指出它的一周，進一步鞏固一周模型的理解。同時呈現大小不一的圖形，讓學生感知周長有大小之分，引導學生明白物體一周的長度就是這個物體的周長，同時趁熱打鐵呈現一些平面圖形“▽、□”讓學生通過比畫，進一步理解明白這些圖形的周長：三角形的周長就是圍繞三角形一周的長度，即3條邊長度的總和；四邊形的周長圍繞四邊形一周的長度，即4條邊長度的總和。通過以上一系列的實踐操作活動，學生對周長這個模型理解在不斷地深入，開始是在實踐操作中感知一圈，一圈是學生的經驗，然后過渡到一周，有了充分的實踐操作經驗的基礎上，周長模型的建立就水到渠成了。建模的過程是一種學習的再創造，實踐操作為學生這種再創造的建模提供了具體行為支撐，對模型的理解更為豐富，同時也為學生建模積累了活動經驗。

三、在觀察分析中建模

數學模型是從多個具有共同事物的觀察分析中，抽象概括出共同的特征。為此，在教學過程中，要為學生建模提供足夠多的具體事例，讓學生多角度地充分觀察分析，這樣學生才能發現具體事例背后的共同特征，建立起數學模型。如在教學《減法性質》一課時，我先讓學生觀察情境圖，得到如下信息：一本書234頁，昨天看了66頁，今天看了34頁，還剩下多少頁？學生獨立完成得出了三種不同的解法：①234-66-34=134；②234-（66+34）=134；③234-34-66=134。這三種解法當中，①、③兩種解決的思路基本上一致的，而解法②與①、③是不一樣的，但結果是相等，即234-66-34=234-（66+34），然后我再讓學生計算：85-12-36和85-（12+36），120-45-55和120-（45+55），結果得出85-12-36=85-（12+36），120-45-55=120-（45+55），學生通過這3個式子觀察，就能感覺并分析到其中的規律，學生能語言表達出這3個式子共同的特征：一個數連續減去兩個數等于一個數減去這兩個數的和，這種表達已是對以上3種式子的抽象概括，已是一種模型了，在此基礎上再引導學生用字母表示出減法性質的模型：a-b-c=a-（b+c）。這里建模的關鍵是要引導學生對3個式子進行充分觀察與分析，才能發現共性，才能建構起新的模型。endprint

小學數學中有很多的模型都可以通過觀察分析的方法建構起來，比如商的變化規律、積的變化規律、長方形的面積計算公式、分數的基本性質等，在教學中要提供3個及以上的具體事例，讓學生獨立觀察分析，為學生建模提供素材與平臺，這樣學生建模能力的培養才能落到實處。

四、在類比猜想中建模

類比推理是一種由特殊到特殊的推理方法。根據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物可能也具有該性質。如根據整數的運算定律類推出小數運算定律，由三角形的面積計算公式的推導，類推出梯形的面積計算公式的推導等。基于兩類事物的相似性，由一類事物的模型類比猜想出另一類事物模型，這是培養學生建模的有效途徑。在教學《梯形面積計算》一課時，我先復習三角形的面積計算公式推導過程：把兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，然后從中找出對應關系，進而推導出三角形面積計算公式模型：三角形面積=底×高÷2，用字母表示：S=a×h÷2。在此基礎上提出：三角形的面積計算公式是底×高÷2，那梯形的面積計算（下轉第52頁）（上接第43頁）公式可能是怎樣的？讓學生進行類比猜想，因為有了前面三角形面積推導回顧的基礎，且三角形與梯形具有相似性，學生不難類推出梯形的面積計算公式的模型是：兩個完全一樣的梯形拼成的平行四邊形面積的一半。有了猜想的模型，學生就有了思考的方向，接下來就是對猜想的模型進行推理、解釋和驗證。所以類比猜想能對學生建立新模型指明方向。

要讓學生能通過類比猜想來建立建模，首先要求這兩個內容要有相似性，這樣才能進行類比。另外，類比是一種由特殊到特殊的思維，所以通過類比建立起來的模型不一定都正確，比如在學習“因數與倍數”單元中“2的倍數”的特征模型是：個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數。在學習《3的倍數》時，也可以引導學生類比出“3的倍數”特征模型：個位上是0、3、6、9的數都是3的倍數，但通過驗證發現這個模型錯了，這時就要去建立新的模型。在這個過程中，雖然建立的模型錯了，但學生卻經歷了類比來建立新模型的過程，同樣也很有意義。

學生建模能力的形成與發展需要一個長期的過程，在教學過程中，教師要有培養學生建模能力的自覺，在教學中創設條件，讓學生經歷建模的過程，并有意識地為學生建模能力的發展提供平臺，積極探索有效的培養學生建模能力的策略，這樣才能更好地促進學生建模能力的發展。

[參 考 文 獻]

[1]數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[3]B.A.蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學出版社，1984.

（責任編輯：李雪虹）endprint