因材施教因教選材

鐘寶山

摘要：“抽屜原理”本是精英課堂里尖子學生學習的內容，新課標把這部分內容劃分到了六年級下冊的數學廣角里面，無疑對教師的“教”和學生的“學”都提出了更高的要求。當然，這里所呈現的只是比較基本的“抽屜原理”。

關鍵詞：數學；抽屜原理；狹利克雷原理；鴿巢原理；鴿舍原理

一、 “抽屜原理”簡介

抽屜原理在外國被稱為“鴿巢原理”，最先是由德國數學家狹利克雷提出來的。因此，也稱為“狹利克雷原理”。外國人喜用“鴿子”和“鴿舍”來做例題（舉例），我們則常用“蘋果”和“抽屜”來做例題（舉例）。

原理1：m個元素，按任一方式分成n個集合（m>n且m、n∈N），則至少有一個集合中含有至少2個元素。

（教科書第70頁例題1及若干個變式）

原理2：np+1（n、p∈N）分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少p+1個元素。

（教科書第71頁例題2及兩個變式）

原理3：無窮多個元素分成n個集合，則至少有一個集合中含有無窮多個元素。

現行的小學課本中只編排了抽屜原理1、2的教學，以及對原理2的若干靈活運用。

既然我上的不是精英課堂，面對我的這一班普通學生，我必須要選擇一種適合這班學生的教學方法來傳授新知。

二、 理解抽屜原理要注意的幾點

1. 抽屜原理討論的是“物體”與“抽屜”之間的關系，必須要弄清楚誰是“物體”，誰是“抽屜”，并要求物體數要比抽屜數多，或者比抽屜數的倍數多，至于多多少，無妨。

2. “不管怎么放”的意思是任意放，不限制放的方式，可以平均放，每個抽屜都有，也可以集中放在一起，不要求每個抽屜都有物體，但是要求每一個物體都必須放進抽屜。

3. 抽屜原理只能用來解決一個“存在性”的問題，“至少有一個”就是表示存在滿足這樣條件的一個抽屜，通常滿足條件的抽屜有多個，但不重要，只需要證明有這樣一個達到要求的抽屜就足夠了。

4. 用假設法（反證法）進行驗證的時候，要做極端最壞的打算。假設法（反證法）是解決“抽屜原理”的一般方法。

5. 算術法：物體數÷抽屜數=商……余數那么由抽屜原理2就可以得到，至少有一個抽屜中的物體數不少于（商+1）個。

三、 分析教材所呈現的教學素材

按照素材呈現的順序來分析：

1. 第70頁例題1講的是“把4枝鉛筆放進3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。為什么？”

這里闡述的是“原理1”：m個元素，按任一方式分成n個集合（m>n且m、n∈N），則至少有一個集合中含有至少2個元素。

也就是“物體數”比“抽屜數”的一倍多1

2. 第70頁下面的“做一做”講的是“7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里，為什么？”

這是對“原理1”的靈活運用，但是這里涉及“物體數”比“抽屜數”的一倍多2，正是因為多“2”，所以題目才會將結論直接出示，讓學生可以用“假設法”來直接進行驗證。

但是我個人認為，僅僅通過一個例題，教學一次假設法，并且這道例題是余數正好是1的這么特殊的情況，馬上就讓學生驗證余數是“2”的抽屜原理練習題，有點為時過早，畢竟我們的學生不是精英學生，也許還有很多中下生沒有弄明白，就被趕上架了！所以在還沒有完全掌握“假設法”和“算術法”的時候，我不出示余數大于1的練習題。

3. 第71頁例題2講的是“把5本書放進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。為什么？”

這里闡述的是“原理2”：np+1（n、p∈N）分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少p+1個元素。

也就是“物體數”比“抽屜數”的N倍多1

4. 第71頁下面的“做一做”講的是“8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里，為什么？”

也就是“物體數”比“抽屜數”的N倍多2

隨著例題1、做一做、例題2、做一做。我們發現，“物體數”和“抽屜數”的關系從一倍多1、一倍多2、N倍多1到N倍多2，教材在例題1中滲透“枚舉法”和“假設法”的教學，在例題2中滲透“算術法”的教學，其用意是試圖通過多角度，全方位地讓學生用不同方法驗證結論，從而達到獲取新知的目的！

可是，我卻不太愿意這樣去處理，大家有沒有發現，教材有呈現三種方法，卻沒有告訴學生這三種分別是什么方法，更沒有對這三種方法進行一個定性，這些方法的核心關鍵是什么？孰優孰劣？這全憑老師去定奪啊！

有同學會認為：第二種方法（假設法）挺好的，分析得很透徹，清清楚楚明明白白，可是他們不知道，當我們不知道結論的時候，用“假設法”假設多少好呢？聰明的學生數感比較強，可能一眼就能分析出應該假設為多少，其實這部分聰明的學生無形中還是運用了“算術法”的知識在里面啊！有同學會認為第三種方法（算術法）更好，簡簡單單兩個算式，頂得上洋洋灑灑幾十個字，可是如果不用假設法去加以驗證，很容易跌入“算術法”的（商+余數）誤區！

于是我決定：重組教材，在“因材施教”的同時，更應該“因教選材”！

四、 我的《抽屜原理》設計理念

1. 課前游戲，引入課題

5位同學坐在4張椅子上，不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩位同學。

這個環節的設計意圖是，從學生熟悉的“搶椅子”游戲開始，讓學生初步體驗不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩位同學，使學生明確這是現實生活中存在著的一種現象，激發了學生的學習興趣，為后面開展教與學的活動作了鋪墊。

2. 動手操作，動腦思考

（1）教學例1endprint

把4枝鉛筆放進3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。為什么？

分析題目里，什么是“物體”，什么是“抽屜”，誰比較多，多多少；“不管怎么放”“總有一個文具盒”“至少”分別是什么意思？

完全理解透徹之后再動手嘗試，通過操作讓學生充分體驗感受。

這樣設計的目的是，讓學生理解最基本的抽屜原理，并在充分了解其基本原理之后，再進行操作，有利于學生理解新知，化繁為簡。

最后驗證出結論“總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆”是成立的。之后告知同學們，剛才動手操作的這種方法叫做“枚舉法”，枚舉法的關鍵是要把每一種可能性都要列舉出來。

（2）感受枚舉法的優劣

枚舉法的優點是：直觀具體，一目了然。

然后我“因教選材”出示若干個變式，將例題1中的“物體”和“抽屜”的數量逐漸增多，這個時候用“枚舉法”證明“總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆”結論顯然很不方便，于是，需要一種新的方法來解決問題。

我的設計意圖是，通過對例題從量變到質變，引發學生思維的碰撞，當已有的知識里不具備解決問題的方法時，學生內在地渴望學習新的知識。

（3）教學“假設法”

當學生渴望學習新知的時候，我順理成章地教學“假設法”。

解決抽屜原理的一般方法是“假設法”。“假設法”的核心：要做極端最壞的打算

我示范一次，讓學生充分和熟練掌握“假設法”的核心原理之后，嘗試他們自己證明其中一題，并在小組里交流，最后讓學生回頭用“假設法”驗證例題1，這樣設計的目的是，要讓學生充分感知，“假設法”是解決《抽屜原理》的一般方法。

（4）教學例2，變式引出“算術法”，發現規律

例題2和之前課堂上出示的題目不同類，是屬于原理2的一道最基礎的題目，學生要掌握也比較容易。之后我把例題2進行改變，這種改變并不是簡單的像例題2那樣，把“5”改成“7”和“9”，然后找規律。而是再一次的“因教選材”，我除了把“5”改成“7”和“9”，再把書本上直接給出的結論改成一個問句。我的目的是通過巧妙的處理，呈現出“假設法”的“缺點”，當題目沒有直接告知“總有一個抽屜至少放進幾本書”的時候，用“假設法”假設每個抽屜先放進幾本書好嗎？原來可以用的假設法（反證法），在這兩道經過處理的特定的題目上，顯得很不方便了，這樣便可以激發學生求得新知的欲望。

（5）教學“算術法”

這時候進行“算術法”的教學自然是水到渠成了。

首先引導學生觀察這三道題中，誰是物體，誰是抽屜，物體比抽屜多多少，這其實就是對原理2的知識點教學，三道題的共同點都是物體數比抽屜數的N倍多1，所得的結論就是（N+1）。

算術法：物體數÷抽屜數=商……余數的核心是“總有一個抽屜至少放進（商+1）本書”。

由于例題2及兩道變式的余數恰好是“1”，學生在通過觀察、比較和驗證之后，似乎覺得一切都是合情合理，于是也許會有學生推斷出“物體÷抽屜=商……余數總有一個抽屜至少放進（商+余數）本書”，這時候老師在此處賣一個關子，不加以評論，只是讓他們猜測這個“商+余數”的結論是否正確。

（6）感悟算術法的核心所在

在大家都沒有結論的時候，我繼續“因教選材”。我先讓學生區分“商+1”和“商+余數”的區別，然后再呈現兩個“做一做”，但是都把結論去掉，改成一個問句：“7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿舍里，為什么？”；“8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿舍里，為什么？”

這樣的選材既來源于課本，又和課本有所不同，我把兩個做一做進行巧妙的變化，并結合課件的直觀演示和“假設法”間接推理，使學生充分感受到算術法的核心關鍵是：不管余數是多少，結論都必須是（商+1），而不是（商+余數）。最后，學生都學得了真理。

（7）鞏固練習，觸類旁通

教科書第73頁的練習題中

第1題：“從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張是同花色。請說明理由。”

第2題：“張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環。張叔叔至少有一鏢不低于9環。為什么？”

教材的用意和例題出示的順序一樣，第1題是“物體數”比“抽屜數”的1倍多1；第2題是“物體數”比“抽屜數”的N倍多1。可是唯獨缺乏了“物體數”比“抽屜數”的N倍多幾的情況。所以我再次對教材做了“因教選材”的處理，這次的處理是因為他們的“變式”而決定了它們出現的順序。

①我先呈現第2題：“張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環。張叔叔至少有一鏢不低于9環。為什么？”讓學生用已學的方法“假設法”和“算術法”進行驗證。起到“承上”的作用。

然后出變式：張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是42環。張叔叔至少有一鏢不低于幾環。為什么？

讓學生先用“算術法”得出結論，再用“假設法”進行驗證，既復習了“N倍多1”的驗證方法，也復習了“N倍多幾”的算術求證和假設驗證方法。可謂一舉多得！

②我再呈現第1題：“從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張是同花色。請說明理由。”

然后出變式：“從兩副撲克牌中取出4張王牌，在剩下的104張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色。請說明理由。”

這個變式的價值在于，讓學生感悟“52”和“104”都只是原來的撲克數，只起到“足夠多”的作用，真正起作用的是抽出來的“5張”撲克牌。這個“足夠多”的條件和下一節課的例題3里面的“4”有著異曲同工之妙，所以這道拓展題是為下一節課作鋪墊，起到“啟下”的作用！

最后，我設計了一個還文具盒給老師的游戲來結束這節課。

“任意五位同學還文具盒給鐘老師，不管怎樣還，總有2個文具盒同顏色。為什么？猜一猜，老師帶來的文具盒有什么數學奧秘在里面？”

我這樣設計的意圖是：把課前發下去的文具盒還給老師，教學情景源于課堂，貼近學生的實際，并前后呼應。此題的設計是不知道抽屜數是多少，通過學生實際操作，讓學生猜測，從而感悟出“物體數-1=抽屜數”，為下一節課將要學習的“抽屜數+1=物體數”作好鋪墊。

這就是我對《抽屜原理》教材的點滴理解，以及對教材進行的若干處理，在研究教材的過程中，我還存在很多認知困惑以及處理得不恰當的地方，希望大家能夠多提寶貴意見！謝謝！endprint