關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列交錯求和問題的思考

張躍新??

摘 要：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)列問題占了絕大比例，并且涉及許多運算方法，而要提高我們的學(xué)習(xí)質(zhì)量，能更好讓自己懂得分析、解決問題，我們就應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)過程中掌握新的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的辦法，并學(xué)會如何在數(shù)列問題中找出規(guī)律。本人針對高中數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列的有關(guān)知識，對等差數(shù)列、等比數(shù)列交錯求和問題做出了一定的分析。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；等比數(shù)列；交錯求和；教學(xué)革新

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的重點問題始終包括數(shù)列問題，但是我們大多數(shù)對這類問題理解還不夠全面，導(dǎo)致這方面的成績始終不太理想，導(dǎo)致我們的學(xué)習(xí)質(zhì)量得不到提高。通常這一類數(shù)列問題要求我們擁有較高的邏輯思維能力，并且能夠很好地掌握解決問題的辦法，能在各類題型中靈活運用，讓復(fù)雜問題簡單化。而我們能做的就是要在細(xì)心、認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，能夠自主分析問題、解決問題、掌握規(guī)律，獨立自主的解決今后遇到的此類問題。

一、 數(shù)列求和問題的概述

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一便是數(shù)列求和，而在解決這類問題中，主要運用的方法是公式法、錯位相減法、遞推法、裂項消減法和通項分析法等。這些基本的解決方法中，公式法是最基礎(chǔ)也是最常應(yīng)用的。他的本質(zhì)就是需要我們掌握解決此項問題的最基本的方法，并在此基礎(chǔ)上理解和掌握其他運算方法，讓我們能更好地解決問題。

錯位相減法針對的問題大多比較復(fù)雜，一般是較難一些的數(shù)列求和運算，我們在學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該針對老師講的此類方法的運算特點進行分析，能夠時刻轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化的過程中特別容易出錯，因此要我們在針對此類問題時一定要細(xì)心。

遞推法的使用大多是自然數(shù)的平方和以及立方和這類問題，如果要采用遞推法進行求和運算，就必須要列出通項公式，能夠快速的發(fā)現(xiàn)數(shù)列所存在的規(guī)律。這樣才能使復(fù)雜問題簡單化，而在大多數(shù)的題型舉例過程中，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項求和就可以使用此方法進行運算。

裂項消減法就是將較為復(fù)雜的數(shù)列進行分解再組合，運用數(shù)列同項相消的辦法進行求和運算。而且這種方法的使用范圍很廣泛，包括指數(shù)型數(shù)列、等差型數(shù)列、對數(shù)型數(shù)列、三角函數(shù)型和無理數(shù)型數(shù)列等。其中，三角函數(shù)型并不常見，但如若遇到也要能自主解決。以上的每一種類型都有自己的特點并且很鮮明，我們要在能夠自己理解的基礎(chǔ)上深刻記憶，在今后遇到的不同問題中，能夠靈活多變的應(yīng)用上去。

通項分析法在運用上更加的靈活多變，要求我們首先對各項數(shù)列的特征進行分析，觀察各項數(shù)列的共同特點。比如各項數(shù)列是否可以分解或者局部是不是可以先求和。而當(dāng)我們遇到這種問題時，一定要靈活面對，因為此類問題的解決答案并不唯一，遇到具體情況要具體分析，但都要牢牢掌握。

二、 錯位相減法的應(yīng)用

錯位相減法的原理就是數(shù)列的各項可以通過等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積來獲取，然后對此項數(shù)列中的每一項都進行相同的變換，并且將已經(jīng)得到的新的數(shù)列進行位置錯動，與原數(shù)列進行相減并簡化。例：在an=bncn中，數(shù)列bn為等比數(shù)列，數(shù)列cn為等差數(shù)列，由此可以得出Sn=a1+a2+a3+…+an。與此同時，數(shù)列的兩邊都乘等比數(shù)列bn的公比q，那么可以得出qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq。將此數(shù)列進行變換并錯開一位，所形成的數(shù)列與原數(shù)列相減，就能夠得到具體的運算。

錯位相減法的主要步驟包括如下三點：

①數(shù)列Sn=a1+a2+a3+…+an的兩邊同時乘等比數(shù)列的公比q；

②并將新得到的數(shù)列和原來的數(shù)列相減，數(shù)列左邊就表示為（1-q）Sn，右邊的各項就進行相消并化簡；

③右邊的各項相消后最后剩下的項就成為了等比數(shù)列，可以使用公式求和運算。

三、 數(shù)列求和運算的問題以及其應(yīng)用對策

（一） 數(shù)列求和運算的問題

在現(xiàn)如今學(xué)習(xí)中，我們的出錯點有很多，以我和同班同學(xué)為例，大體表現(xiàn)為如下幾點：

1. 轉(zhuǎn)換不靈活，不能將特殊數(shù)列很好的轉(zhuǎn)換

2. 分析不準(zhǔn)確，尤其是某些含有參數(shù)的數(shù)列求和運算

3. 運算量大的時候，大多不細(xì)心，很容易出錯

（二） 數(shù)列求和運算的應(yīng)用對策

以上是數(shù)列求和所常用的方法和問題，數(shù)列的解決辦法多樣，大多數(shù)都不止一種解法。對于數(shù)列求和類題目要在我們在能夠掌握基本的解題方法后繼續(xù)深入探究了解，學(xué)習(xí)好解決問題、分析問題的本領(lǐng)。

而我們在學(xué)習(xí)這類問題的過程中，最好能發(fā)散自己的思維，采用多種方法進行解題，并加強平時的鍛煉，減少由于不仔細(xì)而導(dǎo)致的運算錯誤。而綜合習(xí)題的練習(xí)也是必不可少的。這樣可以讓我們更快的學(xué)會自主分析，培養(yǎng)我們的發(fā)散思維。

學(xué)習(xí)過程中，將這類問題串聯(lián)起來學(xué)習(xí)是很重要的，對待數(shù)列問題要很好的轉(zhuǎn)化和分析，加強對此類問題的理解和掌握，這樣我們的解題能力也會加以提升。

四、 結(jié)束語

勤于思考，善于動手。這句話用在任何地方都不會錯，數(shù)學(xué)更是如此。很多時候，我們在遇到一些較難的題后會感覺一團糟，不知如何下手，從何處下筆，找不到切題的關(guān)鍵點，這些都是沒有掌握好基礎(chǔ)的表現(xiàn)，數(shù)學(xué)本是循序漸進的學(xué)科，掌握基礎(chǔ)，然后逐漸分析探索新的方法，得出另一種新的方法，才是我們真正需要做到的。

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