平面向量與其它學科的相關性

趙金榮

摘 要：數學概念-向量與其他學科的相關性在本文中進行了探討。主要從平面向量的加減法，數量積與物理學的關系，以及平面向量在飛機導航上的應用進行了討論。

關鍵詞：平面向量；向量的運算；數量積；導航

作為數學教師，都知道在給學生講授數學知識，尤其是較為抽象的數學概念時，使用一些學生較為熟悉的問題，或者與其他科目相關的知識引入，學生更容易對即將要學習的知識產生興趣，從而降低對新知識接受時的畏難情緒，從而提高學習效率。數學并沒有一般人想象中的抽象和晦澀，日常生活和我們所熟知的一些學科中都能夠找到恰當的課題與數學相關，比如說向量與物理學就有著息息相關的聯系。在本文中，我們將會從很一般地角度探索一下數學概念-向量與其他學科的相關性。

1 從概念上，向量就是物理學中的矢量

從數學角度，向量是與我們日常所熟知的只有大小的數量相對應的量，這類量只用大小無法充分說明其特質，要充分描述這些量，必須使用既有大小，又有方向的量，比如說物體運動的速度，受到的力，產生的位移，都必須使用既有大小又有方向的量來描述，這類量在物理上叫矢量，與這類量相應的是標量，通常情況下，物體的溫度、面積、體積、密度等，只需要大小就可以用標量來描述。在數學上，與標量對應的就是數量。使用這些分析引入向量的概念，既能夠充分說明向量的特性：既有大小又有方向，又能通過對比告訴學生向量與數量的區別，同時也給出了這類量引入的物理意義之所在，從而說明了數學知識源于生活，高于生活，又被用來指導生活，讓學生看到了數學概念與其所熟悉的知識的相互聯系。

2 向量的運算與物理的關系

在向量的學習中，我們要學習平面向量的加減、數乘以及向量的數量積，在這類問題的講授過程中，充分利用平面向量與物理的關系，更容易讓學生學會向量的運算，同時，也能更順利地讓學生看到使用數學概念解決其他學科的問題需要的一般地思路。要說明這個問題，我們從幾個方面進行說明。

（一）向量的加減法 從數學上，研究平面向量時，一般只需要考慮向量的大小和方向，不需要考慮其起點位置，所以數學上研究的平面向量可以在保證方向和大小不變的情況下在平面上自由地進行平移，因此又稱為自由向量。所以，在把兩個向量相加時，可以才取兩種方法進行，方法一就是，把相加的兩個向量進行平移，使得二者的起點一致，然后以這兩個向量為平行四邊形的兩條邊作出一個平行四邊形，那么以這兩個向量的共有起點為起點，并以與這個點相對的頂點為終點的對角線對應的向量就是這兩個向量的和向量，而這個平行四邊形的另一條對角線則是這兩個向量的差。另一個方法是，把相加的兩個向量首位相連，然后以第一個向量的起點為起點，以第二個向量的終點為終點決定的向量就是這兩個向量的和向量。向量的加法最適合用力的合成進行解釋。因為，經過試驗證明如果兩個力，F和G作用在用一個物體上，二者的凈作用力與F+G的合力作用在這物體上的效果相同.再比如說，靜止在一斜面上的物體，受到的合力為零，所以保持靜止不動。物體之所以能夠保持靜止，是因為這個物體受到的力相互抵消，處于平衡狀態，所以在分析這個物體的受力時，用到的就是力的差，而力是典型的向量。在數學上，研究的平面向量是自由向量，可以在平面內自由移動，但物理上的概念力，除了方向和大小之外，還需要有作用點，所以，盡管力在進行加法或減法時允許平移，但最終得到的結果還需要平移到與加和的向量相同的起點，才能夠說明問題。利用力的合成與分解，說明向量的加法和減法，更能說明這類量的實際應用。讓學生體會到向量這個知識點在解決問題中的應用.

（二）向量的數量積 實際上，在有些數學教材中，平面向量的數量積這個定義的引入就是使用物理中功的概念引入的。物理上，力和位移都是向量，一個恒定的力對物體所做的功等于這個力在位移的方向上的分量與位移的乘積。而力在位移方向上的分量大小是這個力與力與位移夾角的余弦值的乘積。而功又是一個數量。所以，常力做功的過程表示為。把這個概念推及到向量的點乘積，就是，這個結果是一個只有大小的數量，所以，向量的點乘積又叫做數量積。

3 平面向量在導航中的應用

要說明這個問題，先需要引入一些術語。設一架飛機的航向是正東.這就意味著這架飛機正直向東行駛，如果沒有風的影響，相對于地面，飛機應該的確由西向東行駛.空速是飛機相對于空氣的速度，而地速則是飛機相對于地面的速度.如果沒有風速的影響，飛機的空速和地速應該相等.現在，設飛機的航向和空速在圖1中用速度向量V表示.（V的方向是正直；V的大小是空速.）還假設風速在圖17中用向量W表示.然后，向量V+W代表飛機的實際相對于地面的速度.V+W的方向叫做航線；是飛機相對于地面的移動方向.V+W的大小是地速（前面已經定義過）.

在導航中，方向是通過從實際的北方按順時針方向測量到的角.我們通過一個例題說明平面向量在飛機導航中的應用。

比如：一飛機的航向和空速分別是60。和250mph.如果風速是40mph，角度是150。，求這架飛機的地速，偏航角和航向.

解：如果用向量表示空速是250mph，方向60。.向量表示風速是40mph，角度是150。.而且，角WOA=90。.使用向量的平行四邊形，可以得到向量和+=.的長度表示地速，角false表示偏航角.因為BOA是一個直角三角形，我們有，那么，而

根據這些計算結果，可以總結出這架飛機的地速大約是253.2mph，偏航角大約是9.1。.我們仍需要計算出航向（也就是，向量的方向）.于是有

因此，航向是50.9。，到小數點后1位數.（按照前面已經提過的慣例，這些方向是從正北開始按順時針方向測量到的角.）

從上面可以看出，平面向量與其他學科的關聯性非常密切，我們在給學生介紹這些內容時完全可以使用這些方面的內容，讓學生消除對數學的偏見，從而提升學生的學習興趣，提高其學習的積極性和主動性。

參考文獻

[1]Precalculus A Problem-oriented-Approach，.Cohen，.Lee，.Sklar， 6ed. P666-667.endprint