淺談正余弦定理解題應用

陳家俊

摘要：正、余弦定理是高中數(shù)學學習的重要內(nèi)容，以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，來考核的題目是近幾年來高考的熱點題型。特別是用正、余弦定理來解決實際問題的應用題目既是學習的重點和難點，又是考試的熱點，因此加強對正、余弦定理的解題應用學習非常重要。

關鍵詞：正、余弦定理；運用

一、利用正、余弦定理計算高度

利用正、余弦定理測量高度問題，在軍事、航空、天文、地理和日常生活中的應用非常廣泛，這些物體一般不能直接測量，而運用正、余弦定理就容易進行計算。其應用步驟是：一是畫圖，根據(jù)所給已知條件畫出示意圖；二是分析三角形，分析和問題有關的三角形；三是求解，運用正、余弦定理求解有關三角形，就可求出高度。

例1、要測量河對面的電視發(fā)射塔的高度AB時，可選擇與塔底在同一平面內(nèi)的兩點C、D進行測量，測得CD=s，∠BCD=a，∠BDC=β，在C點測得塔頂?shù)难鼋菫棣龋笏摺?/p>

解析：要求出塔高，在直角△ABC中，已知仰角∠ACB=θ ，只要求出BC的長就可計算出塔高，而在△BCD中用正弦定理可求出BC的長度。在△BCD中，∠CBD=π-a-β，根據(jù)已知條件運用正弦定理，可得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，

∴可求出BC=s.sinβsin（a+β）， ∴在直角△ABC中AB=BC.tan∠ACB=s.tanθ.sinβsin（a+β）。

點評：在用正、余弦定理測量計算高度問題時，要正確理解仰角、俯角、坡角、坡度等特定相關概念，并要準確畫出解題的示意圖才能正確解題。在本題中，要把所求的問題轉(zhuǎn)變成三角型的模型，并明確已知條件，已知兩角和一邊，可以運用正弦定理就能容易解決。

二、利用正、余弦定理計算距離

利用正、余弦定理可以計算有障礙物相隔的兩點之間的距離問題。利用正弦定理解決距離問題時，一般要測出所構造的三角形的兩角和一邊，或兩邊和其中一邊的對角，才能計算距離；利用余弦定理解決距離問題時，通常要測出所構造的三角形的兩邊和夾角，或兩邊和其中一邊的對角；有時需要綜合運用兩個定理才能計算距離。

例2、在圖2中，甲船以302海里/時速度向北航行，乙船沿直線勻速航行。當甲船位于A1時，乙船位于甲船北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里；當甲船航行20分鐘到達A2時，乙船位于甲船北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距102海里。求乙船的航行速度。

解析：連接圖中的A1B2，∵ A2B2=102 A1A2=302×2060=102，∴A1A2=A2B2，∵∠A1A2B2=180°-120°=60°，∵△A1A2 B2等邊三角形 ∴A1B2=A1A2=102，∵A1B1=20， ∠B1A1B2=105°-60°=45°，在△A1B2B1中運用余弦定理，B1B22 =A1B12+A1B22-2A1B1A1B2.COS45°=200，∴B1B2=102，∵乙船速度=10220×60=302（海里/時）

點評：本題的解題模型是常見的四邊形，但其實質(zhì)是三角形，在題信息量大，條件多，有一定的干擾因素，通過連接A1B2，就把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成了三角形的問題。另外，把B1B2“歸”到△A1B2B1中來選擇運用余弦定理求解。題中挖掘△A1A2B2的幾何條件和性質(zhì)是解題的關鍵，這樣就可以找到解題思路，優(yōu)化解題過程。

三、正、余弦定理的綜合運用

利用正、余弦定理在解決應用問題時，經(jīng)常需要在一起綜合運用。此時應恰當選擇定理才能簡化計算過程，提高解題效率。同時還應把正、余弦定理和平面幾何中的知識結合使用，通過數(shù)形結合，充分挖掘題目中的隱含條件，就能正確使問題得到解決。

例3、已知a、b、c是△ABC中三個內(nèi)角所對應的邊長，C=π3，c=2，sinC+sin（B-A）=2sin2A。求：△ABC的面積。

解析：∵sinC+sin（B-A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA。

當cosA=0時，A=π2，B=π6，a=433，b=233， ∴三角形面積S=12absinC=233。

當cosA≠0時，sinB=2sinA，根據(jù)正弦定理得b=2a，建方程組a2+b2-ab=4b=2a ，可求出a=233，b=433，∴三角形面積S=12absinC=233。綜合兩種情況可得三角形面積為233。

點評：在解三角形中，面積公式是最常用，因為在面積公式中它既有邊又有角，非常容易把正弦定理和余弦定理兩者結合起來解決一些比較復雜的綜合問題。在解三角形中也經(jīng)常把三角函數(shù)的內(nèi)容加入到題目中進行綜合考核，比如，求三角函數(shù)的最值問題。

綜上所述，利用正、余弦定理來解決應用問題時，一般都是從題意出發(fā)，把實際問題抽象出一個或幾個三角形，通過解三角形，就能解決實際問題。利用正、余弦定理來解決幾何問題時，要根據(jù)所給的條件，恰當選擇定理。運用正弦定理時，常常是把邊轉(zhuǎn)化成角，如果題目給出的條件是三條邊的關系，一般考慮利用余弦定理來解題。另外，圖形結合方式也是利用這兩個定理解題的常用方法。

（作者單位：湖南省益陽市一中1602班 413000）endprint